Kapitel 3 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

Kapitel 3
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 3
Beweis des Erfüllbarkeitslemmas
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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Übersicht
3.7 Beweis des Erfüllbarkeitslemmas
3.7.1 Beweisidee und Bemerkungen
3.7.2 Termmodelle
3.7.3 Vollständige Henkin-Theorien und der Satz über Termmodelle
3.7.4 Vervollständigung konsistenter Theorien: Der Satz von Lindenbaum
3.7.5 Henkin-Erweiterungen konsistenter Theorien
3.7.6 Abschluss des Beweises
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3.7 Beweis des Erfüllbarkeitslemmas
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3.7.1 Beweisidee und Bemerkungen
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Vorbemerkungen
Wie wir bereits gezeigt haben, folgt der Vollständigkeitssatz aus dem
ERFÜLLBARKEITSLEMMA (MODELLEXISTENZSATZ, EL). Sei T = (L, Σ)
eine konsistente Theorie. Dann ist T erfüllbar, d.h. es gibt eine L-Struktur A, die
Modell von T ist: A T .
In diesem Abschnitt beweisen wir das Erfüllbarkeitslemma und schließen damit
den Beweis des Vollständigkeitssatzes ab. Wir beschränken uns hierbei jedoch auf
den Fall abzählbarer Sprachen. Der Beweis des allgemeinen Falls lässt sich ähnlich
führen, erfordert aber das Auswahlaxiom.
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Beweisidee: (1) Termmodelle
Um das gewünschte Modell einer gegebenen konsistenten L-Theorie
T = (L, Σ) zu erhalten, betrachten wir das Termmodell AT von T , dessen
Individuen gerade die konstanten Terme von L (modulo aus T beweisbarer
Gleichheit) sind (→ 3.7.2). Grob gesprochen, interpretieren wir also die
konstanten L-Terme durch sich selbst.
Das Modell von T wird also aus den syntaktischen Objekten der Sprache L
(mit Hilfe des ebenfalls syntaktischen Beweisbarkeitsbegriffs) gewonnen.
Im Allgemeinen wird das Termmodell AT jedoch noch kein Modell von T
sein, obwohl für atomare Sätze σ
(∗) T ` σ ⇔ AT σ
gilt (“Lemma über Termmodelle”, → 3.7.2).
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Beweisidee: (2) Vervollständigung - der Satz von
Lindenbaum
Um (∗) auch für aussagenlogische Kombinationen σ atomarer Sätze zu
erhalten, muss die Theorie T vollständig sein (→ 3.7.3).
Ähnlich wie in der Aussagenlogik können wir daher ein Modell für diese
Sätze von T erhalten, indem wir T zu einer konsistenten vollständigen
Theorie TV erweitern (Satz von Lindenbaum für PL, → 3.7.4), und das
Termmodell ATV dieser Erweiterung betrachten.
Hierdurch wird jedoch i.a. (∗) noch nicht für Existenzsätze σ ≡ ∃xϕ
garantiert.
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Beweisidee: (3) Henkin-Theorien
Da die Individuen des Termmodells AT von T = (L, Σ) gerade die
konstanten L-Terme (modulo aus T beweisbarer Gleichheit) sind, folgt
leicht aus der Definition des Modellbegriffs, dass ein Existenzsatz σ ≡ ∃xϕ
genau dann in AT gilt, wenn es einen konstanten Term t gibt, sodass die
Instanz ϕ[t/x] von ϕ in AT gilt:
AT ∃xϕ ⇔ Es gibt einen konstanten L-Term t mit AT ϕ[t/x]
Die entsprechende syntaktische Aussage
T ` ∃xϕ ⇔ Es gibt einen konstanten L-Term t mit T ` ϕ[t/x]
gilt dagegen i.a. nicht:
Die Richtung “⇐” folgt aus dem Substitutionsaxiom S1 mit AL. Die
Gültigkeit von “⇒” setzt dagegen voraus, dass es zu jedem Existenzsatz
σ ≡ ∃xϕ einen konstanten Term tσ mit
T ` ∃xϕ → ϕ[tσ /x]
gibt. Theorien T mit dieser Eigenschaft nennt man Henkin-Theorien
(→ 3.7.3) .
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Beweisidee: (4) Henkin-Theorien und -Erweiterungen
Für eine konsistente vollständige Henkin-Theorie T gilt tatsächlich (∗) für
alle Sätze σ (“Satz über Termmodelle”, → 3.7.3). Insbesondere ist also das
Termmodell AT solch einer Theorie T Modell von T .
