t - ate.uni

-192-
Theoretische Elektrotechnik TET 2
5. Elektromagnetische
Felddiffusion
• Darstellung zeitharmonischer Felder mittels Phasoren
• Elektro-Quasistatik und Magneto-Quasistatik
• Die Diffusionsgleichung
• Der Skineffekt
• Stromverdrängung
• Abschirmung
[Buch Seite 218-252]
• Wirbelströme
Diffusion elektromagnetischer Felder
-193-
Begriffliche Einführung
• Lösen der Maxwell-Gleichung für den quasistationären
Fall, bzw. für die beiden quasistatischen Fälle. Man
unterscheidet hierbei die Magneto-Quasistatik und die
Elektro-Quasistatik (cf. Folie 1-187).
• Wir beschränken uns auf zeitharmonische Felder (will
heissen: Felder mit einem sinusförmigen Zeitverlauf).
• Diffusion: Ausbreitung ohne Wellencharakter;
Eindringen von Feldern in Medien und Systeme;
Verdrängung von Feldern als Folge der Dynamik des
zugrundeliegenden Diffusionsprozesses (der umgekehrte Blick auf das Eindringen von Feldern).
• Literaturhinweis: Besonders lesenswert ist hierzu das
«Kapitel 5 – Quasistationäre Felder» aus dem Skript
«Theoretische Elektrotechnik» von Frau Prof. Ursula
van Rienen, Universität Rostock. Das Kapitel 5 kann
über Moodle heruntergeladen werden.
1
-194-
Zeitharmonische Felder I
Komplexe Darstellung
(1) Zeigerdarstellung (Phasoren):
(A) Sinusförmige Zeitabhängigkeit:
häufig auch als Phasoren bezeichnet
E ( r,t ) := E ( r ) cos ( t + e ) = Re
H ( r,t ) := H ( r ) cos ( t + h ) = Re
{E ( r ) e }
{ H ( r )e }
j t
j t
T
E ( r ) = E ( r ) e j e = Ex ( r ) , Ey ( r ) , Ez ( r ) T
H ( r ) = H ( r ) e j h = H x ( r ) , H y ( r ) , H z ( r ) Komplexe
Feldamplituden
(Phasor)
(B) Konventionen:
+ j t
Konvention der
Elektrotechnik
i t
Konvention der
Physik
-195-
Zeitharmonische Felder II
Komplexe Darstellung
(2) Operatoren:
(A) Zeitableitung:
() j ()
t
(B) Feldimpedanzoperator:
Siehe hierzu auch Vorlesung GET 2 ab Folie 231
Phasenwinkel,
Phasenverschiebung
ZF
E ( r ) j( e h )
E ( r,t ) E ( r ) e j t E ( r ) e j e
j
= j t = j = e
r
=
Z
(
) e
F
H ( r ) e h H ( r )
H ( r,t ) H ( r ) e
(C) Phase des Feldzeigers (Phasors):
Phasenwinkel des E-Feldes in
Bezug auf die Position t = 0.
Im { Ei ( r )}
tan ( e ) =
Re { Ei ( r )}
i = x, y, z
2
-196-
Quasistationäre Felder
Grundvoraussetzungen
• Quasistationäre Felder sind langsam veränderliche Felder (cf. Folie 190).
• Elektro-Quasistatik (EQS): Vernachlässigung des Induktionsvorgangs.
B =0
t
D 0 t
H
: sekundäres Feld
• Magneto-Quasistatik (MQS): Vernachlässigung des Verschiebungsstroms.
D =0
t
B 0 t
E
: sekundäres Feld
• Die primären Felder sind nicht verkoppelt, sie «folgen» dem zeitlichen
Verhalten der Quellen und erzeugen dadurch die sekundären Felder.
• Die sekundären Felder wirken nicht zurück: Die Lösung quasistatischer
Feldprobleme können deshalb keine Wellen sein (cf. Folie 188).
Die Elektro-Quasistatik I
-197-
Grundgleichungen
(1) Maxwell-Gleichungen der EQS:
(B) Zeitharmonische Variation:
(A) Allgemein:
rot E = 0
div D = Grundgleichung der
primären Feldgrössen
D rot H =
+J
t
Sekundäre
Feldgrösse
Näherung für niederfrequente
Felder, bei denen die magnetische
Induktion vernachlässigt wird:
Das elektrische Feld ist dadurch
wirbelfrei.
Grundgleichungen der
rot E = 0
primären Feldgrössen
div D = Grundgleichungen
der EQS
rot H = j D + E + J E
Sekundäre Feldgrösse
J = E + JE
eingeprägte Stromdichte
Leitungsstromdichte
3
-198-
Die Elektro-Quasistatik II
Grundgleichungen
(2) Das komplexe elektrische Skalarpotential:
rot E = 0
div ( rot i ) 0
(Folie 46)
(
)
div grad = (Folie 1-177)
Wirbelfreiheit
E = grad div rot H = div ( j + ) E + J E 0
div ( j + ) E = div J E
div ( j + ) grad = div J E
( j + ) = div J E homogenes Material
(
{
{
)
{
}
}
}
Antwort: Ja, falls > 0.
j + div J = 0
=
(Merke: Folie 1-245)
Frage: Ist dieser Term ungleich Null?
1
div J E
j + komplexwertige
«statische»
Poissongleichung
Die Elektro-Quasistatik III
-199-
Anwendungskontext
Wo kommt die Elektro-Quasistatik zum Einsatz?
• Tieffrequente Problemstellungen aus der Hoch- bzw.
Höchstspannungstechnik.
• Nichtverschwindende Verschiebungsströme treten
auch in Kondensatoren mit sehr grosser Kapazität auf.
• Feldprobleme in Halbleitern wie z.B. Transistoren.
• Elektrische Behandlung der Nervenleitung.
