Mathematik I -- ITB

Zahlen, Beträge, Ungleichungen
Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Mathematik I ITB
Funktionen
Prof. Dr. Karin Melzer
26.10.08
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Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Reelle Zahlen
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Aufbau des Zahlensystems (I)
N = {1, 2, 3, . . . }
=⇒ Summe m + n und Produkt m · n natürlicher Zahlen sind
wieder natürliche Zahlen.
Aber: Das Ergebnis von 3 − 5 = −2 liegt nicht in den
natürlichen Zahlen.
I Natürliche Zahlen
I
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Erweiterung von N um 0 und negative Zahlen
=⇒ Subtraktion uneingeschränkt durchführbar.
Aber: Das Ergebnis von −53 liegt nicht in den ganzen Zahlen.
I Ganze Zahlen
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Reelle Zahlen
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Aufbau des Zahlensystems (II)
(Brüche) Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ N}
=⇒ Division uneingeschränkt durchführbar (auÿer durch 0).
Bsp.: x = 0, 43 = 0, 434343 . . . = 43
99 ist eine rationale Zahl.
Aber: Umkehr des√Quadrierens nicht immer möglich.
x 2 = 2 ⇐⇒ x = 2 ist keine rationale Zahl (kann nicht als
Bruch dargestellt werden).
I Rationale Zahlen
I Reelle Zahlen
R = {a, b1 b2 b3 . . . : a ∈ Z und b1 , b2 , b3 , · · · ∈ {0, 1, . . . , 9}}
Alle Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl darstellen lassen.
Reelle Zahlen, die nicht abbrechend
und nicht periodisch sind,
√
heiÿen irrationale zahlen. 2 = 1, 414213 . . . bzw.
1 m
e = lim 1 +
= 2, 7182818 . . . sind irrationale Zahlen.
m→∞
I
m
Es gilt N ⊂ N
Z⊂Q⊂R
0 ⊂
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Reelle Zahlen
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Ungleichungen (I)
Anders als bei Gleichungen sind Terme der linken und der rechten
Seite einer Ungleichung durch ein Ungleichheitszeichen
(<, ≤, oder >, ≥) verbunden. Oft ist es ratsam sich eine
Ungleichung an einem Zahlenstrahl zu veranschaulichen.
I
I
Beim Vergleich reeller Zahlen gilt stets genau einer der drei
Fälle: a < b , a > b , a = b.
a < b bedeutet a liegt auf dem Zahlenstrahl links von b.
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Reelle Zahlen
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Ungleichungen (II)
I
Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung
dasselbe addiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen
nach rechts, der Abstand bleibt derselbe, linke Seite bleibt
kleiner als rechte Seite.
I
Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung
dasselbe subtrahiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl
rutschen nach links, der Abstand bleibt (wie bei der Addition)
derselbe, linke Seite bleibt kleiner rechte Seite.
=⇒ Addition und Subtraktion sind Äquivalenzumformungen, bei
denen sich nichts am Abstand ändert (das
Ungleichheitszeichen bleibt unverändert).
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Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Ungleichungen (III)
I
I
Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit
derselben positiven Zahl multipliziere bzw. durch dieselbe
positive Zahl dividiere? Die Bildpunkte ändern ihre Entfernung,
der Bildpunkt von a liegt aber weiterhin links vom Bildpunkt
von b.
Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit (1)
multipliziere? Dies bedeutet eine Spiegelung der Punkte am
Nullpunkt, der Bildpunkt von a liegt nun rechts vom Bildpunkt
von b. Das bedeutet, dass sich das Ungleichheitszeichen
ändert: a < b =⇒ −b < −a
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Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Ungleichungen
Als Fazit ergeben sich beim Multiplizieren und Dividieren
Unterschiede zum Umgang mit Gleichungen:
Gleichungen
Ungleichungen
⇐⇒
a
a±c
=
=
b
b±c
⇐⇒
⇐⇒
ac
=
bc (für c 6= 0)
⇐⇒
FU
a < b
a± c < b ± c
ac < bc für c > 0
ac > bc für c < 0
Wird eine Ungleichung mit einer Variablen multipliziert, so
ist eine Fallunterscheidung (FU) notwendig.
Merke:
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Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I
Berechne die Lösungsmenge von
Fallunterscheidung:
I x − 1 > 0 bzw.
⇐⇒
2
x
3
⇐⇒
I
⇐⇒
>1
7
3
7
≤ −
2
=⇒
(x 6= 1).
x + 2 ≤ 13 (x − 1) = 13 x −
1
3
≤ −
x
x − 1 < 0 bzw.
⇐⇒
x
x +2 1
≤
x −1 3
2
x
3
x
x
<1
Widerspruch zu x > 1 =⇒ La = ∅
=⇒
7
3
7
≥ −
2
x + 2 ≥ 13 (x − 1) = 13 x −
≥ −
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7
Lösungsmenge Lb = − , 1
2
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1
3
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Reelle Zahlen
Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I (Forts.)
Bezeichnungen für Intervalle:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
(a, ∞) = {x ∈ R : a < x }
Runde Klammer: Randpunkt gehört nicht zum Intervall
Eckige Klammer: Randpunkt gehört zum Intervall
Für unser Beispiel gilt damit die Lösungsmenge:
7
L = La ∪ Lb = − , 1
2
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Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel II
Welche Lösung besitzt die Ungleichung x12 < 4?
Tipp: Bringe Ausdruck in die Form einer Quadratischen Gleichung.
1
x2
<4
1 < 4x 2
Die Gleichung 4x 2 = 1 ist erfüllt für x1 = 12 ; x2 = − 12 . Die
Ungleichung ist erfüllt für alle x, die kleiner als − 21 und gröÿer als
sind.
x = −1 ⇒ x 2 = 1 > 14
⇒ x 2 = 0 < 14
Test: x = 0
x =1
⇒ x 2 = 1 > 14
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1
2
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Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen
Oft interessiert nur die absolute Abweichung von einem Wert, nicht
das Vorzeichen (Bsp.: Messgenauigkeit von Instrumenten).
Denition: Betrag von
|a| =
oder
a
−a
|a| =
Merke:
√
a
falls a ≥ 0
falls a < 0
a2
Fallunterscheidungen sind notwendig!
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Rechnen mit Ungleichungen
Rechnen mit Beträgen
Beispiel: Betragsfunktion
f (x ) = |x 2 − 1|
Kritische Stellen sind Stellen, an denen der Betrag das Vorzeichen
wechselt, hier: x 2 = 1 bzw. x = 1 oder x = −1. Anhand dieser
Stellen kann die Fallunterscheidung vorgenommen werden.
Fallunterscheidung:
2
2
x −1
für x ≤ −1 und x ≥ 1
x − 1 =
−(x 2 − 1)
für − 1 < x < 1
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Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen: Beispiel (I)
Gesucht: alle Zahlen, die sich von 5 um weniger als 0,5
unterscheiden. |5 − x | < 0, 5.
Kritische Stelle: x = 5
Fallunterscheidung:
1) x ≤ 5 :
5 − x < 0, 5
⇐⇒ x > 4, 5 =⇒ L1 = (4, 5; 5]
2) x > 5 : −(5 − x ) < 0, 5 ⇐⇒ x < 5, 5 =⇒ L2 = (5; 5, 5)
Für die Lösungsmenge L gilt damit:
L = L1 ∪ L2 = (4, 5; 5, 5)
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Rechnen mit Beträgen
Rechnen mit Beträgen: Beispiel (II)
Gesucht: alle Lösungen der Ungleichung |3x | ≤ |x + 1| − x
Kritische Stellen: x1 = −1 und x2 = 0.
Fallunterscheidung:
a)
x ≥0:
3x ≤ x + 1 − x ⇔ x ≤ 13
b) −1 ≤ x < 0 : −3x ≤ x + 1 − x ⇔ x ≥ − 13
c)
x < −1 :
−3x ≤ −(x + 1) − x ⇔ 1 ≤ x
=⇒ La = [0; 13 ] =⇒ Lb = − 13 ; 0
=⇒ Lc = ∅
Bei der Lösungsmenge muss die Annahme über den Wertebereich
von x berücksichtigt werden.
