3. ¨Ubung zur Kernphysik II (2009/2010) - Theory

Institut für Kernphysik
Technische Universität Darmstadt
H. Feldmeier
D. Weber
http://theory.gsi.de/∼feldm
3. Übung zur Kernphysik II (2009/2010)
P11: Gekoppelte Zustände
Zeige für die Zustände |(LS)JM i:
h(01)11|Sz |(01)11i = 1
∼
h(21)11|Sz |(21)11i = −
∼
Benutze: c
!
2 1 1
0 1 1
=
s
1
,
10
c
1
2
2 1 1
2 −1 1
!
=
s
3
.
5
P12: Paritätstransformation
Der Operator Π
führe eine Punktspiegelung am Ursprung des Koordinatensy∼
stems durch. Bestimme:
Π
|~r i,
∼
Π
|~ki,
∼
Π
|klmi,
∼
Π
|nlmi
∼
Hinweis: In Ortsdarstellung sind die Zustände der Impulsbasis gegeben durch
~
h~r |~ki ∝ eik~r ,
die der Partialwellenbasis im Impulsraum durch
h~r |klmi ∝ jl (kr)Yml (rb);
und für den harmonischen Oszillator ist
h~r |nlmi ∝ r l e−
µω 2
r
2
r = |~r |, rb =
~r
|~r |
Ln(l+1/2) (µωr 2)Yml (rb).
Die Funktionen jl (kr) und Ln(l+1/2) (µωr 2) beschreiben die Radialabhängigkeit, während
die Winkelabhängigkeit durch die Kugelfunktionen Yml (θ, ϕ) ∝ Pml (cos θ)eimϕ mit
dem assoziierten Legendre-Polynom
Pml (x) ∝ (1 − x2 )m/2
gegeben ist.
dl+m 2
(x − 1)l
dxl+m
P13: Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung: Matrixelemente
V
beschreibe die Wechselwirkung zwischen zwei Nukleonen und habe die Form
∼ NN
V
=
∼ NN
X
S,T
Z
VST
(r
)Π +
∼ ∼ ST
X
T
LS
~ ·S
~Π +
V1T
(r
)L
∼ ∼ ∼ ∼ 1T
X
T
T
V1T
(r
)S Π .
∼ ∼ 12 ∼ 1T
In vielen Fällen arbeitet man mit Matrixelementen in einer geeigneten Basis. Wir
betrachten nun die Basis {|k(LS)JM; T MT i}, die Eigenbasis zu p~ 2 (Eigenwert
∼
~ 2, S
~ 2 , J~ 2 , J z , T~ 2 und T 3 ist. Aufgrund der Symmetrien und daraus
k 2 ), ∼
L
∼
∼
∼
∼
∼
folgenden Operatorstruktur der Wechselwirkung lassen sich bestimmte Aussagen
für die Matrixelemente in dieser Basis machen.
a) Die Matrixelemente des Tesnoroperators für S=0 verschwinden. Für S=1
findet man:
h(L1 1)J|S
|(L2 1)Ji
∼ 12
L1 = J − 1
L1 = J
L1 = J + 1
L2 = J − 1 L2 = J
− 2(J−1)
2J+1
√0
6
J(J+1)
2J+1
0
2
0
L2 = J + 1
√
6
J(J+1)
2J+1
0
− 2(J+2)
2J+1
Warum ist diese Tabelle ausreichend, alle Matrixelemente mit S=1 auszurechnen?
Hinweis: Betrachte die Kopplung von L und S zu J.
b) Welche der Matrixelemente verschwinden?
hk(LS1 )JM; T MT |V
|k(LS2 )JM; T MT i;
∼ NN
S1 6= S2 ,
hk(L1 S)JM; T MT |V
|k(L2 S)JM; T MT i;
∼ NN
L1 6= L2 ,
hk(LS)J1 M; T MT |V
|k(LS)J2 M; T MT i;
∼ NN
hk(LS)JM; T1 MT |V
|k(LS)JM; T2 MT i;
∼ NN
|k (LS)JM; T MT i;
hk1 (LS)JM; T MT |V
∼ NN 2
J1 6= J2 ,
T1 6= T2 ,
k1 6= k2
c) Welche Matrixelemente sind gleich? Welche sind Null?
hk1 (00)00; 1 − 1|V
|k (00)00; 1 − 1i,
∼ NN 2
hk1 (00)00; 11|V
|k (00)00; 11i,
∼ NN 2
hk1 (00)00; 10|V
|k (00)00; 10i,
∼ NN 2
|k (00)00; 00i,
hk1 (00)00; 00|V
∼ NN 2
|k (00)00; 10i,
hk1 (00)00; 11|V
∼ NN 2
hk1 (01)10; 00|V
|k (21)10; 00i,
∼ NN 2
hk2 (21)10; 00|V
|k (01)10; 00i,
∼ NN 1
hk2 (21)11; 00|V
|k (01)11; 00i,
∼ NN 1
hk1 (21)20; 00|V
|k (31)20; 00i
∼ NN 2
Hinweis: Es ist nicht unbedingt notwendig, die Matrixelemente explizit auszurechnen.