«Daumenregel»:
Man verringere die Frequenz der anregenden Quelle
bis die Felder in der Anordnung statisch erscheinen.
Verschwindet dabei das Magnetfeld, lässt sich die
Anordnung mittels Elektro-Quasistatik berechnen.
4
Die Magneto-Quasistatik I
-200-
Grundgleichungen
(1) Maxwell-Gleichungen der MQS:
(B) Zeitharmonische Variation:
(A) Allgemein:
rot H = J
div B = 0
Grundgleichung der
primären Feldgrössen
B
rot E = t
Sekundäre
Feldgrösse
Grundgleichungen der
rot H = J primären Feldgrössen
div B = 0 Grundgleichungen
der MQS
rot E = j B
Sekundäre Feldgrösse
Näherung für niederfrequente
Felder, bei denen der elektrische
Verschiebungsstrom vernachlässigt
wird. Die zweite Grundgleichung folgt
auch aus der sekundären Gleichung !
J = E + JE
eingeprägte Stromdichte
Leitungsstromdichte
Die Magneto-Quasistatik II
-201-
Anwendungskontext
Wo kommt die Magneto-Quasistatik zum Einsatz?
• Umfasst alles was man gemeinhin unter quasistationären Feldern versteht (cf. Folie 1 bis Folie 105).
• Felder in Turbogeneratoren für die Energieerzeugung.
• Skin-Effekt (später) in Übertragungsleitungen.
• Magnetfelder klassischer, niederfrequenter Wechselstromanlagen bei Niederspannung bzw. Schwachstrom.
«Daumenregel»:
Man verringere die Frequenz der anregenden Quelle
bis die Felder in der Anordnung statisch erscheinen.
Verschwindet dabei das elektrische Feld, lässt sich die
Anordnung mittels Magneto-Quasistatik berechnen.
5
Voraussetzungen der Quasistatik I
-202-
Näherungsbetrachtungen
(1) Elektro-Quasistatik (EQS):
(2) Magneto-Quasistatik (MQS):
• Charakteristische Länge L: In beiden Fällen lässt sich eine Länge definieren, die der
typischen Abmessung der jeweiligen Anordnung entspricht. • Charakteristische Zeitkonstante : Die charakteristische Zeitkonstante bei zeitharmonischen Felder beträgt = 1 / .
• Näherung der Differentialoperatoren:
{grad, div, rot} 1
L
1
t Voraussetzungen der Quasistatik II
-203-
Näherungsbetrachtungen
(1) Fehler der Elektro-Quasistatik (EQS):
(A) Primäre Felder:
div D = D
=
L
L
0
E=
0 E L L2
H=
=
(B) Sekundäre Felder:
D
rot H =
t
H D
=
L (C) Fehler: (bisher vernachlässigte Rückwirkung auf die primären Felder)
( e)
B
rot E = t
E ( e)
B
=
L
E
( e)
μ0 H L μ0 L3
=
=
2
6
-204-
Voraussetzungen der Quasistatik III
Näherungsbetrachtungen
(2) Fehler der Magneto-Quasistatik (MQS):
(A) Primäre Felder:
rot H = J
H
=J
L
H = J L
(B) Sekundäre Felder:
B
rot E = t
μ0 H L μ0 J L2
E =
=
E
B
=
L
(C) Fehler: (bisher vernachlässigte Rückwirkung auf die primären Felder)
( e) D
rot H =
t
0 E L μ0 0 J L3
H ( e) D
( e)
=
H =
=
L
2
-205-
Voraussetzungen der Quasistatik IV
Näherungsbetrachtungen
(3) Die relativen Fehler der Quasistatik
(A) Elektro-Quasistatik (EQS):
E ( e)
μ0 0 L2 L =
=
E
2
co (B) Magneto-Quasistatik (MQS):
H ( e)
2
H
(C) Fehlerbedingung:
μ0 0 L2
1 2
μ0 0 L
1 Die quasistatische Näherung ist gültig,
falls die Zeitkonstante der Feldvariation
sehr viel grösser ist, als die Laufzeit des
Lichts entlang der typischen Länge L.
Siehe hierzu
auch GET 2
Folie 10 !
μ0 0 L2 L =
=
2
co 2
c0
1
c : Lichtgeschwindigkeit
μ0 0 L 0
c0
L
L
c0
7
-206-
Die Felddiffusion I
Grundgleichungen
(1) Maxwell-Gleichungen der Magneto-Quasistatik (MQS):
rot E = tB
rot H = J
div D = div B = 0
D = E
B = μH
J = E
Keine freien Ladungen, d.h.
keine Überschussladungen
im leitenden Material.
Materialgleichungen
(2) Umformungen und Vektorbeziehungen:
div E = 0
rot rot E = t rot B = t μ rot H = t μ J = t μ E
rot rot E = grad div E E = E
(
(Vektoridentität cf. Folie 1-195)
)
(
)
(
)
-207-
Die Felddiffusion II
Grundgleichungen
(3) Diffusionsgleichungen für E und J:
(A) Vergleichen der Beziehungen und :
E
E = μ t
Dies ist eine Vektordiffusionsgleichung bezüglich des
elektrischen Feldes. Ihre Bezeichnung ergibt sich durch
die Ähnlichkeit mit der skalaren Diffusionsgleichung der
Wärmeleitung.