1 1
L = La ∪ Lb ∪ Lc = − ;
3 3
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Was ist eine Funktion?
I
Funktionen (auch Abbildungen genannt) gehören zu den
wichtigsten mathematischen Objekten überhaupt. In in nahezu
allen Anwendungen spielen sie eine unverzichtbare Rolle.
I
Unter einer Funktion kann man sich eine
Input-Output-Maschine (Eingabe-Ausgabe-Maschine)
vorstellen. Sie nimmt ein Ding als Eingabe entgegen und gibt
daraufhin ein Ding aus. Und das macht sie nach einer genauen
(eindeutigen) Vorschrift gleiche Eingaben führen immer zu
gleichen Ausgaben. Das ist alles!
I
Ding bedeutet vorläug für uns Zahl. Eine Funktion ist also
für uns zunächst eine Maschine, die aus einer Eingabe-Zahl
eine Ausgabe-Zahl macht.
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Was ist eine Funktion?
I
I
I
Beispiel: Quadrier-Funktion
Jeder Zahl x wird ihr Quadrat x 2 zugeordnet. Die
Zuordnungsvorschrift heiÿt einfach quadrieren. Durch die
Zuordnungsvorschrift ist eine Funktion deniert.
Die Zuordnung ist eindeutig: Gleiche Eingaben führen immer
zu gleichen Ausgaben.
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Was ist eine Funktion?
I
I
I
Umgekehrt: kann aus der Ausgabe auf die Eingabe
rückgeschlossen werden? Wenn Ausgabe die Zahl 4 ist was
war die Eingabe? Die Zahl 2 oder Zahl -2!
Rückschluss auf Eingabe ist also nicht zwangsläug möglich!
Eingabe und Ausgabe in unserer Quadrier-Maschine sind nicht
gleichberechtigt. Wenn wir wissen, was im linken
(Eingabe-)Feld steht, wissen wir, was im rechten
(Ausgabe-)Feld steht (nämlich das Quadrat der Eingabe), aber
aus der Kenntnis der Ausgabe folgt nicht notwendigerweise die
Kenntnis der Eingabe.
Funktionen arbeiten daher in einer Richtung (durch Pfeil
dargestellt):
Eingabe 7→ Ausgabe
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Was ist eine Funktion?
I
I
I
Beispiel 2: Die Zuordnungsvorschrift heiÿt jetzt verdoppeln
und 1 subtrahieren.
Die Beschreibung als
Verdoppeln-und-1-subtrahieren-Funktion ist zu kompliziert,
daher verwenden wir eine abgekürzte Schreibweise. Sie stellt
einfach die Idee dar, dass jeder Zahl x die Zahl 2x − 1
zugeordnet wird.
Die Zuordnungsvorschrift kann ein beliebiger Term ( Ausdruck,
der aus Variablen besteht, für die beliebige Zahlen eingesetzt
werden können) sein.
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Was ist eine Funktion?
I
Wir haben bisher zwei Funktionen betrachtet:
x die Zahl x 2 zu,
die zweite ordnet jeder Zahl x die Zahl 2x − 1 zu.
I Die erste ordnet jeder Zahl
I
I
Das ist schon einigermaÿen kurze Beschreibung. Noch kürzer
wird es, wenn wir ihnen einfach irgendwelche Namen
geben! Nennen wir die erste Funktion f und die zweite
Funktion g . Wir können also sagen:
I Die Funktion
I die Funktion
f
g
x die Zahl x 2 zu,
ordnet jeder Zahl x die Zahl 2x − 1 zu.
ordnet jeder Zahl
In der Mathematik sind zwei noch kürzere Schreibweisen üblich:
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Schreibweisen für Funktionen
I
Schreibweise mit
Zuordnungspfeil
f : x 7→ x 2
I
Sprich wird zugeordnet, also x wird zugeordnet x 2 .
Schreibweise mit von-Klammer
Macht deutlich, dass das Ergebnis von der Eingabe abhängt.
f (x ) = x 2 bzw. Funktionsname(Eingabe) = Ausgabe
Gesprochen: f von x ist gleich x 2 .
Klammer nicht verwechseln mit jenen, die Symbole
zusammenfassen. Die Klammern in (x + 1)2 haben eine ganz andere
Bedeutung als die in f (3) = 9.
Achtung:
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Schreibweisen für Funktionen
I
I
Eine Funktion besteht lediglich aus einer eindeutigen
Zuordnungsvorschrift.
Ganz allgemein benötigt man für eine Funktion zwei Mengen
(die wir hier A und B nennen).
Denition: Eine Funktion (auch Abbildung genannt) f von
der Menge A in die Menge B ist eine Vorschrift, die jedem
Element von A in eindeutiger Weise ein Element der Menge
B zuordnet. Wir schreiben:
f : A 7→ B
Zusätzlich zu dieser Angabe muss die Zuordnungsvorschrift
(gleichgültig, in welcher Schreibweise) beschrieben werden,
damit klar ist, wie die Funktion auf beliebige Elemente der
Menge A wirkt.
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Schreibweisen für Funktionen
I
I
Manchmal wird ein eigenes Symbol für die möglichen
Funktionswerte verwendet, z. B. der Buchstabe y . Das
bedeutet, dass zu jedem x ∈ A (kurz: x-Wert, also
Eingabe-Wert) ein y ∈ B (kurz: y-Wert, also Ausgabe-Wert)
deniert ist, und war gemäÿ der Vorschrift y = f (x ). Dies ist
insbesondere dann sinnvoll, wenn zwei Gröÿen x und y
betrachtet werden, und wenn der Wert von y immer (und in
eindeutiger Weise) vom Wert von x abhängt.
Beispiel: Ein Auto fährt von ES nach HH, x steht für die seit
Reisebeginn verstrichene Zeit, y ist die zurückgelegte Strecke.
y ist eine Funktion von x . Zuordnungsvorschrift: y = f (x ).
Man sagt auch: Der Gröÿe x wird die Gröÿe y zugeordnet,
oder: x wird auf y abgebildet. y wird daher auch abhängige
Variable (oder abhängige Gröÿe) genannt.
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Schreibweisen für Funktionen
I
I
Beispiel: f (x ) = x 2 kann auch in der Form y = x 2 geschrieben
werden. So ist dann etwa der zu x = −6 gehörende
Funktionswert y = 36 (gleichbedeutend mit f (−6) = 36).
Bisher: A = B = IR (Menge der reellen Zahlen). A (die
Menge, aus der die Eingabe-Werte beliebig gewählt werden
können) kann auch eine Teilmenge von IR sein. Sind die
Ausgabe-Werte auch reelle Zahlen, d. h. B = IR, so spricht
man von reellen Funktionen.
I Bei reellen Funktionen hängt eine Gröÿe (z. B. Nachfrage) von einer
anderen Gröÿe ab (z. B. Preis). Jede einigermaÿen realistische Gröÿe
hängt aber in Wahrheit von zahlreichen Gröÿen ab (z. B. auch von
Einkommen, Ination, ...). Betrachte Funktionen in mehreren Variablen,
für die die Menge A aus Kombinationen von reellen Zahlen (z. B.
Zahlenpaaren oder Zahlentripeln) besteht =⇒ später.
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Wichtige Funktionsklassen
Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Funktionen: Sprechweisen
Über Funktionen wurde im Laufe der letzten Jahrhunderte viel
gesprochen (und geschrieben). Als Folge haben sich mehrere
Sprechweisen über ein und dieselbe Sache herausgebildet.
Folgende Begrie können im weiteren auftauchen:
I Funktion, Abbildung (von ... in ...), Funktion von ...