H7: Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
Betrachte zwei freie, identische Spin-1/2-Teilchen. Der Hamiltonoperator lautet
H
=
∼0
1 2
~p (1) + ~p2 (2) .
∼
2m ∼
Dieser Hamiltonoperator lässt sich als Einteilchenoperator schreiben:
H
=
∼0
H
(1)
∼0
| {z }
⊗
Teilchen 1
mit H
(i) =
∼0
1
+
∼
|{z}
Teilchen 2
1 2
p~ (i).
2m∼
1
⊗
∼
|{z}
Teilchen 1
H
(2)
∼0
.
| {z }
Teilchen 2
a) Bestimme Energieeigenwerte und Eigenzustände von H
∼0
~ der ReFür zwei Teilchen identischer Masse m sind die Schwerpunktposition R,
lativabstandsvektor ~r sowie Schwerpunktsimpuls P~ und Relativimpuls p~ durch
folgende Beziehungen gegeben:
~ = 1 (~r(1) + ~r(2))
R
2
~r = ~r(1) − ~r(2)
P~ = p~(1) + p~(2)
1
(~p(1) − ~p(2)) .
p~ =
2
b) Transformiere auf Relativ- und Schwerpunktskoordinaten. Der Hamiltonoperator hat in dieser Darstellung die Gestalt
H
=
∼0
cm
H
∼0
| {z }
Schwerpunkt
⊗
1
∼
|{z}
Relativ
+
1
∼
|{z}
Schwerpunkt
rel
,
⊗ H
∼0
| {z }
Relativ
wobei das Tensorprodukt ⊗ nun den Schwerpunkt- und Relativteil des
cm
rel
Zweiteilchen-Hilbertraums verbindet. Bestimme H
und H
. Ermittle die
∼0
∼0
Eigenenergien und Eigenzustände und vergleiche mit den Ergebnissen aus
a). Wann ist es sinnvoll, in diesen Koordinaten zu arbeiten?
Hinweis: Verwende die Definitionen der Gesamtmasse M = 2m und der
reduzierten Masse µ = m/2 beim Umschreiben des Hamiltonoperators.
Wir betrachten nun zwei Spin-1/2-Teilchen in einem äußeren harmonischen Oszillatorpotential:
H
=
∼
1 2
m 2
~r (1) + ∼
~r 2 (2)
~p (1) + ~p2 (2) + Ω2 ∼
∼
2m ∼
2
c) Transformiere den Hamiltonoperator auf Schwerpunkt- und Relativkoordicm
rel
naten und gebe H
und H
explizit an. Führe dazu die Oszillatorfre∼
∼
quenz ω = Ω/2 für die Relativbewegung ein. Bestimme Eigenzustände und
-energien.
Hinweis: Es empfiehlt sich, mit der Einteilchen-Oszillatorbasis {|nlmi} zu
arbeiten:
1 2 m 2 2
~p + ω ∼
~r |nlml i = (2(n − 1) + l + 3/2) ω|nlml i
2m∼
2
h~r |nlmi =
Rnl (r) · Yml l (θ, ϕ)
| {z }
|
{z
}
Radialteil Kugelfkt.
Nun soll der Fall einer zusätzlichen Spin-Bahn-Wechselwirkung zwischen den beiden Teilchen betrachtet werden:
m 2
1 2
~p (1) + ~p2 (2) + Ω2 ∼
~r 2 (2) + V
~r (1) + ∼
∼ ls
∼
2m ∼
2
Vls
=
~
r
(1)
−
~
r
(2)
×
~
p
(1)
−
~
p
(2)
·
~
s
(1)
+
~
s
(2)
∼
∼
∼
∼
∼
2 ∼
H
=
∼
V
∼ ls
d) Kann man diesen Hamiltonoperator als Einteilchen-Hamiltonoperator für
Teilchen 1 und 2 schreiben?
cm
rel
e) Bestimme H
und H
und verwende in der Relativkoordinate eine geeig∼
∼
nete gekoppelte Basis (siehe P5), in welcher der Spin-Bahn-Operator diagonal ist, um Eigenzustände und -energien zu ermitteln.
S2: Mesonaustausch und NN-Wechselwirkung
Das statische Feld ΦB der WW-Bosonen erfüllt folgende Differentialgleichung:
~ 2 + m2 ) ΦB (~x) = ρB (~x)
(−∇
B
Zeige, dass
ΦB (~x) =
Z
d3 y
1 e−mB | ~x−~y |
ρB (~y )
4π | ~x − ~y |
die Differentialgleichung (mit der Randbedingung ΦB = 0 für mB |~x| → ∞) formal löst.
Hinweis: Zeige zunächst, dass die Yukawafunktion, Greenfunktion der DGL ist,
d.h.
−mB | x
~ −~
y|
~ 2 + m2 ) 1 e
(−∇
= δ 3 (~x − ~y ).
~
x
B
4π | ~x − ~y |
Betrachte den Fall ~x 6= ~y . Um den Grenzfall ~x → ~y zu behandeln, kann man über
eine Testfunktion in einem kleinen Volumen um den Punkt ~x = ~y integrieren.