Fachrechnen für die Feuerwehr - ReadingSample - Beck-Shop

Die Roten Hefte e, Bd. 31
Fachrechnen für die Feuerwehr
Bearbeitet von
Kurt Klingsohr
überarbeitet 2007. Taschenbuch. 145 S. Paperback
ISBN 978 3 17 019903 3
Format (B x L): 10,5 x 14,8 cm
Gewicht: 100 g
Wirtschaft > Verwaltungspraxis > Feuerwehr, Katastrophen- und Zivilschutz
Zu Inhaltsverzeichnis
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1 Grundlagen
1.1 Die vier Grundrechenarten
Zusammenzhlen oder Addieren:
Summand plus Summand ist gleich
3
+
18
=
Summe
21
Abziehen oder Subtrahieren:
Minuend minus Subtrahend ist gleich
12
–
7
=
Differenz
5
Zieht man eine grßere Zahl von einer kleineren Zahl ab, ist das
Ergebnis eine negative Zahl:
8
–
15
=
–7
Malnehmen oder Multiplizieren:
Faktor
mal Faktor
ist gleich
4
·
12
=
Produkt
48
Folgende Rechenregeln gelten fr die Multiplikation:
Multipliziert man eine positive Zahl mit einer positiven Zahl, ist
das Ergebnis wieder eine positive Zahl:
8
·
2
=
16 (»+ · + = +«)
Werden zwei negative Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis ebenfalls positiv:
–8
·
–3
=
24 (» – · – = +«)
7
Das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ:
–8
·
5
=
– 40 (» – · + = –«)
Teilen oder Dividieren:
Dividend durch Divisor
ist gleich Quotient
36
:
9
=
4
Werden in einer Rechnung Grundrechenarten gemischt, so gilt
die Regel: Punkt geht vor Strich.
Beispiel:
3 · 6 + 4 · 8 = 50
Es werden zuerst die Produkte 3 · 6 = 18 und 4 · 8 = 32 gebildet, da ihre Faktoren durch Punkte verbunden sind. Dann erst
werden die beiden Produkte zusammengezhlt.
Anders ist zu verfahren, wenn Klammern gesetzt sind:
3 · (6 + 4) · 8 = 240
Dann sind zuerst die Klammern auszurechnen.
Hier handelt es sich um ein Produkt aus drei Faktoren. Einer
davon ist die Klammer, deren Wert 6 + 4 = 10 zuerst ausgerechnet werden muss.
Smtliche folgenden Rechenarten sind Anwendungen und
Kombinationen der vier Grundrechenarten.
Eine Hochzahl (Exponent) wie z. B. 103 oder 54 hat nichts mit
»hherer Mathematik« zu tun, sondern stellt nur eine abkrzende Schreibweise fr ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren
dar. Werden mehrere gleiche Faktoren malgenommen, so
braucht man sie nicht einzeln aufzuschreiben, sondern versieht
8
einen Faktor mit einer Hochzahl. Die Hochzahl gibt an, wie viele
gleiche Faktoren zu multiplizieren sind. Man nennt eine Zahl mit
einer Hochzahl eine Potenz.
103 = 10 · 10 · 10 = 1 000
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
1.2 Bruchrechnung
Nicht immer knnen wir mit ganzen Zahlen rechnen. Die ganze
Zahl, die Teilung ohne Rest und das Fehlen eines Kommas bilden
bei technischen Rechnungen die Ausnahme.
Gebrochene Teile einer Einheit knnen auf verschiedene
Weise angegeben sein:
Als gemeine Brche, wenn es sich um einfache Verhltnisse
1
1
2
handelt, z. B. die Hlfte = , ein Drittel = , zwei Drittel =
2
3
3
usw. Das sind so genannte echte Brche, da ihr Wert kleiner als
1 ist.
ber dem Bruchstrich steht der Zhler. Er gibt die Zahl der
Bruchteile an.
Unter dem Bruchstrich steht der Nenner. Er benennt den
Bruch, z. B. Drittel, Achtel, Zwanzigstel.
Da ein Bruch nur eine andere Schreibweise fr eine Division
1
ist, nennt man ihn auch Quotient (z. B. 1 : 4 = Þ:
4
Bei den echten Brchen ist der Nenner immer grßer als der
1 3 5 19 4
;
;
usw.
Zhler, z. B. ; ;
4 8 16 20 100
9
Ist der Zhler grßer als der Nenner, so spricht man von einem
unechten Bruch, diesen kann man in eine gemischte Zahl verwandeln. Will man mit gemischten Zahlen rechnen, muss man
sie in unechte Brche verwandeln.