I zuordnen, Zuordnung, abbilden, anwenden
I Denitionsbereich, Zielmenge, Wertebereich
I Variable, unabhängige Variable, Veränderliche, Argument,
Stelle, x-Wert
I Funktionswert (an der Stelle ...), Wert einer Funktion,
abhängige Variable, abhängige Gröÿe, y-Wert
I funktionaler Zusammenhang, Zuordnungsvorschrift,
Abbildungsvorschrift, von ... abhängen, auf ... abbilden
I Funktion in einer (mehreren) Variablen
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Wichtige Funktionsklassen
Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Funktionen: Denition
Denition: f heiÿt (reelle) Funktion oder Abbildung einer
Teilmenge Df von IR in IR, wenn jedem x ∈ Df durch die
Abbildungsvorschrift f genau ein y aus der Menge Wf ⊆ IR
zugeordnet wird. Schreibweise:
f : Df −→ Wf , y = f (x ) oder x 7→ y
I Df : Denitionsbereich von f . ( f ist auf Df deniert.)
I
I
I
I
x : Variable, unabhängige Variable oder Argument (beliebiges
Element der Menge Df )
Ein konkreter Wert x0 : Stelle oder x-Wert
y : abhängige Variable, Veränderliche
y0 : Funktionswert (an der Stelle x ), y -Wert
y = f (x ): Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift
W (f ) = {f (x ) : x ∈ X }: Wertebereich (Bild von X ).
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Wichtige Funktionsklassen
Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Darstellung von Funktionen
Es gibt drei Möglichkeiten, Funktionen darzustellen, nämlich durch
x 7→ f (x ) (auch Termdarstellung)
Gegenüberstellung von mehreren x -Werten
I Zuordnungsvorschrift:
I Wertetabellen:
und den zugehörigen Funktionswerten in Form einer Tabelle.
Wertetabellen ermöglichen einen groben Überblick über die
Eigenschaften einer Funktion. Bevor es Computer gab, wurden
sie verwendet, wenn numerisch sehr genaue Werte einer
Funktion erforderlich waren. Dicke Tabellenwerke (z. B. die so
genannten Logarithmentafeln) waren bis ins 20. Jahrhundert
hinein ständige Begleiter der MathematikerInnen.
Darstellung der Punkte (x |y ) mit y = f (x ) in
einem Koordinatensystem heiÿt Schaubild (Kurve, Graph) der
Funktion.
I Graphiken:
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graphik
Stromrechnung:
Einheiten (kWh)
Preis (e)
Grundgebühr + verbrauchte Einheiten
10
12, 80 +
10 · 0, 225
30
12, 80 +
30 · 0, 225
x
12, 80+
x · 0, 225
Zuordnungsvorschrift:
x 7→ 12, 80 + x · 0, 225
bzw.
y = f (x ) = 12, 80 + x · 0, 225
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graphik
Portokosten:
Gewicht
(g)
Porto (e)
0 < x ≤ 20
0,55
Zuordnungsvorschrift:

0, 55 für



1, 00 für
f (x ) =
1, 44 für



2, 20 für
20 < x ≤ 50
1,00
50 < x ≤ 500
1,44
0 < x ≤ 20
20 < x ≤ 50
50 < x ≤ 500
500 < x ≤ 1000
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500 < x
≤ 1000
2,20
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Darstellung
Denitionsbereich
Beispiele: Zuordnungsvorschrift, Wertetabelle, Graphik
Fläche eines Quadrats:
Grundseite (cm)
Fläche (cm2 )
0
0
Zuordnungsvorschrift:
bzw.
1
1
2
4
3
9
...
...
x 7→ x 2
y = f (x ) = x 2
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Graph oder nicht Graph? (1)
Ist die Kurve der Graph oder nicht der Graph einer Funktion?
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Darstellung
Denitionsbereich
Graph oder nicht Graph? (2)
Ist die Kurve jeweils der Graph oder nicht der Graph einer Funktion?
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Denitionsbereich
I
I
Die Variable (z. B. der Buchstabe x ) ist ein Platzhalter, für
den jeder konkrete Wert d.h. jedes Element der Menge X eingesetzt werden kann. Wird z. B. in die Funktion f (x ) = x 2
der Wert x = 7 eingesetzt, so entsteht f (7) = 49.
Ist ein Term für manche Werte der Variablen nicht deniert, so
muss der Denitionsbereich der zugehörigen Funktion
entsprechend eingeschränkt werden. Beispiele:
I
I
x 7→ 1√/x (das Invertieren) ist def. auf IR ohne {0}
x 7→ x (die Wurzelfunktion) ist def. auf IR+0
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Maximaler Denitionsbereich
I
Beispiele
I
I
I
I
f2 (x ) = x −1 2
√
f1 (x ) = 4x − 3
f3 (x ) = ln(x + 2)
x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2
3
Bed.: 4x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥
4
Bed.: x + 2 > 0 ⇔ x > −2
Bed.:
Bei der Bestimmung des Denitionsbereichs sind folgende
Bedingungen zu erfüllen:
1. Nenner
6=
2. Radikand
0
≥
0
3. Argument des Logarithmus
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>0
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Begrie
Darstellung
Denitionsbereich
Maximaler vs. ökonomisch sinnvoller Denitionsbereich
I
Mathematisch gibt es einen maximalen Denitionsbereich für
jede Funktion.
I
Funktionen beschreiben jedoch auch ökonomische
Zusammenhänge, z. B. Preis, Umsatz, etc.
I
I
I
Es gibt einen ökonomisch sinnvollen Denitionsbereich Dökon ,
der u.U. nur eine Teilmenge von Dmax ist.
Beispiel: Zusammenhang zwischen Preis p und abgesetzter
Menge x . Für die Preis-Absatz-Funktion p (x ) wählt man Dökon
so, dass nur nichtnegative Preise und Mengen möglich sind
(also p ≥ 0, x ≥ 0).
Beispiel: bei der Fläche eines Quadrats sind nur positive
Seitenlängen sinnvoll.
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Wichtige Funktionsklassen
Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Übersicht
Wir betrachten folgende Eigenschaften
I
Beschränktheit
I
Symmetrie
I
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
I
Periodische Funktionen
I
Monotonie
I
Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktion
und zwar jeweils die Denition der Eigenschaft selber und ein
Beispiel dazu.
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Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Beschränktheit
I
Nach unten beschränkt: Graph verläuft oberhalb einer
Parallelen zur x -Achse (y = C ) bzw. es gibt eine Konstante C ,
so dass
f (x ) ≥ C für alle x ∈ D
I
Nach oben beschränkt: Graph Kurve verläuft unterhalb einer
Parallelen zur x -Achse bzw. es gibt eine Konstante C , so dass
f (x ) ≤ C
I
für alle x ∈ D
beschränkt: Graph verläuft zwischen zwei Waagrechten y = C
und y = −C bzw. es gibt eine Konstante C , so dass
|f (x )| ≤ C
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für alle x ∈ D
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Zahlen, Beträge, Ungleichungen
Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Beschränktheit Beispiele
I
f (x ) = x 2 + 1 ist nach unten beschränkt: f (x ) ≥ 1
I
f (x ) = −x 2 ist nach oben beschränkt: f (x ) ≤ 0
I
f (x ) = 2 ist beschränkt z. B. durch C = 3
I
f (x ) = cos(x ) ist beschränkt: | cos x | ≤ 1
C heiÿt je nachdem obere bzw. untere Scharanke oder einfach
Schranke.
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Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Symmetrie
Gilt
Gilt
f (−x ) = f (x )
für alle x ∈ Df
f (−x ) = −f (x )
für alle x ∈ Df
dann ist das Schaubild symmetrisch zur y-Achse.
f (x ) heiÿt gerade Funktion.
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dann ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung.
f (x ) heiÿt ungerade Funktion.