Es genügt daher zu zeigen, dass jede konsistente Theorie T nicht nur eine
konsistente vollständige Erweiterung TV sondern auch eine Erweiterung TH
besitzt, die weiterhin konsistent und zusätzlich eine Henkin-Theorie ist
(“Henkin-Erweiterung” von T , → 3.7.5). Hierbei muss man allerdings
beachten, dass hierzu i.a. die Sprache L von T durch Hinzunahme neuer
Konstanten erweitert werden muss, also TH = (LH , ΣH ) i.a. keine L-Theorie
ist.
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Beweisidee: (4) Henkin-Theorien und -Erweiterungen
Da die Vervollständigung einer Theorie die Sprache nicht verändert, kann
man dann argumentieren, dass die Vervollständigung
(TH )V = (LH , (ΣH )V )
der Henkin-Erweiterung TH = (LH , ΣH ) der konsistenten Theorie
T = (L, Σ) eine konsistente, vollständige Henkin-Theorie ist.
(Man beachte hierbei, dass die Erweiterung einer Henkin-Theorie wiederum
eine Henkin-Theorie ist, solange die Sprache nicht erweitert wird!)
Nach dem Satz über Termmodelle ist daher A(TH )V ein Modell von (TH )V
und daher die Einschränkung von A(TH )V auf die Sprache L ein Modell der
Teiltheorie T von (TH )V (Details → 3.7.6).
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Notation
Im Folgenden sei:
L eine abzählbare Sprache der Signatur σ(L) = ((ni : i ∈ I ); (mj : j ∈ J); K )
(d.h. I , J, K sind jeweils (höchstens) abzählbar).
Es sind also Ri (i ∈ I ), fj (j ∈ J) und ck (k ∈ K ) die Relationszeichen,
Funktionszeichen und Konstanten von L, wobei Ri ni -stellig und fj mj -stellig
ist.
T = (L, Σ) eine konsistente L-Theorie mit Axiomenmenge Σ.
Man beachte, dass es wegen der Abzählbarkeit von L (nur) abzählbar unendlich
viele L-Terme und L-Formeln gibt. Entsprechendes gilt für die Anzahl der
L-Sätze, und die Anzahl der konstanten L-Terme ist endlich oder abzählbar
(wobei letzteres gilt, falls K unendlich ist oder K und J beide nicht leer sind). Im
Folgenden sei
σn (n ≥ 0) eine Liste der L-Sätze und SL = {σn : n ≥ 0} die Menge aller
L-Sätze
KL die Menge aller konstanten L-Terme (NB: KL 6= ∅ ⇔ K 6= ∅)
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3.7.2 Termmodelle
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Identifizierung beweisbar gleicher Terme
Konstante L-Terme t werden in L-Strukturen A als Individuen t A interpretiert.
Ist A ein Modell der Theorie T , so stellen hierbei konstante L-Terme t und t 0 ,
deren Gleichheit aus T beweisbar ist, dasselbe Individuum dar. D.h. es gilt:
T ` t = t 0 ⇒ t A = (t 0 )A
Wollen wir also - wie in der Einleitung bereits ausgeführt - ein Modell der
konsistenten Theorie T dadurch erhalten, dass wir konstante Terme durch sich
selbst interpretieren, so müssen wir hierbei die entsprechende Identifizierung
vornehmen:
Statt der konstanten Terme t müssen wir die Äquivalenzklasse t von t bzgl. der
Äquivalenzrelation der aus T beweisbaren Gleichheit von Termen betrachten.
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Die Äquivalenzrelation der aus T beweisbaren Gleichheit
von Termen
DEFINITION. Die Relation ∼ ⊆ KL × KL sei durch
t ∼ t0 ⇔ T ` t = t0
gegeben.
Wir beobachten zunächst, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist (Lemma 1), die mit
den Funktions- und Relationszeichen von L veträglich ist (Lemma 2).
LEMMA 1. ∼ ist eine Äquivalenzrelation.
LEMMA 2.
(i)
0
0
t1 ∼ t10 & . . . & tmj ∼ tm
⇒ fj (t1 , . . . , tmj ) ∼ fj (t10 , . . . , tm
)
j
j
(ii)
t1 ∼ t10 & . . . & tni ∼ tn0 i & T ` Ri (t1 , . . . , tni ) ⇒ T ` Ri (t10 , . . . , tn0 i )
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Beweis von Lemma 1
Zum Beweis von Lemma 1 müssen wir zeigen, dass ∼ reflexiv (t ∼ t),
symmetrisch (t ∼ t 0 ⇒ t 0 ∼ t) und transitiv (t ∼ t 0 & t 0 ∼ t 00 ⇒ t ∼ t 00 ) ist.
1. t ∼ t
Es genügt einen Beweis von t = t aus T anzugeben:
1.