(B) Weitere Diffusionsgleichung:
J
J
mit: J = E
rot rot E = rot rot = = μJ
t
J
Es ergibt sich dieselbe Diffusionsgleichung
J = μ für das Strömungsfeld.
t
(
)
8
-208-
Die Felddiffusion III
Grundgleichungen
(4) Diffusionsgleichungen für B und A:
(A) Alternative Umformung der Vektorbeziehung aus Folie 206:
rot rot H = rot J = rot E = rot E = t B
(Folie 206)
rot rot H = grad div H H = μ1 grad div B B = μ1 B
(
)
(
)
(B) Vergleichen der Beziehungen und :
B
B = μ t
direkt
mit:
B = rot A
und der Coulomb-Eichung
(siehe hierzu auch Folie 54)
A
A = μ t
Man erhält auch für die Felder J, B und A jeweils dieselbe Vektordiffusionsgleichung. Die Problemstellungen unterscheiden sich in den Randbedingungen,
bzw. in den Anfangsbedingungen. Frage: Was ist eine Vektordiffusionsgleichung?
Die Felddiffusion IV
-209-
Physikalische Interpretation
(1) Die Vektordiffusionsgleichung:
B
B = μ t
• Wegen der einfachen Zeitableitung ist die Diffusionsgleichung nicht invariant gegenüber der Transformation
t –t (Zeitumkehr).
• Dies ist typisch für irreversible Prozesse, wo die Zeit
eine privilegierte Richtung hat, d.h. sie verläuft in eine
Richtung, nämlich in die der Entropiezunahme.
• Die Diffusion ist ein «Musterbeispiel» eines irreversiblen
Prozesses (ein anderes Beispiel ist die Wärmeleitung).
• Warum unterliegen elektromagnetische Felder hier
irreversiblen Prozessen? Hin- und rücklaufende Wellen
zeigen demnach doch ein «reversibles» Verhalten.
• Merke: Mit der Leitfähigkeit ist eine Energiewandlung
in Wärmeenergie verbunden, die irreversibel ist.
• Ladungsträger in Leitern verhalten sich statistisch und
erzeugen dadurch das sog. Johnson-Nyquist-Rauschen.
9
-210-
Die Felddiffusion V
Physikalische Interpretation
(2) Typeneinteilung partieller Differentialgleichungen:
Differentialgleichung
mathematische Bezeichnung
Anwendungsbeispiel
f = k1
elliptische
Differentialgleichung
Potentialgleichung
f = k2 t f
parabolische
Differentialgleichung
Diffusionsgleichung
f = k3 t 2 f
hyperbolische
Differentialgleichung
Wellengleichung
2
• Die Funktion f kann sowohl eine Skalar- als auch eine
Vektorfunktion sein.
• Dies sind die 3 gebräuchlichsten partiellen Differentialgleichungen der Natur- und Technikwissenschaften.
-211-
Die Felddiffusion VI
Physikalische Interpretation
(3) Abschätzungen zum Diffusionsprozess:
B
t = B
B
μ
μ
t=0
t >
• Ein Leitermaterial wird bei t = 0 in ein Magnetfeld
eingebracht. Sein Inneres ist zunächst feldfrei.
• Erst allmählich kann das äussere Magnetfeld in den Leiter
hinein diffundieren. Wie gross ist die Zeitkonstante ?
10
-212-
Die Felddiffusion VII
Physikalische Interpretation
(3) Abschätzungen zum Diffusionsprozess:
(A) Kommentar: Wir gehen hier nicht auf den Mechanismus des «Einbringens eines
Leiters» ein, denn da würde ja ein Leiter bewegt und somit eine Spannung induziert
werden. Auch in einem alternativen Gedankenexperiment mit ruhendem Leiter wo
das B-Feld zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet wird, würden Spannungen und
(Wirbel-)Ströme induziert. Wir folgen hier einfach dem Verhalten, welches durch die
Diffusionsgleichung vorgegeben wird.
(B) Einfache Abschätzung: Die Anordnung habe eine typische Länge L. Eine einfache
Abschätzung kann gemäss den «groben» Näherungen aus Folie 202 erfolgen:
B
B
B
B = μ Abschätzung
2 μ t
L
μ L2
(C) Diskussion: Die Dauer des Eindringvorganges des Feldes hängt vom Quadrat der
Längendimension ab, was typisch für Diffusionsprozesse ist.
Bedeutet auch: Diese Prozesse sind in kleinen Längenskalen betrachtet sehr schnell !
-213-
Die Felddiffusion VIII
Physikalische Interpretation
(4) Ähnlichkeitsgesetze:
(C) Skalierte Diffusionsgleichung:
(A) Physikalische Diffusionsgleichung:
2 2 2 B
x 2 + y 2 + z 2 B = μ t
=
x
L
=
y
L
=
z
L
=
t
μ L2
(B) Ähnlichkeitstransformation:
(Massstabänderungen)
Die Grösse L oder (μ)
stellt einen Freiheitsgrad
für die Skalierung dar.
2
2
2 B
2 + 2 + 2 B = • Ergebnisse lassen sich mittels Massstabänderungen auf andere Vorgaben
hin skalieren.
• Die Lösungen der skalierten Diffusionsgleichung gelten demnach für alle
gemäss den Ähnlichkeitsgesetzen
skalierten Diffusionsgleichungen.
• Einander ähnliche Leiter gehorchen
demnach derselben skalierten
Diffusionsgleichung.
11
-214-
Die Felddiffusion IX
Separation der Diffusionsgleichung
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:
(A) Diffusionsgleichungen:
f μ t f = 0
f E, J, B, A
{
fi μ t fi = 0
Vektordiffusionsgleichung
}
Komponentenschreibweise
(B) Produkteansatz:
2 fi
x
2
+
2 fi
y
2
+
2 fi
z 2
fi = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) T ( t )
f
μ ti = 0 2 X
2Y
2 Z
T
x 2 + Y1 y2 + Z1 z2 μ
T t = 0
1
X
kx2
kz2
ky2
kx2 +ky2 +kz2
Jeder Term hängt nur von der jeweiligen
Variablen ab und muss daher konstant sein.