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Wichtige Funktionsklassen
Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Symmetrie Beispiele
I
Beispiele für gerade Funktionen:
x n für gerades n (d. h. 1, x 2 , x 4 , . . . ),
x 2 − 1, 1/x 2 , 1/x 4 , 1/(x 2 − 1), (1 − x 2 )1/2 , cos x , sin2 x , x sin x
I
Beispiele für ungerade Funktionen:
x n für ungerades n (d. h. x , x 3 , x 5 , . . . ),
x 3 − x , 1/x , 1/x 3 , x /(x 2 − 1), x (1 − x 2 )1/2 , sin x , x cos x , tan x
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Wichtige Funktionsklassen
Beschränktheit
Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Symmetrie Anwendung
Die Symmetrie vieler elementarer Funktionen ist der schlichten
Identität (−x )2 = x 2 zu verdanken (folgt aus (−1)2 = 1).
Funktionen, in den die Variable x nur quadratisch (d. h. als x 2 )
eingeht, sind immer gerade.
I
Das Produkt zweier gerader oder zweier ungerader Funktionen
ist gerade,
I
das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ist
ungerade.
Symmetrieeigenschaften von Funktionen können ausgenutzt
werden, um Berechnungen abzukürzen: Ist eine Eigenschaft einer
(un)geraden Funktion (z. B. der Verlauf ihres Graphen oder die
Lage einer Nullstelle) im Bereich x ≥ 0 bekannt, so ergibt sich das
Ergebnis für den Bereich x < 0 ganz automatisch.
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Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
I
Schnittpunkt mit der x -Achse: Nullstelle der Funktion
N (x0 /0) mit f (x0 ) = 0
I
Schnittpunkt mit der y -Achse:
A(0/y0 ) mit y0 = f (0)
Es gibt max. einen Schnittpunkt mit der y -Achse.
Beispiel: f (x ) = x 2 − 1 hat die Nullstellen x1 = −1 und x2 = 1 und
schneidet die y -Achse bei 1.
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Symmetrie
Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Periodische Funktionen
I
Eine Funktion f (x ) mit der Eigenschaft
f (x + p ) = f (x )
I
heiÿt periodische Funktion. Die kleinste positive Zahl, p für die
diese Gleichung erfüllt ist, heiÿt Periode der Funktion.
Beispiele:
I Sägezahnfunktion
I
f (x ) = sin x
und
f (x ) = cos x
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sind periodisch mit
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p = 2π
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Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Monotonie (in einem Intervall)
monoton wachsend:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
streng monoton wachsend:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
monoton fallend:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
streng monoton fallend:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Im Graph erkennt man dies als ansteigen-oder-gleichbleiben,
ansteigen, abfallen-oder-gleichbleiben bzw. abfallen.
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Symmetrie
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Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen
I
I
I
I
Funktionen haben Richtung: Eingabe aus Menge D 7→
Ausgabe aus Menge W . Wann kann man von der Ausgabe auf
die Eingabe schlieÿen, die Funktion also umkehren?
Wenn die Funktion eine exakte Entsprechung
(Eins-zu-eins-Zuordnung) zwischen Elementen der Menge D
und Elementen der Menge W deniert.
Genauer: Zu jedem Funktionswert y ∈ W gehört genau ein
Argument x ∈ D .
In Formeln: für jedes y ∈ W existiert genau ein x ∈ D , für das
y = f (x ) gilt.
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Achsenschnittpunkte (Nullstellen)
Periodische Funktionen
Monotonie und Umkehrfunktion
Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen
Denition:
Eine Funktion f mit Denitionsbereich Df und Wertebereich
Wf heiÿt umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert y ∈ Wf
genau ein x ∈ Df gehört.
Die Funktion f −1 , die den Elementen von Wf eindeutig die
Elemente von Df zuordnet, heiÿt Umkehrfunktion der Funktion f .
Funktion y = f (x ) und Umkehrfunktion x = f −1 (y ) besitzen
dasselbe Schaubild, allerdings mit geänderter Zuordnungsrichtung.
Der Graph von f −1 geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung
an der 1. Winkelhalbierenden (Gerade mit der Gleichung y = x )
hervor. (Vertauschen der von den Koordinaten x und y gespielten
Rollen).
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Symmetrie
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Monotonie und Umkehrfunktion
Umkehrbare Funktionen/Umkehrfunktionen
Zu jeder streng monotonen Funktion gibt es eine Umkehrfunktion. Bzw.: Eine im Intervall [a, b] streng monotone
Funktion besitzt dort eine Umkehrfunktion.
Satz:
Die Umkehrfunktion y = f −1 (x ) einer umkehrbaren Funktion f (x )
erhält man in zwei Schritten:
1. Auösen von y = f (x ) nach x
2. Vertauschen von x und y
x = f −1 (y )
y = f −1 (x )
=⇒
=⇒
Dabei werden Denitions- und Wertebereich vertauscht:
Df −1 = Wf , Wf −1 = Df .
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Monotonie und Umkehrfunktion
Umkehrfunktion: Beispiel
f (x ) =
x2
+ 1 mit
x ∈ Df = [0; 2],
y ∈ Wf = [1; 5].
f ist in Df streng monoton wachsend, also existiert dort eine
Umkehrfunktion.
1. Auösen nach x :
√
y = x 2 + 1 ⇒ x 2 = y − 1 ⇒ x = y − 1 also
√
y ∈ Df −1 = Wf = [1; 5],
f −1 (y ) : x = y − 1 mit
x ∈ Wf −1 = Df = [0; 2]
2. Vertauschen von x und y : √
x ∈ Df −1 = [1; 5]
f −1 (x ) : y = x − 1 mit
y ∈ Wf −1 = [0; 2]
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Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Wichtige Funktionsklassen
Übersicht
Wir betrachten folgende wichtige Funktionsklassen und ihre
Graphen, Eigenschaften und Rechenregeln dazu:
I
Potenz-, Wurzelfunktionen;
I
rationale Funktionen;
I
Exponential- und Logarithmusfunktionen, Logarithmengesetze;
I
Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen
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Wichtige Funktionsklassen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Denition Potenzfunktion
Die Funktionen
y = x k mit k ∈ Z
heiÿen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Hochzahlen.
Beispiele für Graphen: 2 Schaubilder
1. x ,
2. x −1
x 2,
x3
= x1 , x −2 = x12
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Polynome
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Eigenschaften der Potenzfunktionen
D
W
f
n gerade
y =x
y = x−
n
n
n ungerade
n gerade
R
R\{0}
R
=
1
xn
n ungerade
R\{0}
[0; ∞)
R
(0; ∞)
R\{0}
Symmetrie
zur y -Achse
zum Ursprung
zur y -Achse
zum Ursprung
Monotonie
& in (−∞; 0]
% in R
% in (−∞; 0)
& in (−∞; 0)
& in (0; +∞)
& in (0; +∞)
f
% in [0; +∞)
gem. Punkte
Asymtoten
(1|1); (0|0)
(1|1); (0|0)
(1|1)
(1|1)
(−1|1)
(−1| − 1)
(−1|1)
(−1| − 1)
x -Achse
y -Achse
x -Achse
y -Achse
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Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Wurzelfunktionen
Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen
y = x n , n ∈ {2, 3, 4, . . . } für x ≥ 0.
√
1
Die Funktionen y = x = x , n ∈
{2, 3, 4, . . . } mit D = {x |x ≥ 0}, W = {y |y ≥ 0}
heiÿen Wurzelfunktionen.
n
Denition:
n
Merke: für uns sind Wurzelfunktionen nur für nichtnegative x
deniert.
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Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Ganzrationale Funktionen/Polynome
Beispiele:
f (x ) = 2x 2 − 3x − 4
g (x ) = 5x 3 + x
h(x ) = x 5
Polynom vom Grad 2
Polynom vom Grad 3
Polynom vom Grad 5 (Potenzfunktion)
Die Funktion pn (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
mit x ∈ R, n ∈ {0, 1, 2, . . . } mit reellen Koezienten
a0 , a1 , . . . , an und an 6= 0 heiÿt Polynom vom Grad
n oder ganzrationale Funktion vom Grad n.