2.
x =x
t=t
G1
S2 : 1
2. t ∼ t 0 ⇒ t 0 ∼ t
Es genügt einen Beweis von t 0 = t aus T ∪ {t = t 0 } anzugeben:
1. t = t 0
2. t = t 0 → t 0 = t
3. t 0 = t
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Annahme
G5
AL : 1, 2
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Beweis von Lemma 1 (Fortsetzung und Ende)
3. t ∼ t 0 & t 0 ∼ t 00 ⇒ t ∼ t 00
Es genügt einen Beweis von t = t 00 aus T ∪ {t = t 0 , t 0 = t 00 } anzugeben:
1. t = t 0
2. t 0 = t 00
3. t 0 = t
4. t 0 = t 0
5.
6.
7.
8.
x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 → y1 = y2
t 0 = t ∧ t 0 = t 00 ∧ t 0 = t 0 → t = t 00
t 0 = t ∧ t 0 = t 00 ∧ t 0 = t 0
t = t 00
Annahme
Annahme
AL : 1, G 5
(oder Symmetrie von ∼ und 1)
S2 : G 1
(oder Reflexivität von ∼)
G4
S2 : 5 (t 0 /x1 , t/y1 , t 0 /x2 , t 00 /y2 )
AL : 3, 2, 4
AL : 6, 7
Hiermit ist Lemma 1 bewiesen. Im Folgenden bezeichnen wir die
∼-Äquivalenzklasse eines konstanten Terms t mit t und die Menge der
∼-Äquivalenzklassen mit KT :
t := {t 0 ∈ KL : t 0 ∼ t} und KT := {t : t ∈ KL }
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Beweis von Lemma 2 (i)
0
0
)
⇒ fj (t1 , . . . , tmj ) ∼ fj (t10 , . . . , tm
BEHAUPTUNG: t1 ∼ t10 & . . . & tmj ∼ tm
j
j
0
Es genügt einen Beweis von fj (t1 , . . . , tmj ) = fj (t10 , . . . , tm
) aus
j
0
0
T ∪ {t1 = t1 , . . . , tmj = tmj } anzugeben:
1
mj
mj + 1
mj + 2
mj + 3
t1 = t10
...
0
tmj = tm
j
0
0
t1 = t1 ∧ · · · ∧ tmj = tm
j
0
0
t1 = t1 ∧ · · · ∧ tmj = tm
j
0
→ fj (t1 , . . . , tmj ) = fj (t10 , . . . , tm
)
j
0
)
fj (t1 , . . . , tmj ) = fj (t10 , . . . , tm
j
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Annahme
Annahme
AL : 1, . . . , mj
G6
AL : mj + 1, mj + 2
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Beweis von Lemma 2 (ii)
BEHAUPTUNG: Aus t1 ∼ t10 & . . . & tni ∼ tn0 i & T ` Ri (t1 , . . . , tni ) folgt
T ` Ri (t10 , . . . , tn0 i )
Es genügt einen Beweis von Ri (t10 , . . . , tn0 i ) aus
T ∪ {t1 = t10 , . . . , tni = tn0 i , Ri (t1 , . . . , tni )} anzugeben:
1
ni
ni + 1
ni + 2
ni + 3
ni + 4
ni + 5
Annahme
t1 = t10
...
tni = tn0 i
Annahme
t1 = t10 ∧ · · · ∧ tni = tn0 i
AL : 1, . . . , ni
Ri (t1 , . . . , tni )
Annahme
t1 = t10 ∧ · · · ∧ tni = tn0 i
→ (Ri (t1 , . . . , tni ) ↔ Ri (t10 , . . . , tn0 i )) G 7
Ri (t1 , . . . , tni ) ↔ Ri (t10 , . . . , tn0 i )
AL : ni + 1, ni + 3
Ri (t10 , . . . , tn0 i )
AL : ni + 2, ni + 4
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Die Termstruktur AT der L-Theorie T
DEFINITION. Die Termstruktur (Termmodell)
AT = (AT ; (RiAT : i ∈ I ); (fjAT : j ∈ J); (ckAT : k ∈ K ))
von T ist gegeben durch
AT := KT = {t : t ∈ KL } wobei t = {t 0 ∈ KL : t 0 ∼ t}
(t1 , . . . , tni ) ∈ RiAT ⇔ T ` Ri (t1 , . . . , tni )
fjAT (t1 , . . . , tmj ) := fj (t1 , . . . , tmj )
ckAT := ck
In der Termstruktur AT werden also konstante Terme durch sich selbst
interpretiert, wobei man jedoch in T beweisbar gleiche Terme identifiziert, d.h.
formal einen konstanten Term t durch dessen Äquivalenzklasse t bzgl. ∼ ersetzt.
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Wohldefiniertheit der Termstruktur AT
Enthält die Sprache L keine Konstanten, so gibt es keine konstanten L-Terme,
weshalb der Individuenbereich von AT leer ist. Da wir von Strukturen fordern,
dass deren Individuenbereich nicht leer ist, ist in diesem Fall AT keine L-Struktur.