-215-
Die Felddiffusion X
Separation der Diffusionsgleichung
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:
(C) Harmonische Lösungen:
1
X
2 X
x 2 + kx2 = 0
1
Y
2Y
y2 + ky2 = 0
1
Z
2 Z
z2 + kz2 = 0
Die die zugehörigen harmonischen Lösungsfunktionen sind ab
Folie 1-181 als (H-1) bis (H-8) für verschiedene Koordinatensysteme aufgeführt. Die Separationskonstanten ki erhält man
aus den entsprechenden Randbedingungen.
(D) Zeitverhalten:
μ
T T
t
= kx2 + ky2 + kz2
T ( t ) = T0 e
t
=
μ
kx2 +ky2 +kz2
Jede der Lösungsfunktionen mit ihren Separationskonstanten ki
klingt gemäss eines «globalen» exponentiellen Zeitverlaufs mit
der Zeitkonstante ab. T0 folgt aus den Anfangsbedingungen.
12
-216-
Der Skineffekt I
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(1) Experimentalanordnung:
x
(A) Diffusionsgleichung:
E
E = μ t
E
y
=0
z
>0
=
0
x y
Eindimensionales
Problem entlang z.
(B) Eindimensionale Diffusionsgleichung
für zeitharmonische Felder:
2 Ex
= j μ Ex
z 2
-217-
Der Skineffekt II
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(2) Lösen der Diffusionsgleichung:
x
(C) Ansatz:
E
Ex ( z ) = A e + B e
z
y
=0
2
Ex j μ Ex = 0
z 2
2
z
>0
=
z
j μ = 1+2j μ
= (1 + j ) μ
2
:= (1 + j ) k
(D) Homogene Lösung für das E-Feld:
Ex ( z ) = A ekz e jkz + B e kz e jkz
13
-218-
Der Skineffekt III
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(2) Lösen der Diffusionsgleichung:
(E) Randbedingungen für das E-Feld:
Ex ( z ) = A ekz e jkz + B e kz e jkz lim { Ex ( z )} = 0 A=0
z
E x ( 0 ) = E0
B = E0 Ex ( z ) = E0 e k(1+ j )z
k=
μ
2
Lösung der Diffusionsgleichung
(F) Lösung für das (zugehörige) magnetische Feld:
rot E = t B
rot ( Ex ex ) =
cf. Folie 216 zum eindimensionalen Problem !
(
z
Ex ey y
)
Ex
Ex ez = j B = j μ H y
z
-219-
Der Skineffekt IV
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(2) Lösen der Diffusionsgleichung:
(F) Lösung für das (zugehörige) magnetische Feld:
Ex
1 Ex
= j μ H y H y ( z ) = z
j μ z
k
=
(1 + j ) E0 e k(1+ j )z
j μ
1+j j = 1 j
E
= + 0 (1 j ) e k(1+ j )z
2k
H y (z) =
E0
E0 k(1+ j )z j 4
(1 j ) e k(1+ j )z =
e
e
2k
2k
k=
μ
2
14
-220-
Der Skineffekt V
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(3) Feldverteilung im leitenden Halbraum:
Ex ( z )
• Die beiden Felder dringen im Sinne
einer kritisch gedämpften «Welle» ein,
da Re{ } = Im { } (Folie 217)
bzw. S = 1 (siehe Definition unten).
H y (z)
• Es handelt sich hier um einen
Diffusionsprozess (keine Wellen).
S
z
e kz = ez S s =
2
μ
Eindringtiefe
oder Skintiefe
-221-
Der Skineffekt VI
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(4) Oberflächenstromdichte und Stromdichte:
(A) Die Oberflächenstromdichte aus der Grenzbedingung (Folie 101):
H
E
n12 H 2 H 1 = J F
(
x
JF
*)
n12 H 1 = J F
ez H y ey = J F
H y ex = J F
J F = H y ( 0 ) ex
(
z
y
=0
)
>0
*) Annahme: Das
H2-Feld im leitenden
Material soll hier
nur durch die Oberflächenstromdichte
JF repräsentiert werden.
(
)
)
Oberflächenstromdichte
[JF] = A/m
15
-222-
Der Skineffekt VII
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(4) Oberflächenstromdichte und Stromdichte:
(B) Die Stromdichte des elektrischen Strömungsfeldes:
H
x
E JF
J = rot H
=0
J = rot H y ey
J = z H y ex +
J (z)
(
z
y
(cf. Folie 200)
(
J x = z
>0
)
x
H y ez
( (1 j ) e
E0
2k
)
k(1+ j )z
)
J x ( z ) = E0 e k(1+ j )z = Ex ( z )
Konsistent mit dem Gesetz von Ohm !
-223-
Der Skineffekt VIII
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(4) Oberflächenstromdichte und Stromdichte:
(C) Zusammenhang zwischen der Oberflächenstromdichte und dem Strömungsfeld :
k(1+ j )z ex dz
J ( z )dz = E0 e
x
0
J (z)
JF
y
=0
z
>0
0
k(1+ j )z
= ex E0 e k(1+ j ) 0
E0 E0
= ex k(1+ j ) = ex 2 k (1 j )
= ex H y ( 0 ) = J F
J F = H y ( 0 ) ex = J ( z ) dz
0
16
-224-
Der Skineffekt IX
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(5) Oberflächenwiderstand und Oberflächenimpedanz:
H
E
x
Inspiriert durch den Feldimpedanzoperator (cf. Folie 196).