I
I
I
Polynome sind deniert für alle x ∈ R
Schaubilder: ununterbrochene glatte Kurve (ohne Ecken,
Sprünge)
NST eines Polynoms sind die Lösungen der Gleichung
pn (x ) = 0.
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Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Verhalten von Polynomen für |x | → ∞
Für Werte in der Nähe von x = 0 kann man Wertetabelle für einen
gewissen Bereich aufstellen. Aber: Wie verhält sich ein Polynom für
groÿe x ?
Das Verhalten eines Polynoms pn (x ) für groÿe Werte
von |x | hängt nur ab vom Glied mit dem höchsten Exponenten von x :
pn (x ) ≈ an · x n für |x | → ∞.
I
I
n gerade: pn ist entweder nach oben oder unten beschränkt.
n ungerade: pn ist weder nach oben noch n. u. beschränkt.
an > 0: Graph verläuft von li. unten nach re. oben
an < 0: Graph verläuft von li. oben nach re. unten
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Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Nullstellen (NST) und Faktorzerlegung
I
I
I
Wenn man alle NST eines Polynoms kennt, kann man das
Polynom in Faktoren zerlegen, die diese NST berücksichtigen.
Beispiel: Einfachste lineare Funktion mit x1 = 1 als NST:
f (x ) = x − 1
Allgemeinste lineare Funktion mit x1 = 1 als NST:
fa (x ) = a(x − 1), a 6= 0
Beispiel: Einfachste quadratische Fkt. mit NST
x1 = 1, x2 = −3 : g (x ) = (x − 1)(x + 3)
Jede quadratische Fkt. mit NST x1,2 = {1, −3}:
ga (x ) = a(x − 1)(x + 3) = a(x 2 + 2x − 3), a 6= 0
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Polynome
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Satz vom Nullprodukt
Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Durch Polynomdivision kann man ein Polynom sukzessive in
Faktoren der Form (x − xi ) mal Rest zerlegen, wobei die xi
Nullstellen des Polynoms sind.
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Faktorzerlegung
Bemerkungen:
I Jedes Polynom der Form
f (x ) = a(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ),
hat die n Nullstellen x1 , x2 , . . . , xn .
Die Darstellung heiÿt Zerlegung in
Linearfaktoren.
ist nie gröÿer als sein
Grad.
Jede NST hat eine bestimmte Ordnung: x0 ist NST n-ter
Ordnung, wenn der linear-Faktor n-fach vorkommt, d.h. wenn
f (x ) = (x − x0 )n · Rest.
Doppelte NST x1 entspricht Faktor (x − x1 )2 .
Geometrisch: Graph berührt die x -Achse.
I Anzahl der NST eines Polynoms
I
I
a 6= 0
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Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen
Grundbegrie
Denition: Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient aus
zwei Polynomen
R (x ) =
Zn (x )
an x n + an − 1 x n − 1 + · · · + a1 x + a0
=
Nm (x ) bm x m + bm−1 x m−1 + · · · + b1 x + b0
Zähler Zn (x ): Polynom vom Grad n
Nenner Nm (x ): Polynom vom Grad m
Beispiele:
I
I
3
f (x ) = x −x −3x2+5
2
g (x ) = 3x x+2 +4x5+9
n = 3, m = 1
n = 2, m = 2
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Echt/unecht gebrochenrationale Funktionen
Bezeichnungen:
I
n ≥ m d. h. Grad(Zähler) ≥ Grad(Nenner):
unecht
I
gebrochenrationale Funktion
n < m d. h. Grad(Zähler) < Grad(Nenner):
echt
gebrochenrationale Funktion
Satz: Jede unecht gebr.rat. Funktion lässt sich darstellen als
Summe eines Polynoms und einer echt gebr.rat. Funktion
(Polynomdivision).
2 4x +9
−6
Beispiel: f (x ) = 3x x+2 +
= 3 + 4xx2 +
5
5
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Gebrochenrationale Funktionen: Denitionslücken
I
I
Nenner darf nicht Null sein, d.h. R (x ) ist überall deniert,
auÿer an den NST des Nenners, den sog. "Denitionslücken".
Es gibt höchstens m Denitionslücken (Grad Nenner: m).
Beispiele:
I
I
3
f (x ) = x −x −3x2+5
2
g (x ) = 3x x+2 +4x5+9
Df = R\{2}
Dg = R (x 2 + 5 ist immer > 0).
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Gebrochenrationaler Funktionen: Nullstellen
R (x ) =
Zn (x )
Nm (x )
hat dort Nullstellen, wo der Zähler Null und der Nenner ungleich
Null ist:
R (x0 ) =
Zn (x0 )
= 0 ⇐⇒ Z (x0 ) = 0 und N (x0 ) 6= 0
Nm (x0 )
Beispiel:
x (x − 1)
x2 − x
=
x +2
x +2
Nullstellen: x1 = 0, x2 = 1
R (x ) =
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Verhalten in der Nähe von Denitionslücken
Zwei Fälle: Nenner an der Stelle x0 gleich Null N (x0 ) = 0
I
I
I
und
Zähler Z (x0 ) 6= 0 :
Pol (Unendlichkeitsstelle)
Zähler Z (x0 ) = 0 :
oder
Pol (Unendlichkeitsstelle)
behebbare Denitionslücke
Ein
oder auch
senkrechte Asymptote liegt dann bei einer Denitionslücke
vor, wenn die Funktion an dieser Stelle von links bzw. rechts
gegen +∞ oder −∞ strebt (Grenzwert ±∞)
Pol
bzw. eine
Unendlichkeitsstelle
durch eine nachträgliche
Denition des fehlenden Funktionswerts kann die Funktion zu
einer stetigen Funktion gemacht werden.
I (be)hebbare Denitionslückse:
I
Pol, behebbare Denitionslücke graphisch?
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Fazit: Verhalten bei Denitionslücken
I
Ist x0 eine p -fache Nullstelle des Nanners und keine Nullstelle
des Zählers, so besitzt R (X ) bei x0 eine Unendlichkeitsstelle
oder einen Pol.
I
I
I
p gerade ⇔ Pol ohne Zeichenwechsel
p ungerade ⇔ Pol mit Zeichenwechsel
Ist x0 Nullstelle des Nenners und des Zählers einer
gebrochenrationales Funktion R (x ), so sind zwei Fälle möglich:
I
R (x ) kann (durch Kürzen) bei x0 stetig ergänzt werden
(hebbare Denitionslücke).
I
R (x ) besitzt bei x0 einen Pol.
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Trigonometrische Funktionen
Verhalten für |x | → ∞
I
I
Asymptoten: Hat der Graph einer Funktion die Tendenz, einer
Geraden (oder Kurve) immer näher zu kommen, so wird diese
Asymptote genannt.
Asymptoten treten auf:
I an Polen/Unendlichkeitsstellen
I wenn das Verhalten einer Funktion für groÿe Werte von
(oder
−x )
x
dem einer Geraden (oder anderen Funktion) immer
ähnlicher wird (asymptotische Annäherung einer Funktion an
eine Gerade (oder Kurve))
I
Asymptoten sind nützlich, um
I das globale Verhalten von Funktionen zu beschreiben
I einfache und bekannte Funktionen als Maÿstab für das
Verhalten komplizierter Funktionen zu benutzen.
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Verhalten für groÿe x
I
I
Verhalten eines Polynoms für groÿe x hängt ab von den
Gliedern mit der höchsten Potenz (an x n ).
Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ab von
den Gliedern mit der höchsten Potenz von Zähler Z (x ) und
Nenner N (x ) (an x n , bm x m ).
