1. Der Satz des Pythagoras
Werbung
1. Der Satz des Pythagoras a, b und c sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. 1 1.1 Arithmetischer Beweis Man versucht den Satz des Pythagoras zu beweisen, indem man den Flächeninhalt des Quadrats c² mit der Summe der Flächeninhalte der eingepassten Figuren gleichsetzt. Folgende Figuren werden in das Quadrat mit der Seitenlänge c eingepasst: Vier kongruente Dreiecke: o Die Hypotenusen der Dreiecke entsprechen der Seitenlänge des Quadrats. o Die Katheten des Dreiecks sind mit a und b gekennzeichnet. o Der Flächeninhalt des Dreiecks: Das Quadrat, das übrig bleibt, wird der Seitenlänge (a-b) zugeordnet. o Der Flächeninhalt des Quadrats: Der Flächeninhalt des Quadrats c²: 2 1.2 Zerlegungsbeweis Hier sieht man eine Figur, die zusammengesetzt ist aus 2 Quadraten mit den Seitenlängen a und b und deren Flächeninhalt a2 + b2 beträgt. Wenn man nun diese Figur geeignet zerlegt und anschließend dreht, wie man auf dem unteren Bild erkennen kann, erhält man ein Quadrat c², das gleich dem Flächeninhalt der oberen Figur ist. Diese Figur wird in 2 kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b zerlegt. Wenn man diese Dreiecke dann noch um 90º dreht, erhält man das Viereck ADBC. 3 Folgerungen: Alle vier Seiten c des Vierecks sind gleich lang (Kongruenz). Das Viereck hat jeweils bei A und bei B einen rechten Winkel (wegen der Drehung). Der Winkel bei C ist ebenfalls ein rechter Winkel. (Dieser Winkel setzt sich aus den beiden Winkeln und des Dreiecks ADE zusammen, die zusammen 90º ergeben.) Das Viereck ADBC ist ein Quadrat. → (Das können wir für die Flächenquadrate über den Seiten der rechtwinkligen Dreiecke folgern.) 4 1.3 Ergänzungsbeweis In ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen. Man betrachtet zunächst das rechtwinklige Dreieck ABC: Man passt nun die zu dem oberen rechtwinkligen Dreieck gehörenden Kathetenquadrate a² und b² in ein größeres Quadrat hinein, so dass das Quadrat die Seitenlängen (a+b) besitzt. 5 Die nächste Figur beinhaltet das Hypotenusenquadrat des oberen rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c. Nun ergänzt man diese beiden obigen Figuren mit vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c. Da diese beiden Quadrate (a+b)² deckungsgleich und damit auch flächeninhaltsgleich sind und weil die ursprüngliche Figuren, gemeint sind a²+ b² und c², nur durch kongruente Dreiecke ABC ergänzt wurden, müssen auch die ursprünglichen Figuren a²+ b² und c²flächeninhaltsgleich sein. Deshalb gilt für die Flächenquadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: 6 1.4 Ähnlichkeitsbeweis Man verwendet zum einen die Ähnlichkeitsbeziehung von rechtwinkligen Teildreiecken des rechtwinkligen Dreiecks ABC und zum anderen die Flächeninhalte von den Teildreiecken des Dreiecks ABC. Durch die Kombination dieser Beziehungen gelangt man zum Satz des Pythagoras. Man betrachtet zuerst das Dreieck ABC: Nun zeichnet man die rechtwinkligen Teildreiecke CQE und CQF in das rechtwinklige Dreieck ABC ein: 7 Die rechtwinkligen Dreiecke CQE und CQF sind kongruent und dem Dreieck ABC ähnlich. Deshalb gilt: a`: a = b`: b = c`: c (1) Da sich Dreieck ABC aus Dreieck AQC und Dreieck BCQ zusammensetzt, kann man die Flächeninhalte folgendermaßen beschreiben: 1/2 c·c`= 1/2 a·a`+ 1/2 b·b` (2) Wenn man nun (1) und (2) kombiniert, ergibt sich für die Quadratflächen über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: 8 1.5 Scherungsbeweis Ziel dieses Beweises ist es, die beiden Quadrate über den Katheten a und b eines rechtwinkligen Dreiecks in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat über der Hypotenuse c zu verwandeln. Man schert zuerst das Kathetenquadrat zu einem Parallelogramm in das Dreieck ABC hinein, wobei die Scherungsachse zunächst GA ist. 9 Anschließend dreht man das Parallelogramm um 90° um den gemeinsamen Punkt A. Das Parallelogramm schert man zu einem Rechteck in die Fläche des Hypotenusenquadrats hinein, wobei die Scherungsachse AH ist. 10 Nun schert man das Kathetenquadrat zu einem Parallelogramm in das Dreieck ABC hinein, wobei die Scherungsachse BD ist. Anschließend dreht man das Parallelogramm um 90° um den gemeinsamen Punkt B. 11 Das Parallelogramm schert man zu Rechtecken in die Fläche des Hypotenusenquadrats hinein, wobei die Scherungsachse BK ist. Sowohl bei der Scherung als auch bei der Drehung bleibt der Flächeninhalt gleich und deshalb ist das Quadrat über der Hypotenuse c flächeninhaltsgleich den Quadraten über den Katheten a und b. Somit kann man dann schreiben: 12 1.6 Pythagoras nach Garfield Zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke werden so aneinander gelegt, dass 2 unterschiedliche Katheten auf einer Geraden liegen. Nun ergänzt man diese Figur zu einem Trapez. Berechnung von mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt des Trapezes: Berechnung von mit Hilfe der Addition der Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke, aus denen sich das Trapez zusammensetzt: Aus: folgt: 13 2. Der Höhensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe gleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. 