JF
ZF =
=0
=
z
y
>0
Inspiriert durch das
Gesetz von Ohm
Ex Ex ( 0 )
2k
=
=
Hy
JF
(1 j )
μ
k
(1+ j ) =
(1+ j )
2
Z F = RF (1+ j )
j=
1+ j
2
ZF =
Oberflächenimpedanz
Oberflächenwiderstand
j μ
RF =
μ
2
-225-
Der Skineffekt X
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(6) Interpretation des Oberflächenwiderstandes:
JF
(A) Oberflächenwiderstand:
μ
1
=
2 S
RF =
E
H
(B) Widerstand einer Oberfläche:
S
b
Merke: Die Einheit des Oberflächenwiderstandes ist Ohm. In diesem speziellen Fall
sagt man aber «Ohm pro Quadrat», um der
technischen Anordnung Rechnung zu tragen.
R=
=
= RF A S b
b
R = RF b
[R ] = F
Minimale
Anzahl Quadrate,
b : die
in die Oberfläche passen.
17
-226-
Der Skineffekt XI
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(7) Bestimmung des Flächenstromes:
JF
(A) Zur Grenzbedingung:
ez H 2 H 1 = J F
J F = A m
(
x
z
H
iF
y
Folie 101: Die Grenzbedingung wurde
anhand des Durchflutungsgesetzes hergeleitet, indem die Integrationskontur in
z-Richtung «zusammengestaucht»
wurde. Aus der darin enthaltenen Stromdichte ergab sich dadurch die Flächenstromdichte (Strom in der Fläche, nicht
Flächendichte des Stromes). Die Stromstärke erhält man nun durch Integration
über den verbleibenden Freiheitsgrad.
S
«entartetes»
Flächenelement
b
(B) Flächenstrom:
mit [iF] = A
)
iF = J F ex dy
b
0
-227-
Der Skineffekt XII
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(8) Zum Leistungsumsatz:
(A) Einbringen der Zeitabhängigkeit:
j
E ( t, z ) = Re e j t E0 e k(1+ j )z ex
mit : E0 = E0 e E
J ( t, z ) = E ( t, z ) = Re e j t E0 e k(1+ j )z ex
J ( t, z ) = E0 e kz Re e j( t kz+ E ) ex
= E0 e kz cos ( t k z + E ) ex
{
{
{
}
}
}
(B) Quadratischer Mittelwert der Stromdichte:
2
J ( t, z )
=
T
2 E02
T
T
e2 kz cos 2 ( t k z + E ) dt =
2 E02
2
e2 kz
0
18
-228-
Der Skineffekt XIII
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(8) Zum Leistungsumsatz:
(C) Zur Oberflächenstromdichte:
j
J F = H y ( 0 ) ex
mit : E0 = E0 e E
E
E j E j J F = 2k0 (1 j ) ex = 2 k0 e 4 ex = 2 k0 e ( 4 E ) ex
j + j t + E
E
J F ( t ) = e j t 2 k0 e ( 4 E ) ex = 2 k0 e ( 4 E ) ex
j t + E
E
J F ( t ) = Re 2 k0 e ( 4 E ) ex = 2 k0 cos ( t 4 + E ) ex
{
}
(D) Quadratischer Mittelwert der Oberflächenstromdichte:
2
J F (t )
2E2
T
= 12 2k 20 =
2 E02
4k
=
2
2 E02
4
S2
-229-
Der Skineffekt XIV
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(8) Zum Leistungsumsatz:
(E) Verlustleistung des Diffusionsvorganges:
2
P = E J dV = 1 J dV
V
P
T
(siehe hierzu Folie 1-282)
V
2
J ( t, z )
= 1
= AF 4k
V
E02
= ( b ) P T E02
= 4 S
AF
T
dV = AF 1 E02
4
2 E02
2
e2 kz dz
0
S
AF = b; S =
1
k
Dies ist die zeitlich gemittelte Leistung,
welche während der Diffusion durch
die Fläche AF im Halbraum in Wärme
umgewandelt wird.
19
-230-
Der Skineffekt XV
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(8) Zum Leistungsumsatz:
(F) Quadratischer Mittelwert des Flächenstroms:
iF = J F ex dy = b J F
b
iF2
2
2
=
b
J
t
(
)
F
T
0
T
(G) Ohm‘sche Leiterverluste durch den Flächenstrom:
P
T
P
= iF2
R = iF2
2
= b2 J F (t )
T
T
= iF2
T
T
RF b
1
S
b = b 2 R = ( b ) T
E02
4
S
2 E02
4
S2 1 S b
Dieser Ausdruck ist identisch zur
Verlustleistung aus der Betrachtung des Diffusionsprozesses aus
Folie 229 (zumal ja gilt: AF = ·b ).
-231-
Der Skineffekt XVI
Felddiffusion in den unendlichen Halbraum
(9) Diskussion:
• Die Verluste durch den Diffusionsvorgang entsprechen genau den
Ohm‘schen Leiterverluste des Flächenstroms und werden auch als
Skineffekt-Verluste bezeichnet.
• Wird anstelle der exponentiell abklingenden Stromdichte im Halbraum
ein konstanter Strom (der Flächenstrom !) angesetzt, so werden in einer
vom Strom durchsetzten Schicht der Dicke S (Skin- oder Eindringtiefe)
gerade die Skineffekt-Verluste umgesetzt, d.h.:
P
T
Diffusion
P
T
Leiter
= iF2 R = iF2 d := S
d b
• Frequenzverhalten der Oberflächenwiderstandes und der Skintiefe:
RF f
S 1
f
Z F = RF (1 + j )
Gleichermassen ohmsch und induktiv !