Für x → ±∞ gilt:
I n < m (echt gebr.rat. Funktion) ⇔
R (x ) → 0
waagrechte Asymptote y = 0. Bsp.: f (x ) = x23x++23x ∼ x22 → 0
I n = m ⇔ R (x ) → a
waagrechte Asymptote y = ba
b
Beispiel: f (x ) = 2xx−+35 → 2 für x → ±∞
I n > m (unecht gebr.rat. Funktion) ⇔
R (x ) → ±∞
Näherungskurve ist ein Polynom vom Grad (n − m).
n
n
n
n
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Verhalten für groÿe x
I
I
Bei unecht gebrochenrationalen Funktionen (Grad(Zähler) >
Grad(Nenner)) erhält man die Asymptote durch
Polynomdivision.
Beispiel: f (x ) = xx −+12 für x 6= 1
3
Polynomdivision: (x 2 + 2) : (x − 1) = x + 1 + x −
1
Für x → ∞ nähert sich y = f (x ) an die Gerade y = x + 1.
3
Da x −
1 > 0 für x > 1: Annäherung für x → ∞ von oben.
3
Da x −
1 < 0 für x < 1: Annäherung für x → −∞ von unten.
2
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Als Exponentialfunktion
man die Funktion
mit der Basis
a bezeichnet
y = ax , x ∈ R, a 6= 1
I
I
x
Beispiele: 2x , 12 , 10x
Eigenschaften von f (x ) = ax für a > 0, a 6= 1:
I
Df
= R, Wf = (0; ∞); keine Nullstelle!
a > 1 wachsend; 0 < a < 1
I streng monoton:
x -Achse ist Asymptote
fallend
I Linkskurve
I Kurvenpunkt
I
ax und
y -Achse
1 x
a
(0|1)
= a−x
sind zueinander symmetrisch bezüglich der
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Trigonometrische Funktionen
Logarithmusfunktion
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit Basis
a heiÿt Logarithmusfunktion zur Basis a.
y = loga x
⇔
x = ay , x > 0, a 6= 1
Wichtig sind nur Basen a > 1. Eigenschaften für a > 1:
y = ax
y = loga x
D=R
D = (0; ∞)
W = (0; ∞)
W =R
streng monoton wachsend streng monoton wachsend
Asymptote: x -Achse
Asymptote: y -Achse (Pol)
Linkskurve
Rechtskurve
Kurvenpunkt (0|1)
Kurvenpunkt (1|0) (Nullstelle)
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Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Exponential- und Logarithmusfunktion zur Basis e
Für Anwendungen
n am wichtigsten sind die Funktionen mit Basis e :
e = lim 1 + n1 = 2, 7182818 Eulersche Zahl e
y = e x = exp (x )
Exponentialfunktion, e -Funktion
y = loge x = ln x
natürlicher Logarithmus
I
I
e x geht durch (0|1) mit Steigung 1, Linkskurve
ex → 0
für x → −∞
e x → +∞ für x → +∞
ln x geht durch (1|0) mit Steigung 1, Rechtskurve
ln x → −∞ für x → 0
ln x → +∞ für x → +∞
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Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Rechenregeln
Potenzgesetze
a m · a n = a m +n
Logarithmengesetze (auch für ln)
log(uv ) = log u + log v
a = a m −n
a
an · bn = (ab)n
a = a n
b
b
(am )n = (an )m = amn
log vu = log u − log v
m
n
n
n
Speziell:
log(u k ) = k log u
log v1 = − log v
Achtung! log(a + b) 6= log a + log b
a0 = e 0 = 1
log 1 = ln 1 = 0
ln
x
e =x
ln(e x ) = x
y
und y = ln x ⇔ x = e (nach Denition)
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Beispiel
Gegeben ist die Funktion y = f (x ) = e x − 1. Bestimmen Sie die
Umkehrfunktion y = f −1 (x ). Zeichnen Sie die Schaubilder.
I
y = e x − 1 ist streng monoton, also existiert die
Umkehrfunktion.
1. Auösen nach x : y + 1 = e x
x = f −1 (y ) = ln(y + 1)
I 2. Vertauschen von x und y : y = f −1 (x ) = ln(x + 1)
Schaubilder: Verschiebe e x um 1 nach unten bzw. ln(x ) um 1 nach
I
⇔
links. Die beiden Kurven berühren sich im Ursprung.
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Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
. . . und ihre Umkehrfunktionen.
Die Funktionen in der Übersicht:
I
sin
I
cos
I
tan
I
arcsin (arcus-sinus)
I
arccos (arcus-cosinus)
I
arctan (arcus-tangens)
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Trigonometrische Funktionen
Sinus und Cosinus
I
I
I
Frage: Wie lange ist der Schatten
eines um den Winkel α relativ zur
Horizontalen geneigten Stabes der
Länge 1, wenn die Sonne senkrecht
auf ihn herabscheint?
Wert ist eindeutig (nachmessen),
kann aber nicht berechnet werden.
Aber wir können dem Ergebnis
einen Namen geben: wir nennen es
Cosinus.
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Trigonometrische Funktionen
Sinus und Cosinus
I
Grüne Strecke: cos α oder
cos(α), gesprochen: Cosinus
α oder Cosinus von α"
I
Senkrechte Projektion einer
Strecke der Länge 1, die um
den Winkel α geneigt ist
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I
Blaue Strecke: sin α oder
sin(α), gesprochen: Sinus
α oder Sinus von α"
I
Horizontale Projektion einer
Strecke der Länge 1, die um
den Winkel α geneigt ist
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Trigonometrische Funktionen
Sinus und Cosinus
I
Sinus und Cosinus (und einige weitere Funktionen, die daraus
gewonnen werden können) heiÿen Winkelfunktionen oder
trigonometrische Funktionen.
I
Funktion: jedem Winkel α werden die Gröÿen sin α und cos α
zugeordnet.
I
Der Unterschied zu anderen Funktionen (z. B. Quadrieren)
besteht darin, dass die numerische Berechnung von sin α und
cos α für einen gegebenen Winkel α aufwändiger ist als das
Quadrieren einer gegebenen Zahl.
I
Werte liefern Computer oder Taschenrechner.
I
Beispiel: cos(51◦ ) = 0.6293203910498375
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Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck (1)
Gegeben: Rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse 1 und α einer
der nicht-rechtwinkligen Winkel. Dann ist
I
sin α die Länge der Kathete, die
dem Winkel α gegenüberliegt, und
I
cos α die Länge der Kathete, die
dem Winkel α anliegt.
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Trigonometrische Funktionen
Sinus/Cosinus im rechtwinkligen Dreieck (2)
Gegeben: Allgemeines Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel α wie
vorhin, aber einer Hypothenuse nicht unbedingt gleich 1.
In beiden Dreiecken ist aber
I die (dem Winkel α) gegenüberliegende
Kathete (blau) um Faktor sin α kürzer als
die Hypothenuse,
I
I
I
die Ankathete (grün) um Faktor cos α
kürzer als die Hypothenuse.
Gegenkathete
sin α =
Hypothenuse
cos α = Ankathete
Hypothenuse
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Trigonometrische Funktionen
Sinus/Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme
Darstellung im Koordinatensystem: Winkel geht vom Ursprung aus gegen Uhrzeigersinn.
Winkel kann über 90◦ hinaus
erweitert werden. sin/cos können negativ werden.
Winkel werden durch Zeiger repräsentiert.
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Sinus/Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme
Aus Zeigerdiagrammen Eigenschaften von sin/cos direkt ablesbar.
I Zunächst: sin/cos sind für alle Winkel zw. 0 und 360◦ deniert.
I sin/cos können jedoch für alle Winkel deniert werden (Zeiger
weiter drehen/zurück drehen). Beispiel: sin 370◦ = sin 10◦
I Vorzeichen von sin , cos ablesbar je nachdem, in welchem
Quadranten der Zeiger liegt, der α repräsentiert.