Beispiele:
1 2 1 3
= + = ;
2 2 2 2
16 15 1
1
=
+ =5 .
3
3 3
3
1
3
1 3 8 1 24 + 1 25
=
+ =
= ;
8
8
8
8
8
1.2.1 Rechenregeln fr das Bruchrechnen
Ein Bruch, dessen Zhler und Nenner gleich sind, hat immer den
Wert 1.
Beispiele:
4
8
24
= 1;
= 1;
=1
4
8
24
Brche knnen gekrzt und erweitert werden, ohne dass sich ihr
Wert ndert.
Krzen heißt den Zhler und den Nenner durch die gleiche
Zahl teilen, d. h. praktisch, gleiche Faktoren wegzulassen.
Beispiele:
6
2 3
1
¼
¼ ;
24
2 2 2 3
4
234
2 3 3 13
6
bÞ
¼
¼
¼ 6;
39
3 13
1
aÞ
10
cÞ
13
13
¼
:
20
20
Fallen im Zhler alle Faktoren durch Krzen weg, so bleibt nur
die Zahl 1 stehen, da man immer den Wert 1 erhlt, wenn man
eine Zahl durch sich selbst teilt (Beispiel a).
Fallen im Nenner alle Faktoren durch Krzen weg, so wird
der Bruch eine ganze Zahl mit dem Wert des Zhlers. Auch im
Nenner bleibt immer der Faktor 1 stehen, doch ergibt eine Teilung durch 1 stets wieder den Wert des Zhlers (Beispiel b).
Erweitern heißt im Zhler und im Nenner den gleichen Faktor hinzufgen, also mit der gleichen Zahl multiplizieren.
Beispiele:
1
1 8
8
2
2 5 3
30
¼
¼
;
b)
¼
¼
;
3
3 8
24
5
5 5 3
75
1
1 7 4
7 4
28
cÞ
¼
¼
¼
:
8
8 7 4
56 4
224
aÞ
Beide Vorgnge sind fr technische Rechnungen wichtig, insbesondere fr das Umstellen der Formeln und fr die Verwandlung
von Maßeinheiten. Um zu erkennen, welche Faktoren im Zhler
und Nenner gleich sind, ist es notwendig, Zhler und Nenner in
Primfaktoren zu zerlegen.
Primfaktoren sind Primzahlen, die als Faktor dastehen, d. h.
mit anderen Zahlen durch ein Malzeichen verbunden sind. Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 oder durch sich selbst ohne
Rest teilbar sind, also 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43 usw.
11
Beispiel:
8 580
2 2 3 5 11 13
¼
11 704
2 2 2 7 11 19
Nun kann man die Faktoren 2 · 2 · 11 im Zhler und Nenner
weglassen (krzen)
¼
3 5 13
195
¼
:
2 7 19
266
Brche knnen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn
sie gleichnamig sind, d. h. wenn sie den gleichen Nenner haben.
Das Gleichnamigmachen geschieht durch Bildung eines Hauptnenners. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache
aller vorkommenden Nenner. Um den Hauptnenner zu finden,
mssen die Nenner in die kleinstmglichen Faktoren (Primfaktoren) zerlegt werden, woraus dann das kleinste gemeinsame Vielfache gebildet wird. Dies geschieht durch Multiplikation aller
vorkommenden Primfaktoren in der hchstvorkommenden
Potenz. Sind die Brche gleichnamig, werden sie auf einen
gemeinsamen Bruchstrich geschrieben, in dessen Nenner der
ermittelte Hauptnenner steht. Die entsprechend erweiterten Zhler knnen dann addiert oder subtrahiert werden.
12
Beispiel:
3
1
1
5
þ
þ
¼
8
4
9
12
Zur Ermittlung des Hauptnenners werden die Einzelnenner in
Faktoren zerlegt:
8=2·2·2
4=2·2
9=3·3
12 = 3 · 2 · 2
Jetzt muss jeder vorkommende Faktor in der hchstvorkommenden Potenz zur Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
(Hauptnenner) verwendet werden.
Faktor 2, hchstvorkommende Potenz 23 = 2 · 2 · 2
Faktor 3, hchstvorkommende Potenz 32 = 3 · 3
kleinstes gemeinsames Vielfaches 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 8 · 9 = 72
72 ist der Hauptnenner.