20
-232-
Der Skineffekt XVII
Beispiel: «Zylindrischer Leiter»
(1) Problemstellung:
(A) Vektordiffusionsgleichung:
z
H
r
E
E = μ t
mit :
E = Ez ez
(B) Vektoranalysis (für Zylinderkoordinaten):
R
,μ
i (t )
v
v
v = vr r22 r 2r er +
v
v
+ v + r22 r r2 e +
Laplace-Operator:
vektoriell
+ vz ez
skalar
vz =
vz
2
r
2
v
v
2
+ 1r rz + r12 2z +
2 vz
z 2
-233-
Der Skineffekt XVIII
Beispiel: «Zylindrischer Leiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
z
H
r
R
,μ
i ( t ) = I 0 cos ( t )
i = I0 e
j t
(A) Zeitharmonische Felder:
(Feld ist invariant in z- und -Richtung)
2
r 2
2
r 2
Ez + 1r r Ez j μ Ez = 0
Ez + 1r r Ez + 2 Ez = 0
= j μ = (1 j ) k
(B) Lösung der Bessel‘schen Differentialgleichg.:
( )
( )
Ez ( r ) = C1 J n r + C2 N n r
Jn : Bessel-Funktionen erster Gattung, n-ter Ordnung
Nn : Neumann-Funktionen n-ter Ordnung
21
-234-
Der Skineffekt XIX
Beispiel: «Zylindrischer Leiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
(C) Lösungsansätze:
( )
E ( r ) = C J ( r )
J ( r ) = C J ( r )
( )
Ez ( r ) = C1 J n r + C2 N n r
z
1
Merke: Die Neumann-Funktion enthält
eine Singularität im Ursprung (r = 0).
Merke: Die Bessel-Funktion J0 ist die
einzige, die bei r = 0 ungleich Null ist.
0
z
1
Vektoranalysis
0
rot H = J rot H z = 1r r r H 1r H r ez = J z ez
(
( r H ) = J ( r ) = C J ( r )
( ) {z J ( z )} = z J ( z )
1 r r
1 z z
z
1
0
)
Beziehung für
Bessel-Funktionen
= 1; = 1
( )
H ( r ) = C1 J1 r
-235-
Der Skineffekt XX
Beispiel: «Zylindrischer Leiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
(D) Randbedingungen:
H ( R) =
I0
2 R
( )
H ( R ) = C1 J1 R C1 =
I 0 ( )
2 R J1 R
(E) Feldlösungen:
( )
( )
J ( r )
I
(r ) =
2 R J ( R )
Ez ( r ) =
H
I 0 J 0 r
2 R J1 R
0
1
1
Jz (r ) =
( )
( )
J 0 r
I0
2 R
J1 R
Merke: Die Berechnung der magnetischen Feldstärke H hätte ebenso gut
über das Induktionsgesetz erfolgen
können:
rot E = j μ H
22
-236-
Der Skineffekt XXI
Beispiel: «Zylindrischer Leiter»
(3) Feldverteilung im Leiter (Realteil):
z
H J
z
H (r )
Zur Erinnerung:
f = 0 Hz
Jz (r )
r
Kupferdraht mit R = 1 mm,
bei einer Frequenz von
f = 160 kHz
Der Skineffekt XXII
-237-
Beispiel:
«Zweidrahtleitung»
• Eine elektromagnetische
Welle (später) propagiert
entlang einer Leitung.
• Lokal, d.h. an einer Stelle
betrachtet, stellt die Welle
ein Wechselfeld dar.
• Dieses Feld dringt wegen
der Felddiffusion in das
Material der beiden Leiter
ein (nur ein Leiter sichtbar).
• Frage: Skineffekt oder
Stromverdrängung?
© Simulation mittels MMP-Methode,
P. Leuchtmann, ETH Zürich.
23
-238-
Stromverdrängung I
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(1) Problemstellung:
i (t )
x
i (t )
i ( t ) = I 0 cos ( t )
i = I 0 e j t
(B) Diffusionsgleichung:
d
z
WechselstromAnregung:
y
d b
Dünner Leiteranordnung:
,μ
H
(A) Voraussetzungen:
H
H = μ t
b
2
z 2
H y = j μ H y
-239-
Stromverdrängung II
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
i (t )
x
,μ
H
H
dl = i
y
i (t )
b
H
0
0
y z= d
2
b
H
0
Hy
Keine Beiträge entlang
von z (wegen d << b).
H ey
b
d
z
(C) Randbedingungen:
dy + H y
b
b
y z= d
2
z= d2
z= d2
(
dy H y
0
= Hy
z= d2
=
)
dy = I 0
z= d2
dy = I 0
I0
2b
Ist vom Typ «Oberflächenstromdichte».
24
-240-
Stromverdrängung III
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
(D) Lösungsansätze:
2
z 2
2 = j μ = (1+ j ) k
H y j μ H y = 0
H y ( z ) = C1 e
z
H y ( d2 ) =
+ C2 e
I0
2b
z
k=
H y ( d2 ) = 2b0
I
μ
2
C1 e
d2
+ C2 e
+ d2
= + 2b0
C1 e
+ d2
+ C2 e
d2
= 2b0
I
I
C1 = C2 := C
(Randbedingungen)
C=
Io
1
2 b 2sinh d2
( )
-241-
Stromverdrängung IV
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(2) Lösung der Diffusionsgleichung:
(D) Lösungsansätze:
H y ( z ) = C1 e
H y (z) = (E) Stromdichte:
z
+ C2 e
(
= C e
( )
( )
I o sinh z
2 b sinh d2
H = H y ey ; J = rot H
Jx (z) = +
z
z
e
z
) = C 2sinh ( z )
z [ d2 , d2 ]
(
)
rot H y ey = z H y ex +
(Folie 220)
( )
( )
I o cosh z
2 b sinh d2
x
H y ez
z [ d2 , d2 ]
25
-242-
Stromverdrängung V
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(3) Frequenzabhängiger Widerstandsbelag:
u = I 0 ( R + j Li ) =
1
J x ( z ) z= d dx = J x (
2
0
I 0 ( R + j Li )
( )
d
2
( )
( )
)
d
I o I o cosh 2
=
=
coth d2
d
2 b sinh 2
2 b
coth d2 = coth
R ( )
(
k d
2
+ j
k d
2
( )
( k d ) j sin ( k d )
) = sinh
cosh ( k d ) cos ( k d )
( ) =
d
R ( )
coth 2
=
= Re 2 b
«Innerer»
Spannungsabfall beim
Maximum der
Stromdichte
Umformung
Hyperbelfkt.
