4 Komplexe Zahlen – C

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Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs
Wintersemester 2013/14
KOMPLEXE ZAHLEN – C
Komplexe Zahlen – C
Alle weiteren negativen Potenzen der imaginären Einheit lassen sich damit auf den
positiven Fall zurückführen:
n
Wir beginnen den Workshop mit einem berühmten Beispiel.
1
1
=
= (−i)n = i3n .
n
Beispiel 4.1. Teile eine Strecke der Länge 10 cm so in zwei Teilstrecken, dass das
i
i
√
Produkt der beiden Teillängen 40 cm2 ergibt.
In Beispiel 4.1 haben wir ein y mit y 2 = −15 gesucht. y = 15i löst das Problem.
Lösung. Wir verwenden den unbestimmten Ansatz
4.2
40 = x(10 − x) = −x2 + 10x.
Definition 4.2.
Zahl.
Einsetzen in die große Lösungsformel ergibt
p
√
−10 ± 102 − 4(−1)(−40)
x1,2 =
= 5 ∓ −15.
2(−1)
3. a heißt der Realteil von z; b heißt Imaginärteil. Wir schreiben a = Re(z) und
b = Im(z).
4. Die Zahl z̄ = a − bi nennt man die zu z komplex konjugierte Zahl.
Um Probleme wie Beispiel 4.1 trotzdem lösen zu können, führen wir ein Symbol i
mit der Eigenschaft i2 = −1 ein und nehmen an, wir dürfen mit i genauso rechnen,
wie wir es von reellen Zahlen gewohnt sind.1
5. Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Real- und Imaginärteil
gleich sind.
Für zwei komplexe Zahlen a + bi, c + di erklären wir die Grundrechnungsarten
wie folgt (damit sie sich mit dem Rechnen auf R und mit i2 = −1 vertragen):
Komplexe Einheit
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
Das Symbol i mit der Eigenschaft i2 = −1 heißt komplexe Einheit. Für seine
Potenzen gilt
i2 = −1,
i3 = i2 i = −i,
i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1,
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i,
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i und
i5 = ii4 = i.
a + bi
(a + bi)(c − di)
(ac + bd) + (bc − ad)i
=
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
ac + bd bc − ad
+ 2
i.
= 2
c + d2
c + d2
Allgemein gilt für n ≥ 0
i4n = (i4 )n = 1,
1. Eine Zahl z = a + bi, wobei a, b aus R sind, heißt komplexe
2. Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C.
Da keine reelle Zahl y existiert, sodass y 2 = −15 gilt, hat unser Beispiel keine reelle
Lösung.
4.1
Komplexe Zahlen
i4n+1 = i4n i = i,
i4n+2 = i4n i2 = −1,
i4n+3 = i4n i3 = −i.
Zusammenfassend lauten die Potenzen von i (beginnend mit i0 = 1) also
1, i, −1, −i,
1, i, −1, −i,
√
√
Die beiden komplexen Zahlen z1 = 5− 15i und z2 = 5+ 15i lösen das einleitende
Beispiel, denn
√ √ √ √ (10 − z1 )z1 = 10 − 5 − 15i
5 − 15i = 5 + 15i 5 − 15i
√
√
= 25 + 15 − 5 15 + 5 15 = 40.
1, . . .
Das multiplikative Inverse von i errechnet sich wie folgt:
1
−i
−i
=
=
= −i.
i
i(−i)
(−1)i2
1 Die
Rechtfertigung hierfür liefert die Vorlesung Einführung in das mathematische Arbeiten.
Für z2 rechnet man analog.
-1-
Komplexe Zahlen als Punkte in der Ebene
Im
Im
Im
Re(z)
z1 + z2
z
g(
ar
z2
z1
z1 z2
z2
ϕ2
z1
ϕ1
ϕ1
z)
Schreiben wir die komplexe Zahl a + bi um auf die Paarform (a, b), dann können wir
die geheimnisvollen“ komplexen Zahlen ganz ohne Mystik und ganz anschaulich
”
im kartesischen Koordinatensystem darstellen. Die komplexen Zahlen der Form
a = a + 0i = (a, 0) – das sind ja gerade die guten alten reellen Zahlen – entsprechen
in Abbildung 1 genau den Punkten auf der x-Achse, und die imaginäre Einheit
i = 0 + 1i = (0, 1) ist nichts anderes als der Einheitspunkt auf der y-Achse – was ist
daran noch unwirklich, irreal oder imaginär“?
”
|z |
4.2.1
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KOMPLEXE ZAHLEN – C
Im(z)
4
Re
(a) Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
Re
(b) Addition
Re
(c) Multiplikation
Abbildung 1: Komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene
Neben den kartesischen Koordinaten kann man auch Polarkoordinaten zur eindeutigen Beschreibung eines Punktes in der Ebene verwenden. Den Radius |z| einer
komplexen Zahl z = a + bi nennen wir Betrag; den Winkel arg(z) Argument. Wir
schreiben z = (|z| : arg(z)). Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in komplexer Zahlen. Für z = a + bi, z = c + di gilt2
1
2
Polarkoordinaten gilt
|z1 z2 |2 = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = a2 (c2 + d2 ) − 2abcd + b2 (c2 + d2 ) + 2abcd =
p
√
= (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = |z1 |2 |z2 |2 und
|z| = a2 + b2 = z z̄ und
!

b
d
b
+
ac
ad
+
bc
c
a
b > 0, a 6= 0
arctan a
=

arg(z1 z2 ) = arctan
= arctan

bd

ac − bd
b
ac 1 − ac

arctan
+
π
b
<
0,
a
=
6
0

a


0
b
d
b = 0, a ≥ 0
=
arctan
+
arctan
= arg(z1 ) + arg(z2 ).
arg(z) =
.
a
c

π
b
=
0,
a
<
0



π


b > 0, a = 0
2
Das heißt, bei Produkten komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und

 3π
b < 0, a = 0
die Winkel addiert. Ohne Beweise bemerken wir
2
1. (|z1 | : ϕ1 )(|z2 | : ϕ2 ) = (|z1 ||z2 | : arg(z1 ) + arg(z2 )),
Die Überleitung von Polarkoordinaten auf kartesische erfolgt für z = (|z| : ϕ) anhand
von
2. (|z1 | : ϕ1 )n = (|z1 |n : nϕ1 ) und
p
p
3. n (|z1 | : ϕ1 ) = ( n |z1 | : ϕ1 +2kπ
) für 0 ≤ k ≤ n − 1.
n
Re(z) = |z| cos(ϕ) und
Im(z) = |z| sin(ϕ).
Abbildung 1.a stellt die Koordinaten einer komplexen Zahl in beiden Systemen dar.
2 Die
zweite Herleitung stimmt nur, wenn beide Zahlen im ersten Quadranten liegen. Durch
Der Vorteil der Polardarstellung liegt in der einfacheren Berechnung von Produkten Fallunterscheidung lässt sich das Resultat aber leicht verallgemeinern.
-2-