1. Matrizen und Vektoren 1.1. Grundlagen Beispiel

1. Matrizen und Vektoren
1.1. Grundlagen
Beispiel: Materialverflechtung (Schmidt, 2000)
Ein Betrieb stellt aus vier Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 über
drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 zwei Endprodukte P1
und P2 her. Die folgenden Tabellen geben an, wieviele Einheiten von Ri zur Produktion von einer Einheit Zj benötigt
werden, i = 1, . . . , 4, j = 1, 2, 3, bzw. wieviele Einheiten
von Zi zur Produktion von einer Einheit Pj benötigt werden,
i = 1, 2, 3, j = 1, 2.
R1
R2
R3
R4
Z1 Z2 Z3
14 0 3
6 1 7
3 2 0
2 1 10
Z1
Z2
Z3
P1 P2
6 3
0 2
11 7
Beispielsweise werden also für eine Einheit P1 sechs Einheiten
Z1 und elf Einheiten Z3 benötigt.
Wieviele Einheiten der Rohstoffe R1, . . . , R4 werden benötigt,
um pi Einheiten von Pi, i = 1, 2, herzustellen?
1
Definition.
Eine Anordnung von m · n reellen Zahlen
a11, a12, . . . , amn ∈ R
in der Form






a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n 
... 
...
...

am1 am2 . . . amn
heißt m × n - Matrix, oder Matrix vom Typ m × n oder kurz
Matrix. Die Zahlen aij heißen Koeffizienten oder Elemente der
Matrix. Die m Zeilen
(ai1 ai2 . . . ain)
heißen Zeilenvektoren der Matrix, die n Spalten


a1j


 a2j 
 .. 
 . 
amj
heißen Spaltenvektoren der Matrix.
Im Falle n = 1 heißt die Matrix auch Vektor.
Bezeichnungen. Matrizen werden mit Großbuchstaben bezeichnet, Vektoren mit Kleinbuchstaben.




a11 a12 . . . a1n
a1




 a21 a22 . . . a2n 
 a2 
A =  ..
v =  .. 
...
...  ,
 .

 . 
am1 am2 . . . amn
am
2
Spezielle Matrizen
1) Nullmatrix vom Typ m × n: Alle Elemente sind Null.
2) Quadratische Matrix, wenn

1
• Bsp.:
5
2
vom Typ n × n

4 3
7 6
2 6
• Die Elemente aii, i = 1, . . . , n, bilden die Hauptdiagonale
im Bsp. a11 = 1, a22 = 7, a33 = 6,
• Diagonalmatrix: alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind Null.


Bsp.:
1 0 0 0


0 7 0 0


0 0 0 0
0 0 0 6
• Einheitsmatrix E (vom Typ n × n) Diagonalmatrix, die
auf der Hauptdiagonalen nur Einsen hat


1 0 0
Bsp.:
E3,3 =  0 1 0 
0 0 1
• untere (obere) Dreiecksmatrix: alle Elemente unterhalb
(oberhalb) der Hauptdiagonalen sind Null




2 3 4
1 0 0
Bsp.:
0 1 7
2 1 0
0 0 8
3 0 1
3
Transponieren einer Matrix
Ist A eine m × n–Matrix, so ist AT (A∗) die n × m–Matrix,
für die an der Position i, j jeweils das Element aji von A steht.
”Zeilen und Spalten vertauschen.”
Matrizenoperationen
Addition zweier n × m Matrizen
A + B = C mit cij = aij + bij
Multiplikation mit einer Zahl
λ ∈ R , λA = C mit cij = λaij
Es gelten
Kommutativgesetz:
A+B = B +A
Assoziativgesetz:
(A + B) + C = A + (B + C)
Distributivgesetz:
λ (A + B) = λA + λB
außerdem:
(A + B)T = AT + B T
A+0 = A = 0+A
4
Multiplikation von Matrizen
• Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt)
 
b1
 
b 
(a1 a2 . . . an) ·  ..2  = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn
 . 
bn
n
X
=
ai b i
i=1
• Zwei Matrizen A und B können multipliziert werden, wenn
A so viele Spalten hat wie B Zeilen, also Amn mit Bnk .
Das Ergebnis der Multiplikation ist eine Matrix vom Typ
m × k.


b1j


 b2j 
A · B = C mit cij = (ai1 ai2 . . . ain) ·  .. 
 . 
bnj
n
X
cij =
aipbpj
p=1
5
Falk sches Schema
B:
A:
a11 . . . a1n
...
...
ai1 . . . ain
...
...
am1 . . . amn
b11 . . .
...
bn1 . . .
b1j
...
bnj
. . . b1k
...
. . . bnk
c11 . . .
...
ci1 . . .
...
cm1 . . .
c1j
...
cij
...
cmj
. . . c1k
...
. . . cik
...
. . . cmk
C =A·B
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!
Es gelten (wenn definiert)
Assoziativgesetz:
(A · B) · C = A · (B · C)
Distributivgesetz: A · (B + C) = A · B + A · C
(A + B) · C = A · C + B · C
außerdem:
(A · B)T = B T · AT
A · 0 = 0, 0 · A = 0
A · E = A, E · A = A
6
Definition. Falls es zu einer quadratischen Matrix Ann
eine Matrix Bnn gibt, so dass
Ann · Bnn = Enn
oder
Bnn · Ann = Enn
gilt, so heißen die Matrizen Ann und Bnn zueinander invers,
und es gilt
A·B = B·A = E.
Bezeichnung: B = A−1
Beispiel:
A =
Ã
!
−1 1
2 1
A−1
Ã
!
1 −1 1
=
3
2 1
Bezeichnung: Für quadratische Matrizen:
A · A = A2
A · A · A = A3 usw.
7
A · A−1 = E