k sinh ( k d ) + sin ( k d )
2 b cosh ( k d ) cos ( k d )
-243-
Stromverdrängung VI
Beispiel: «Dünner Bandleiter»
(3) Frequenzabhängiger Widerstandsbelag:
R ( f ) RDC
Kupfer-Bandleiter
d = 1 mm; b = 1 cm
Jx (z)
1
RDC
= bd
2S d
f
f
26
-244-
Stromverdrängung VII
Fazit
Dem Skineffekt und der Stromverdrängung liegt der gleiche
physikalische Mechanismus zu Grunde, nämlich die elektromagnetische Felddiffusion. In diesem Sinne tragen die
Bezeichnungen «Skineffekt» bzw. «Stromverdrängung»
lediglich einem unterschiedlichen Standpunkt Rechnung:
Skineffekt: Elektromagnetische Felder / Strömungsfelder
können nur bedingt, d.h. gemäss einer frequenzabhängigen Skintiefe S in das leitende Material eindringen.
Stromverdrängung: Das elektrische Strömungsfeld wird
mit zunehmender Frequenz aus dem leitenden Material
gedrängt.
-245-
Abschirmung I
Beispiel: «Metallrohr»
(1) Problemstellung:
(A) Voraussetzungen:
Quellenfeld:
H q = H ( t ) ex
0 t < 0
H (t ) = H 0 t 0
Sehr dünnwandig: d << R
Die Koordinate s vermisst die
Tangentialfläche s-z an der
Zylindermantefläche, deren Richtung wiederum durch den Flächennormalenvektor gegeben ist.
27
-246-
Abschirmung II
Beispiel: «Metallrohr»
(2) Zu den Randbedingungen:
(A) Voraussetzungen:
Sehr dünnwandig: (d << R)
Bna = Bni = Bn
Bni : Innenfeld (im Inneren)
Bna : Aussenfeld (in der Luft)
Rein axiale Oberflächenstromdichte (wegen Hta):
J F = J z d = d Ez
Induktionsgesetz:
d m dt
Ez
Bn
Ez ( s ) dz + Ez ( s ) + s ds dz = t dsdz
{
}
-247-
Abschirmung III
Beispiel: «Metallrohr»
(2) Zu den Randbedingungen:
(B) Grenz- bzw. Stetigkeitsbedingungen:
{
Ez ( s ) dz + Ez ( s ) +
Ez
s
=
Bn
t
Ez
s
}
ds dz =
Ez
s
dsdz = dsdz
Die Grenzschichtdiskontinuität der Tangentialkomponenten der magnetischen
Feldstärke wird durch die Flächenstromdichte «kompensiert». Hier ist es
umgekehrt: Es gibt eine Flächenstromdichte, somit gilt für das Magnetfeld:
nai H i H a = ( n ) H i H a = J F
(
Bn
t
)
(
)
H ti + H ta = J F
Aus & ergibt sich:
s
( 1d J F ) =
1
d
(
)
s H ta H ti = Bn
t
Die Normal- und Transversalkomponenten des Magnetfeldes sind unabhängig von z
und hängen nur von der Zeit t
und der Koordinate s ab.
28
-248-
Abschirmung IV
Beispiel: «Metallrohr»
(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials:
(A) Das Skalarpotential des anregenden Magnetfeldes H q:
H = grad H q = H ( t ) ex = x q ex
q = H ( t ) x = H ( t ) r cos ( )
(B) Das Skalarpotential des vom Metallzylinder erzeugten «sekundären» Magnetfeldes H s:
as = ( Ar + Br ) cos ( )
is = ( C r + Dr ) cos ( )
as = Br cos ( )
Die Ansatzfunktion entstammt der Lösungsbibliothek (H-7) aus Folie 1-186.
Ansatzfunktion hat wegen der Zylindersymmetrie
die gleiche -Abhängigkeit wie die Anregung.
Für r muss as verschwinden: A = 0.
= r C cos ( )
s
i
Für r 0 bleibt is endlich gross:
D = 0.
-249-
Abschirmung V
Beispiel: «Metallrohr»
(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials:
(C) Lösungsansätze:
H H = a
t
a
q + as = H ( t ) + rB2 sin ( )
Das Skalarpotential der totalen äusseren Magnetfeldes.
1
r
H ti H i = 1r is = C sin ( )
Bna Bra = μ0 r q + as = μ0 H ( t ) + rB2 cos ( )
Bni Bri = μ0 r is = μ0 C cos ( )
Bna r= R = Bni r= R
1
R d
(
H ta H ti
s= R
)
r= R
=
Bn
t r= R
H ( t ) + RB2 = C
1
R d
H ( t ) + RB2 C = μ0
dC
dt
29
-250-
Abschirmung VI
Beispiel: «Metallrohr»
(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials:
(D) Auswerten der Randbedingungen:
H ( t ) + RB2 = C
1
R d
H ( t ) + RB2 C = μ0
dC
dt
Wegen der Zeitabhängigkeit von H(t)
sind die Randbedingungen nur erfüllt,
wenn die «Konstanten» B und C auch
zeitabhängig sind !
Eliminieren der Konstante B:
d
dt
C + 1 C = 1 H ( t )
(
)
C ( t ) = 1 et H 0
= 12 μ0 Rd ; t 0
Magnetfeld im Inneren:
H i = grad is =
= grad r C ( t ) cos ( ) = grad x C ( t ) = C ( t ) ex
Abschirmung VII
-251-
Beispiel: «Metallrohr»
(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials:
(D) Auswerten der Randbedingungen:
Bestimmen der Konstante B:
H (t ) +
B
R2
+C = 0
aus Folie 250.
