85 Minimum-Maximum-Prinzip
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© R. Plato Kapitel 85 Minimum-Maximum-Prinzip 85 Minimum-Maximum-Prinzip Sei O2 R2 ein beschränkte offene Menge mit der Eigenschaft O2 f.x; t/ 2 R2 ; t T g; Satz 85.1. ( Minimum-Maximum-Prinzip) Sei u W O2 ! R eine stetige Funktion, die Diffusionsgleichung auf O2 [ D1 der homogenen Diffusionsgleichung (85.5) genügt. Dann nimmt die Funktion u ihr Maximum und ihr Minimum jeweils auf dem Teilstück D2 an, d. h. (85.1) min u.x; t/ D 2 O2 \ f.x; T / j x 2 R g D f.x; T / 2 R ; a x b g .x;t /2O2 max u.x; t/ D (85.2) für reelle Zahlen a < b und eine reelle Zahl T > 0. Hierbei bezeichnet O2 den Abschluss der Menge O2 . Der „obere Rand“ der Menge O2 bildet somit eine Strecke, deren Inneres hier mit D1 bezeichnet wird, D1 WD f.x; T / 2 R2 ; a < x < b g: (85.3) Im Folgenden bezeichne noch D2 WD @O2 nD1 (85.4) den verbleibenden Teil des Randes @O2 der Menge O2 . Wir betrachten im Folgenden eine Funktion u W O2 ! R mit der Eigenschaft @u @t 2 D c 2@ u auf @x 2 O2 [ D 1 : D1 ................................................................................................................................ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . .2 . . . . .. . . . . . . . . . . . ... .. . . . @u ... . . . . . . . .2.@. u .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .. . . . . . . . . . . .2 . . .. .. . . @t . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . @x .... . . . . . . . . . . . . . . ..... ... . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . .. .... . . . . .2 . . . .... .... . . . . . . . .... ..... . . . . . . .... ..... . . . . . ...... ...... . . . . ..... ...... . . . ....... ............................ Dc max u.x; t/: .x;t /2D2 Hierbei werden die Bezeichnungen (85.1)–(85.4) verwendet. Beweis. Wird hier nicht geführt. Das Minimum-Maximum-Prinzip liefert die eindeutige Lösbarkeit der Diffusionsgleichung: Satz 85.2. Seien ' W D2 ! R und f W O2 [ D1 ! R gegebene Funktionen, wobei die Bezeichnungen (85.1)–(85.4) verwendet werden. Dann existiert höchstens eine stetige Lösung u W O2 ! R des AnfangsRandwertproblems @u @t D c2 @2 u @x 2 C f .x; t/ auf O2 [ D1 ; u D ' auf D2 : (85.6) Beweis. Für zwei Lösungen u1 ; u2 des AnfangsRandwertproblems (85.6) betrachtet man die Differenz u D u1 u2 . Diese stellt eine Lösung der homogenen Diffusionsgleichung (85.5) dar, die zudem auf dem Teilstück D2 des Randes verschwindet. Nach dem Minimum-Maximum-Prinzip gilt damit aber u D 0 beziehungsweise u1 D u2 auf dem gesamten Gebiet O2 . t...... T .x;t /2O2 min u.x; t/; .x;t /2D2 (85.5) Die Situation ist in Abbildung 111 dargestellt. ......... .... ... .. ... . 169 D2 O 0 0 Mit Hilfe des Minimum-Maximum-Prinzips lassen sich auch Stabilitätsfragen behandeln. ..................... x Abb. 111: Darstellung des Minimum-MaximumPrinzips für die die räumlich eindimensionale Diffusionsgleichung in der Orts-Zeit-Ebene In der vorliegenden Sitatuation gilt ein MinimumMaximum-Prinzip, das wichtige Konsequenzen für eindeutige Lösbarkeit und Stabilität der Diffusionsgleichung hat und mit dem sich Erhaltungsprinzipien nachweisen lassen. Satz 85.3. Seien ' W D2 ! R und f W O2 [ D1 ! R gegebene Funktionen, wobei die Bezeichnungen (85.1)– (85.4) verwendet werden. Seien u1 ; u2 W G ! R stetige Lösungen der inhomogenen Diffusionsgleichung @u @t D c2 @2 u @x 2 C f .x; t/ auf O2 [ D1 mit ju1 Dann gilt ju1 u2 j " auf D2 : u2 j " auf O2 .