Jetzt werden die einzelnen Brche durch Erweitern in Zweiundsiebzigstel verwandelt:
3
3 9
27
¼
¼
;
8
8 9
72
1
1 18
18
¼
¼
;
4
4 18
72
1
1 8
8
¼
¼
;
9
9 8
72
5
5 6
30
¼
¼
:
12
12 6
72
Alle Brche knnen nun auf einen gemeinsamen Bruchstrich mit
dem Nenner 72 geschrieben werden:
27
18
8
30
27 þ 18 8 þ 30
þ
þ
¼
:
72
72
72
72
72
Ausrechnen des Zhlers:
27 + 18 + 30 = 75, 75 – 8 = 67, Ergebnis
67
:
72
Krzen ist nicht mehr mglich, da 67 eine Primzahl ist.
13
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem der
Zhler des Bruches mit der Zahl multipliziert wird.
Beispiele:
3
3 2
6
1
2 ¼
¼
¼ 1 ;
4
4
4
2
2
2 5
c) 5 ¼
¼ 2:
5
5
a)
b)
1
1 22
22
22 ¼
¼
7
7
7
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl geteilt, indem der Nenner
des Bruches mit der Zahl multipliziert wird.
Beispiele:
1
1
1
3
3
1
: 2 ¼
¼
;
b) : 3 ¼
¼ ;
8
8 2
16
7
3 7
7
2
2
2
1
c) : 26 ¼
¼
¼
:
3
3 26
3 2 13
39
a)
Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem Zhler mit
Zhler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.
Beispiele:
1 1
1 1
1
1 21
1 3 7
3
¼
¼
;
b) ¼
¼ ;
3 4
3 4
12
7
4
7 2 2
4
2 1 11
2 1 11
22
¼
¼
:
c) 9 3 13
9 3 13
351
a)
14
Ein Bruch wird durch einen Bruch geteilt, indem er mit dem gestrzten (reziproken) Wert (Kehrwert) des Divisors multipliziert
wird.
Beispiele:
3 2
3 7
3 7
21
5
:
¼
¼
¼
¼ 2 ;
4 7
4 2
4 2
8
8
5
15
5 24
5 3 8
1
b)
:
¼
¼
¼ :
16 24
16 15
2 8 3 5
2
a)
Dies sind die wichtigsten Rechenregeln fr die Bruchrechnung.
Ein weiteres Eindringen in die Bruchrechnung ist fr den Feuerwehralltag nicht erforderlich.
1.2.2 Dezimalbrche
Gebrochene Teile einer Einheit knnen anstelle der Schreibweise
mit Bruchstrich mit einem Komma versehen sein. Solche Brche
nennen wir Dezimalbrche. Dezimalbrche kommen im tglichen Leben und insbesondere bei technischen Rechnungen fast
ausschließlich vor, sodass der Umgang mit ihnen sowie die sichere
Beherrschung »des Kommas« eine der wichtigsten Voraussetzungen fr die richtige Lsung technischer Rechenaufgaben bildet.
Merke:
Der kleinste Kommafehler verflscht das Ergebnis der Rechnung um das Zehnfache! Ein derartiges Ergebnis ist unbrauchbar!
Gemeine Brche, deren Nenner eine Potenz von 10 ist, lassen sich
als Dezimalbrche (Kommazahlen) schreiben. Dabei gibt die erste
15
Stelle hinter dem Komma die Zehntel, die zweite Stelle hinter dem
Komma die Hundertstel, die dritte Stelle die Tausendstel usw. an.
3
5
8
¼ 0;3;
¼ 0;05;
¼ 0;008
10
100
1 000
Alle gemeinen Brche knnen in Dezimalbrche umgewandelt
werden, indem man den Zhler durch den Nenner teilt, oder sie
so erweitert, dass im Nenner eine Potenz von 10 steht.
Beispiele:
1
5
¼
¼ 0,5;
2
10
3
12
¼
¼ 0,12
25
100
Ein Dezimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man das Komma weglsst, den Zahlenwert in den Zhler
schreibt und einen Nenner bildet, der aus einer 1 mit so vielen Nullen besteht, wie der Dezimalbruch Stellen hinter dem Komma hat.
Beispiele:
7
10
Eine Dezimalstelle ergibt 1 mit einer 0.
0,7 ¼
33
100
Zwei Dezimalstellen ergeben 1 mit zwei Nullen.
0,33 ¼
1 825
73
Kürzen! ¼
1 000
40
Probe: 73 : 40 = 1,825 s. o.
330
100
200
–
1,825 ¼
16