90◦ < α < 180◦ 0◦ < α < 90◦
sin α > 0
sin α > 0
cos α < 0
cos α > 0
◦
◦
180 < α < 270 270◦ < α < 360◦
sin α < 0
sin α < 0
cos α < 0
cos α > 0
I Wertebereich sin / cos : [−1; +1]
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Eigenschaften von sin, cos
(Zur Erinnerung a2 + b2 = c 2 im
rechtwinkligen Dreieck)
Satz des Pythagoras
I
I
I
sin2 α + cos2 α = 1
Kurzschreibweise: sin2 α = (sin α)2
Sprich: Sinus-Quadrat alpha
Daraus folgt: (Einfacher) Zusammenhang zw. sin
und cos
p
cos α = ± 1 − sin2 α
wobei das Vorzeichen davon abhängt, in welchem
Quadranten der Zeiger von α ist. (1.+4. Q +,
2.+3. Q −)
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Trigonometrische Funktionen
Weitere Eigenschaften von sin, cos
Periodizität und Symmetrie:
I
Aus Zeigerdiagramm: sin/cos periodisch mit Winkel 360◦ bzw.
Periode 2π
I
Es gilt:
sin(α + 360◦ ) = sin α
cos(α + 360◦ ) = cos α
I
Auÿerdem:
sin(−α) = − sin α
cos(−α) = cos α
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ungerade Funktion
gerade Funktion
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Trigonometrische Funktionen
Weitere Eigenschaften von sin, cos
Additionstheoreme:
Für zwei beliebige Winkel a, b gilt
sin(a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b
cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b
cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b
Sonderfall: a = b
sin(2a) = 2 · sin a · cos a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1
(Letzte Umformungen mit Pythagoras)
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Trigonometrische Funktionen
Weitere Eigenschaften von sin, cos
Verschiebungsformeln:
π
sin x +
= cos x
2
π
= − sin x
cos x +
2
sin(x + π) = − sin x
cos(x + π) = − cos x
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Trigonometrische Funktionen
Bogenmaÿ
I
Es gibt verschiedene Winkelmaÿe:
I Gradmaÿ: Kreis wird in 360◦
(Winkelgrade) eingeteilt
I Bogenmaÿ: Winkel entspricht der Länge
des entsprechenden Bogens des
Einheitskreises (Kreis mit Radius 1)
I
Volle Umdrehung = Umfang Einheitskreis = 2π
I
Umrechnung zw. Grad- und Bogenmaÿ: (wg. 360◦ = 2π )
α
α
= 2π ·
Bogenmaÿ
◦
360
360◦
x
x
= 2π ·
= 360◦ ·
Gradmaÿ
2π
2π
Gradmaÿ α = 360◦ ·
Bogenmaÿ x
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Trigonometrische Funktionen
Bogenmaÿ
ϕ
Winkel
im
Gradmaÿ
Winkel
x
im
Bogenmaÿ
◦
0
0
◦
30
◦
45
◦
60
◦
90
◦
135
◦
180
◦
270
◦
360
π/6
π/4
π/3
π/2
3π/4
π
3π/2
2π
Bogenmaÿ: Gröÿe eines Winkels wird durch die Länge des
entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen. ϕ nimmt dann
Werte zwischen 0 und 2π an.
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Trigonometrische Funktionen
Tangens
Aus sin und cos kann man weitere Funktionen ableiten, die
wichtigste ist wohl der Tangens.
I
I
I
I
sin α
tan α = cos
α
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Gegenkathete
tan α =
Ankathete
Tangens ist für einige Winkel nicht
deniert, z. B. tan(90◦ ) Grund: Division
durch Null (wenn cos α = 0)
Denition:
Werte für Tangens können beliebig groÿ
werden.
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Eigenschaften des Tangens
I
Periodisch mit Periode 180◦ oder Periode π
tan(α + 180◦ ) = tan α
I
Symmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion):
tan(−α) = − tan α
I
Denitionslücken: überall dort, wo der cos Null ist, also
π
2 + k · π, k ∈ IN
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Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Funktion
Def.bereich
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
Pole
y = sin x
y = cos x
IR
IR
IR\
[−1; 1]
2π
sin(−x ) =
− sin(x )
k ·π
keine
[−1; 1]
2π
cos(−x ) =
cos(x )
π
2 +k ·π
keine
π
tan(−x ) =
− tan(x )
k ·π
π
2 +k ·π
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y =tan x
IR
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π
2
+k ·π
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Wichtige Funktionsklassen
Tabelle mit einigen Werten trigonometrischer Funktionen
x
0
π/6
ϕ
0◦
30◦
sin x
0
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
45◦
60◦
90◦
120◦
135◦
150◦
180◦
270◦
2
√2
3
2
1
cos x
1
√
3
√2
√2
1
0
−√12
− √22
− 23
−1
0
√
3
√2
2
2
1
2
0
−1
2
2
1
2
tan x
0
√1
3
1
√
3
±∞
√
− 3
−1
− √13
0
±∞
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Trigonometrische Funktionen
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen
Tangens
Sinus
Cosinus
streng mon. wachsend in [− π2 ; π2 ] d.h.
dort umkehrbar
streng mon. wachsend in [0; π] d.h.
dort umkehrbar
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streng mon. wachsend in [− π2 ; π2 ] d.h.
dort umkehrbar
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Umkehrfunktionen
Bezeichnung: arcus-sinus, arcus-cosinus, arcus-tangens (arcus =
Bogen)
sin : [− π2 ; π2 ] → [−1; 1]
arcsin : [−1; 1] → [− π2 ; π2 ]
cos :
[0; π] → [−1; 1]
arccos :
[−1; 1] → [0; π]
tan : [− π2 ; π2 ] → (−∞; ∞) arctan : IR → [− π2 ; π2 ]
Es gibt zwischen 0 und 2π bzw. zwischen − π2 und 32 π zwei Winkel,
die den gleichen sin bzw. cos haben (vgl. Zeigerdiagramm). Den
anderen Winkel muss man berechnen.
Sämtliche Winkel, die einen vorgegebenen sin- oder cos-Wert
haben, erhält man aus diesen beiden Lösungen, indem man
Vielfache der Periode 2π addiert.
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Trigonometrische Funktionen
Umkehrfunktion arcsin
Welche Winkel x haben alle den gleichen Sinus y0 ?
Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y0 = sin x ?
I
I
I
I
1. Lösung: x1 = arcsin y0 (− π2 ≤ x1 ≤ π2 )
Winkel, deren Summe 180◦ oder π ist, haben den gleichen
Sinus (Supplementärwinkel)
2. Lösung: x2 = π − x1 (wegen x1 + x2 = π = 180◦ )
sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode 2π )
x1 + k · 2 π
x =
(k = 0, ±1, ±2, . . . )
x2 + k · 2 π
arcsin y0 + k · 2π
=
(k = 0, ±1, ±2, . . . )
(π − arcsin y0 ) + k · 2π
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Umkehrfunktion arccos
Welche Winkel x haben alle den gleichen Cosinus y0 ?
Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y0 = cos x ?
I
I
I
I
1. Lösung: x1 = arccos y0 (0 ≤ x1 ≤ π )
Winkel, deren Summe 360◦ oder 2π ist, haben den gleichen
Cosinus
2. Lösung: x2 = 2π − x1 (wegen x1 + x2 = 2π = 360◦ )
sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode 2π )
x1 + k · 2π
x =
(k = 0, ±1, ±2, . . . )
x2 + k · 2π
arccos y0 + k · 2π
=
(k = 0, ±1, ±2, . . . )
(2π − arccos y0 ) + k · 2π
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Exponential- u. Logarithmusfunktion
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Umkehrfunktion arctan
Welche Winkel x haben alle den gleichen Tangens y0 ?
Bzw. welche Winkel x lösen die Gleichung y0 = tan x ?