+, d.h. addieren der oberen
2 RB2 = μ0 dC
dt
Gleichung mit aus Folie 250.
2 C
2
t B ( t ) = ( 12 μ0 Rd ) R 2 dC
t0
dt = R t = H 0 R e
1
R d
Magnetfeld im Aussenraum:
t R 2
μ10 Bra er + H 0 ( r ) e + 1 cos ( ) er + a
H ( r, ,t ) = a =
2
t
R
H e
H 0 ( r ) e 1 sin ( ) e 30
-252-
Abschirmung VIII
Beispiel: «Metallrohr»
(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials:
(E) Feldlösungen:
H i ( r, ,t ) = 1 et H 0 ex = 1 et H 0 cos ( ) er sin ( ) e
r < R; t 0
Merke : ex = cos ( ) er sin ( ) e
(
)
(
)
(
)
Das Magnetfeld im Innern liesse sich auch direkt über die Felder aus Folie 249 bestimmen.
Dass nur von der Permeabilität des Vakuums abhängt, hat mit Bni = Bna zu tun.
( R )2 et + 1 cos ( ) e + r
a
r
H ( r, ,t ) = H 0 ( R )2 et 1 sin ( ) e r
r > R; t 0
Merke:
für r für t ergibt sich die
Feldverteilung
des homogenen
Quellenfeldes.
-253-
Abschirmung IX
Beispiel: «Metallrohr»
(4) Zeitentwicklung der Feldlinien der magnetischen Feldstärke:
t =0
t = 0.5
t =1
31
-254-
Wirbelströme I
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(1) Problemstellung:
y
(A) Voraussetzungen:
Ein Leitermaterial (z.B. ein Eisenblech
eines Transformators) mit den räumlichen
Abmessungen b h d (dünn: d << S).
dy
h
B (t )
Der im Leitermaterial durch ein homogenes Magnetfeld B(t) induzierte Strom di
erzeugt zwar ein sekundäres Magnetfeld,
welches hier aber vernachlässigt wird.
x
dx
di
b
d
(B) Magnetische Flussdichte:
Wie gross werden die Wirbelströme?
(C) Magnetischer Fluss:
(innerhalb einer fiktiven Stromschleife)
B ( t ) = B ( t ) ( ez )
y x
m = B ez dxdy = 4 xy B
y x
-255-
Wirbelströme II
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(2) Intermezzo zu den Wirbelströmen im homogenen B-Feld:
i
i
t
B (t )
A
t
B (t )
A
Auf einer unendlich ausgedehnten, ebenen Fläche A werden keine
Wirbelströme induziert (die «Stromwirbel» heben sich überall auf).
Auf gekrümmten Flächen (cf. Folie 245 ff.) und berandeten Flächen
fliessen Wirbelströme. Im letzteren Fall wird der Stromfluss durch den
Rand A, bzw. die dortige Randbedingungen bestimmt. Es ergibt sich
daher ein rechteckförmiger Weg des Stromflusses.
32
-256-
Wirbelströme III
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(3) Abschätzung der Wirbelströme:
y
Rechteckförmiger Strompfad:
dx
dy
dy
h
x
dx
B (t )
= xy =
(
Muss gelten damit die
Integration aller Stromschleifen
die gesamte Fläche bedeckt.
)
2y
2x
Rs = 1 2 dxd
+ 2 dyd
=
= 4d di
b
b
h
d
(
y
dx
)
+ dyx =
(
)
( ) (1 +
= 4d dxy 1 + dxy dyx =
= 4d dxy
x h
y b
dx x
y dy
2
= 4d bh dxx 1+ ( bh ) )=
Parametrisierung der
Stromschleife
mit x.
-257-
Wirbelströme IV
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(3) Abschätzung der Wirbelströme:
Stromstärke und Verlustleistung im Strompfad:
Elektrischer Widerstand
2
Strompfades
Rs (x) = 4d bh dxx 1+ ( bh ) des
(cf. Folie 256).
E
dl = di Rs (x) = dtd m = + 4 xy dtd B (t ) = + 4 x( x bh ) dtd B (t )
( x )
= 4 x 2 bh dtd B ( t )
xdx dtd B ( t )
di =
2
d 1+ ( bh ) 4x 3 dh dtd B ( t ) dx
2
dp = di Rs (x) =
2
Verlustleistung
des Strompfades
2
b 1+ ( bh ) 33
-258-
Wirbelströme V
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(4) Abschätzung der Verlustleistung im dünnen Eisenblech:
Verlustleistung aller Strompfade:
b2
P=
dp =
4 dh dtd B ( t ) b 1+ (
0
dh b 3 dtd B ( t ) =
2
16 1+ ( bh ) P=
)
b 2
h
2
b2
x
3
dx
0
2
dh b 3
2
d
B
t
(
)
dt
2
16 1+ ( bh ) Wirbelstromverluste in
einem dünnen Blech mit
den Abmessungen
b h d wobei d << S.
-259-
Wirbelströme VI
Beispiel: «Wirbelstromverluste»
(5) Laminieren des Eisenkörpers:
b
N
di
Reduktion der Verlustleistung:
«Unterbrechen» der Strompfade durch den Einbau
von (N – 1) isolierenden Lamellen. Die Strompfade
werden entsprechend verkürzt.
Abschätzung der resultierenden Wirbelstromverluste:
b
B (t )
b
N
: Substitution
und: P = N Pn = NPn
dh b 3
2
d
P=
B
t
(
)
dt
2
16 N 2 1+ ( Nbh ) P
1
N2
( Nbh ) << 1
Verlustleistung
lässt sich stark
reduzieren !
34