Quantentheorie I SS 2016

Quantentheorie I SS 2016
Prof. Dr. W. Strunz, PD Dr. G. Plunien, Institut für Theoretische Physik, TU Dresden
http://tu-dresden.de/physik/tqo/lehre
5. Übung
1. Zustände im attraktiven Delta-Potential:
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen attraktiven DeltaPotential V (x) = −V0 δ(x) mit V0 > 0.
a) Integrieren Sie die Schrödingergleichung des Teilchens zwischen x = −ε und x = ε. Zeigen
Sie durch Grenzwertbildung ε → 0, dass die Ableitung einer Eigenfunktion ψ(x) des
Hamiltonoperators bei x = 0 unstetig ist. Bestimmen Sie die Unstetigkeit in Abhängigkeit
von V0 , m und ψ(0).
b) Zeigen Sie, dass das Potential genau einen gebundenen Zustand hat und berechnen Sie
dessen Energie −Eb .
c) Berechnen Sie die Reflektionsamplitude R(E) und Transmissionsamplitude T (E) einer
von links einlaufenden ebenen Welle der Energie E. Betrachten Sie T (E) als analytische
Funktion der Energie und diskutieren Sie das Verhalten für negative Werte von E. Was
bedeutet das Verhalten von T (E) bei E → −Eb physikalisch?
2. Harmonischer Oszillator im homogenen elektrischen Feld:
Ein Teilchen der Ladung q bewegt sich eindimensional unter dem Einfluss eines harmonischen
Potentials Vosc (x) = 21 mω 2 x2 entlang der x-Achse. Zusätzlich wirkt ein konstantes elektrisches
Feld der Feldstärke F auf dieses Teilchen.
a) Wie lautet der Hamiltonoperator dieses Systems?
b) Bestimmen Sie die Eigenenergien und Eigenfunktionen des Systems.
Hinweis: Durch quadratische Ergänzung kann der Hamiltonoperator auf den eines verschobenen harmonischen Oszillators gebracht werden.
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert hdi des Dipoloperators in einem Energieeigenzustand.
Der Dipoloperator d = q x ist definiert als Produkt aus der Ladung q mit dem Ortsoperator
x.
d) Das System befinde sich im Grundzustand und das elektrische Feld werde plötzlich abgeschaltet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Abschalten die Energie En =
~ω(n + 1/2) zu messen?
Hinweis: Verwenden Sie
die Beziehung für die erzeugende Funktion der HermiteP dazu
2
λn
Polynome e−λ +2λz = ∞
H
n (z).
n=0 n!
−ξ n
Antwort: Pn = e ξ /n! mit 2ξ = mω
( qE )2 .
~ mω 2
– bitte wenden –
3. Quantenmechanischer Morse-Oszillator:
Die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls mit der reduzierten Masse m kann man näherungsweise mit dem Morse-Potential
V (r) = D(e−2αx − 2e−αx )
mit x = (r − r0 )/r0 beschreiben. r0 ist der Gleichgewichtsabstand des Moleküls.
a) Skizzieren Sie das Potential.
b) Wie hängt für kleine Oszillationen um r0 die Eigenfrequenz der Schwingung von den
Parametern des Potentials ab? Geben Sie das Energiespektrum für kleine Schwingungen
an.
∗
c) Suchen Sie in der Literatur nach der exakten Lösung der Schrödinger-Gleichung mit dem
Morse-Potential.
4. Forminvarianz der Schrödinger-Gleichung unter Galilei-Transformationen:
Die Schrödinger-Gleichung (SGL) als grundlegende Wellengleichung der nichtrelativistischen
Quantenmechanik muß forminvariant (kovariant) unter Galilei-Transformationen
t = t0 , x = x0 + vrel t0 bzw. t0 = t , x0 = x − vrel t (Relativgeschwindigkeit v) sein. Für die SGL
in einer Raumdimension bedeutet dies beispielsweise:
IS :
−
∂
~ ∂2
ψ(x,
t)
+
V
(x,
t)
ψ(x,
t)
=
i~
ψ(x, t) ,
2m0 ∂x2
∂t
(1)
IS 0 :
−
∂
~ ∂2 0 0 0
ψ (x , t ) + V 0 (x0 , t0 ) ψ 0 (x0 , t0 ) = i~ 0 ψ 0 (x0 , t0 ) .
02
2m0 ∂x
∂t
(2)
Dabei ist aber zwei maßgeblichen, physikalischen Bedingungen Rechnung zu tragen: Die
potentielle Energie eines Teilchens, das sich zu einer bestimmten Zeit t am Ort x befindet,
darf nicht vom gewählten Intertialsystem abhängen, d.h. es muß gelten
V 0 (x0 , t0 ) = V (x − vrel t, t) = V (x, t).
Aufgrund ihrer fundamentalen Bedeutung muß auch der Wahrscheinlichkeitsdichte eine von
jeweiligen Inertialsystem unabhängige (invariante) Bedeutung zukommen:
%0 (x0 , t0 ) = %0 (x − vrel t, t) = %(x, t).
a) Begründen Sie, dass die Schrödinger-Wellenfunktion ψ(x, t) bezüglich IS sich beim Übergang zu IS 0 gemäß ψ 0 (x0 , t0 ) = eiS(x,t) ψ(x, t) transformieren muß.
b) Setzen Sie den Ansatz für ψ 0 (x0 , t0 ) in die SGL (2) ein und verifizieren Sie die Bestimmungsgleichungen für die Funktion S(x, t) als Konsequenz der Forminvarianz:
"
2 #
~2
∂ 2 S(x, t)
∂S(x, t)
∂S(x, t) ∂S(x, t)
~ ∂S(x, t)
+ vrel = 0 ,
i
+
− ~ vrel
+
= 0.
m0
∂x
2m0
∂x2
∂x
∂x
∂t
c) Zeigen Sie, dass obige Bestimmungsgleichungen durch S(x, t) = g(x) + f (t), d.h. insbesondere durch g(x) = ax bzw. f (t) = bt mit geeigneten Konstanten a, b gelöst werden. Geben
Sie die Phase S(x, t) an.
d) Überzeugen Sie sich abschließend von der Form der transformierten Wellenfunktion:
i m0 2 0 0 0 0
iS(x,t)
0
ψ (x , t ) = e
ψ(x, t) = exp −
m0 vrel x +
v t
ψ(x0 + vrel t0 , t0 )
~
2 rel
Was impliziert dieses allgemeine Resultat beispielsweise für ebene Wellen als Lösung der
freien SGL?