I
I
I
Tangens hat Periode π → addiere zur Lösung der
arctan-Funktion Vielfache der Periode π
1. Lösung: x1 = arctan y0 (− π2 ≤ x1 ≤ π2 )
sämtliche Lösungen: (Addiere Vielfache der Periode π )
x = x1 + k · π
= arctan y0 + k · π (k = 0, ±1, ±2, . . . )
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Allgemeine Sinusfunktion
Wir betrachten Funktionen der Art y = f (x ) = a sin(bx + c )
Veränderungen der Funktion ausgehend von y = sin x :
Funktion
Amplitude Periode Nullstellen
(1) y = sin x
1
2π
0+k ·π
|a|
2π
0+k ·π
(2) y = a sin x , a 6= 0
2π
(3) y = a sin bx , b > 0
|a|
0
+ k · πb
b
(4) y = a sin
(bx + cc)
2π
= a sin b x + b
|a|
− bc + k · πb
b
k = 0, ±1, ±2, . . .
a: Streckung in y -Richtung um Faktor a.
b: Streckung in x -Richtung um Faktor b1 → wirkt auf Periode.
c : Verschiebung in x -Richtung um x0 = − bc .
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Allgemeine Sinusfunktion: Beispiel
Gegeben: f (x ) =
5
2
sin
5
2
2
3x
+
I
Amplitude: A =
I
Periode: p = 3π = 2π ·
I
Verschiebung: x0 = − π4
π
3
2
6
=
5
2
sin
2
3
x+
(nach links)
Skizze?
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π
4
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Allgemeine Sinusfunktion: Aufgabe
Skizzieren Sie ohne Benutzung eines Rechners die Funktion
y = −3 sin 2x − π4 . Geben Sie dazu
I
Amplitude
I
Periode sowie
I
alle Nullstellen der Funktion
an. Welche Nullstellen liegen im Intervall [0; 2π]?
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Allgemeine Sinusfunktion: Lösung
y = −3 sin 2x −
π
4
= −3 sin 2 x − π8 .
I
Amplitude: | − 3| = 3
I
Periode:
I
2π
2
=π
alle Nullstellen: π8 + k · π2 , k ∈ ZZ
Die Funktion ist um π8 nach rechts verschoben, um den Faktor
3 in y -Richtung gestreckt, an der x -Achse gespiegelt und
immer nach einer halben Periode kommt eine weitere NST.
Nullstellen im Intervall [0; 2π]:
π 5
9
13
8 , 8 π, 8 π, 8 π
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(Abstand:
Mathematik I ITB
π
2
= 48 π )
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Harmonische Schwingungen (Überblick)
I
I
Die allgemeine Sinus-Funktion x (t ) = A · sin(ω t + ϕ) mit
A > 0, ω > 0 kann auch als Schwingung aufgefasst werden.
Dabei bedeutet
A: Maximale Auslenkung oder Amplitude
ω : Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit der Schwingung
ϕ: Phase (auch Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel genannt)
2π
I
Die Periode P =
I
f = T1 ist die Frequenz der Schwingung.
wird in diesem Zusammenhang als
Schwingungsdauer T bezeichnet.
ω
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Harmonische Schwingung ausführlicher
Neben der Sinus-Funktion mit ihren Eigenschaften brauchen wir aus
der Physik noch die
I Winkelgeschwindigkeit ω (Rotationsgeschwindigkeit):
I gibt an, wie schnell sich etwas dreht
I Veränderung des Winkels pro Zeitspanne
I
∆ϕ = ω · ∆t
I unabhängig vom Radius (im Gegensatz zur
Bahngeschwindigkeit)
I Beispiel:
360◦
60s
I
ω
des Sekundenzeigers einer Uhr:
6◦
s (im Gradmaÿ)
1
Einheit:
s
=
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= 0, 1047 1s
(im Bogenmaÿ)
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Harmonische Schwingung
Die harmonische Schwingung ist deniert als
die durch den Schatten eines gleichförmig rotierenden Zeigers zustande kommende Bewegungsform.
Beispiel: Pendel (s. Applet)
I
Bezeichnungen:
A: Länge des Zeigers, Amplitude
ω : Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Zeigers
ϕ:
Momentaner Winkel des Zeigers (Bogenmaÿ)
x : (Momentane) Position des schwingenden Punktes. (Positiv oder
negativ, je nachdem, ob der Zeiger nach oben oder nach unten
weist.)
Prof. Dr. Karin Melzer
Mathematik I ITB
Zahlen, Beträge, Ungleichungen
Funktionen Grundlagen
Eigenschaften reeller Funktionen und ihrer Schaubilder
Wichtige Funktionsklassen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Exponential- u. Logarithmusfunktion
Trigonometrische Funktionen
Harmonische Schwingung
I
I
I
I
Berechne x aus einer beliebigen momentanen Zeigerstellung ϕ:
x = A · sin ϕ
Gleichförmige Rotation: Wie ändert sich der Winkel des
Zeigers im Laufe der Zeit? Oder: Berechne die Funktion ϕ(t )!
Annahme (vereinfachend): zur Zeit t = 0 soll der Winkel
ebenfalls 0 sein, d.h. ϕ(0) = 0 ⇒ ϕ(t ) = ω t
Annahme: Winkel zur Zeit t = 0 hat den Wert ϕ0 ⇒
ϕ(t ) = ω t + ϕ0
Berechnung des Bewegungsverlaufs x (t ) der harmonischen
Schwingung:
x (t ) = A · sin(ω t + ϕ0 ) (statt ϕ0 schreibt man i.d.R. nur ϕ)
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Harmonische Schwingung: Darstellung mit cos
I
I
Es gilt: sin x +
2
= cos x (Verschiebungsformel)
Eine Kosinus-Schwingung der allgemeinen Form
y = A · cos(ω t + ϕ) (A > 0, ω > 0) kann auch als
Sinus-Schwingung
in der Form
π
= A · sin(ω t + ϕ∗ ) dargestellt
y = A · sin ω t + ϕ +
2
| {z }
werden.
I
π
ϕ∗
Interpretation: gleiche Winkelgeschwindigkeit, gleiche
Amplitude, anderer Phasenwinkel ϕ∗ = ϕ + π2 (d.h. andere
Ausgangsposition für den Zeiger).
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Harmonische Schwingung: Beispiel
Stelle die harmonischen Schwingung
I y1 = 3 · cos ω t − π
4
als Sinusfunktionen vom Typ y = A · sin(ω t + ϕ) (A > 0) dar.
I
Addiere π2 zur Phaseder Cosinus-Schwingung:
y1 = 3 · cos ω t − π4 = 3 · sin ω t + π4
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Trigonometrische Gleichungen
I
Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen zwischen
verschiedenen Winkelfunktionen mit unterschiedlichen
Argumenten, z. B.
sin 2x + cos x · tan x − 6 = 0
I
Zur Lösung solcher Gleichungen gibt es kein
Standardverfahren, man kann aber häug so vorgehen:
1. Vereinheitlichung der Argumente
(ax )
2. Zurückführen auf eine Gleichung, in der nur eine einzige trig.
Funktion vorkommt
(sin ax , cos ax , tan ax )
3. Auösen nach dieser Funktion
4. Bestimmen des zugehörigen Winkels
x
5. Kontrolle durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung
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Trig. Gleichungen: Beispiel
Welche Lösungen hat cos x + cos 2x = 0?
1. Statt 2x nur x : cos 2x = cos2 x − sin2 x (Additionstheorem)
⇒ cos x + cos2 x − sin2 x = 0
2. Nur cos: Ersetze sin2 x = 1 − cos2 x (Pythagoras)
⇒ 2 cos2 x + cos x − 1 = 0
3. Substitution/Ersetzung:cos x = z
z1 = 21
⇒ 2z 2 + z − 1 = 0 ⇔
z2 = −1
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Trig. Gleichungen: Beispiel (Forts.)
Welche Lösungen hat cos x + cos 2x = 0?
4. Rücksubstitution:
1
x1 = π3 + k · 2π
z1 = (cos x )1 =
⇒
(k ∈ ZZ)
x2 = 53 π + k · 2π
2
z1 = (cos x )2 = −1 ⇒ x3 = π + k · 2π
5. Kontrolle: Einsetzen zeigt, dass alle Werte Lösung der
Gleichung sind.
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