14 2.1 Beweis des Höhensatzes Man ergänzt zum einen das Höhenquadrat und zum anderen das Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten zu zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken. Da die beiden durch Ergänzung entstandenen Figuren deckungsgleich sind, müssen die ergänzten Figuren flächeninhaltsgleich sein. 15 Weil die Hypotenuse zum Quadrat das Gleiche ist wie beide Hypotenusenabschnitte addiert zum Quadrat, können wir für das Höhenquadrat und dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten schreiben: 16 3. Der Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. 17 3.1 Beweis des Kathetensatzes Zu zeigen ist die Flächeninhaltsgleichheit vom Quadrat ACEF über der Kathete [AC] mit dem Rechteck AHGD aus der Hypotenuse c und dem Hypotenusenabschnitt [AD]. Dafür genügt der Nachweis, dass Dreieck ACF (= halbes Quadrat) und Dreieck AHD (= halbes Rechteck) denselben Flächeninhalt besitzen. Weil BC parallel zu AF ist, haben die beiden Dreiecke ACF und ABF denselben Flächeninhalt (Grundlinie und Höhe der beiden Dreiecke sind identisch). Weil CD parallel zu AH ist, sind auch die Dreiecke AHD und AHC flächeninhaltsgleich. 18 Für die Dreiecke ABF und AHC gilt nun aber: Nach dem Kongruenzsatz SWS sind daher die Dreiecke ABF und AHC kongruent und somit flächengleich. Hieraus folgt, dass dann auch die Dreiecke ACF und AHD denselben Flächeninhalt besitzen müssen. Also gilt im rechtwinkligen Dreieck: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur betreffenden Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt. 19 4. Verallgemeinerung 4.1 Ähnliche Figuren mit Pythagoras Der Satz des Pythagoras gilt nicht nur für die Quadratflächen über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, sondern auch für beliebige ähnliche Figuren. Die ähnlichen Dreiecke (bunt gekennzeichnet) werden um ihre jeweilige Hypotenuse nach außen geklappt. Man erhält den Zusammenhang, dass die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks über der Hypotenuse ist. Dieser Zusammenhang beruht auf der Ähnlichkeit der drei aufgesetzten Figuren. Setzt man auf die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks drei andere ähnliche Figuren (z. B. Viertel- oder Halbkreise, gleichseitige Dreiecke, Quadrate, ...), so sind die Verhältnisse ihrer Flächeninhalte stets gleich, nämlich wie a2:b2:c2. Hieraus folgt wegen den Flächenverhältnissen: 20 Die Figuren über den Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind zusammen genauso groß wie die Figur über der Hypotenuse des Dreiecks. Ein bekanntes Beispiel sind die "Möndchen des Hippokrates". Hierbei wird nun der Halbkreis über der Hypotenuse nach oben geklappt und so erhält man die bekannte Konfiguration, die sogenannte Möndchen des Hippokrates. Die Fläche des Dreiecks ABC ist gleich der Summe der Flächen der beiden Möndchen. 21 4.2 Pythagoras und der Kosinussatz In einem Dreieck ist das Quadrat der einem spitzen (stumpfen) Winkel gegenüberliegenden Seiten gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus (plus) dem zweifachen Produkt einer dieser Seiten mit der Projektion der anderen Seite. Mit Hilfe trigonometrischer Funktionen erhalten wir für Projektion von der Strecke AC auf die Strecke BC: Weil kann man auf die Fallunterscheidung spitz- bzw. stumpfwinklig verzichten. Weil cos 90° = 0 gilt nun für beliebige Dreiecke: 22 Kehrt man nun zu der bekannten Pythagoraskonfiguration mit den Quadraten über den Seiten des Dreiecks zurück, sollte der kleine Unterschied bestehen, dass das Dreieck nicht mehr rechtwinklig ist. Man zeichnet die Höhen in das Dreieck und verlängert diese bis zu den gegenüberliegenden Quadratseiten. In einem spitzwinkligen Dreieck unterteilen die verlängerten Höhen die Quadrate in jeweils zwei Rechtecke. Es gilt: Je zwei in einer Ecke des Dreiecks ABC zusammentreffende Rechtecke sind flächengleich. (gilt sowohl für stumpfwinklige Dreiecke) 23 und liegen als Höhenfußpunkte auf dem Thaleskreis über . Für ein spitzwinkliges Dreieck ABC sind CA bzw. CB Sekanten bzgl. dieses Kreises. Der Sekantensatz lautet: Zieht man durch einen Punkt im Kreisäußeren zwei Sekanten, so sind die Rechtecke aus den jeweiligen Sekantenabschnitten flächeninhaltsgleich. Aus dem Sekantensatz folgt die Flächengleichheit der Rechtecke. Für ein stumpfwinkliges Dreieck ABC sind die sich in C schneiden. bzw. Sehnen im Thaleskreis, Die Flächengleichheit der Rechtecke ergibt sich dann aus dem Sehnensatz, der lautet: Zieht man durch einen Punkt im Kreisinneren zwei Sehnen, so sind die Rechtecke aus den jeweiligen beiden Sehnenabschnitten flächeninhaltsgleich. 24 5. Spezialisierung: Gleichschenklige – rechtwinklige Dreiecke Wendet man den Satz des Pythagoras an, so gilt: c2 = a2 + a2 = 2a2 c = sqrt 2 · a2 Diese Beziehung gilt für jedes gleichschenklig - rechtwinkliges Dreieck. Wegen der Irrationalität von sqrt2 kann kein gleichschenklig - rechtwinkliges Dreieck ganzzahlige Seiten besitzen. 25