Andernfalls ist AT jedoch eine wohldefinierte L-Struktur:
LEMMA 3. Falls die Sprache L zumindest eine Konstante besitzt (d.h. K 6= ∅), so
ist AT eine wohldefinierte L-Struktur, und es gilt
(∗) ∀ t ∈ KL : t AT = t
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Beweis von Lemma 3
LEMMA 3. Falls die Sprache L zumindest eine Konstante besitzt (d.h. K 6= ∅), so
ist AT eine wohldefinierte L-Struktur, und es gilt
(∗) ∀ t ∈ KL : t AT = t
Aus K 6= ∅ folgt, dass der Individuenbereich KT von AT nicht leer ist. Weiter
sind die Individuen ckAT nach Lemma 1 wohldefiniert während die Relationen und
Funktionen RiAT und fjAT nach Lemma 2 wohldefiniert sind.
(∗) zeigt man durch Induktion nach dem Termaufbau:
1. t = ck . Dann gilt: t AT = ckAT = ck = t
2. t = fj (t1 , . . . , tmj ). Dann gilt:
AT
t AT = fjAT (t1AT , . . . , tm
) =I.V. fjAT (t1 , . . . , tmj ) =Def. f AT fj (t1 , . . . , fmj ) = t
j
j
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Lemma über Termmodelle
Wir beobachten als nächstes, dass in der Termstruktur AT die aus T beweisbaren
atomaren Sätze gelten. Wir werden allerdings auch sehen, dass - ohne weitere
Anforderungen an T - dies i.a. nicht für alle Sätze gilt. AT ist i.a. also kein
Modell von T .
LEMMA 4 (LEMMA ÜBER TERMMODELLE). Sei K 6= ∅. Dann gilt für atomare
L-Sätze σ
(∗∗) AT σ ⇔ T ` σ
Zum Beweis von (∗∗) genügt es die Fälle σ ≡ Ri (t1 , . . . , tni ) und σ ≡ t = t 0 zu
betrachten, da jeder atomare Satz eine dieser beiden Gestalten hat.
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Lemma über Termmodelle: Beweis
BEHAUPTUNG: Für atomares σ gilt: (∗∗) AT σ ⇔ T ` σ
1. σ ≡ Ri (t1 , . . . , tni ).
AT σ
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
AT Ri (t1 , . . . , tni )
(t1AT , . . . , tnAi T ) ∈ RiAT
(t1 , . . . , tni ) ∈ RiAT
T ` Ri (t1 , . . . , tni )
T `σ
(Wahl von σ)
(Definition von )
(Lemma 3)
(Definition von RiAT )
(Wahl von σ)
2. σ ≡ t = t 0 .
AT σ
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⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
AT t = t 0
t AT = (t 0 )AT
t = t0
T ` t = t0
T `σ
(Wahl von σ)
(Definition von )
(Lemma 3)
(Definition von t)
(Wahl von σ)
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Nichtfortsetzbarkeit des Lemmas über Termmodelle auf
beliebige Sätze
Dass das Lemma über Termmodelle i.a. nicht für beliebige Sätze gilt - und daher
AT i.a. kein Modell von T ist -, zeigt folgendes Beispiel:
BEISPIEL 1. Sei L = L(≤; 0) die Sprache der linearen Ordnungen mit kleinstem
Element. Die Modelle der L-Theorie T = (L, Σ) mit
Σ = {σlin , ∀x(0 ≤ x), ∀x∃y (x < y )}
(wobei σlin die Konjunktion der Axiome der linearen Ordnungen ist (s. früheres
Beispiel), und wir wie üblich x ≤ y ∧ x 6= y durch x < y abgekürzt haben) sind
dann gerade die linearen Ordnungen mit kleinstem aber ohne größtem Element.
Insbesondere sind also alle Modelle von T unendlich.
Die Termstruktur AT von T besitzt dagegen nur ein Element, nämlich 0, ist also
kein Modell von T . Ein Beispiel für einen Satz, der aus T beweisbar ist aber in
AT nicht gilt, ist der Satz ∃x∃y (x 6= y ).
(Ein ähnliches Gegenbeispiel, bei dem die Termstruktur unendlich ist, wird in den
Übungen behandelt.)
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Zusätzliche Anforderungen an T , die AT zum Modell von
T machen
Damit die Bedingung (∗∗) aus dem Lemma über Termstrukturen für alle Sätze σ
gilt und daher AT ein Modell von T ist, genügt es folgende Anforderung an die
Theorie T zu stellen:
T ist vollständig, d.h. für jeden L-Satz σ gilt T ` σ oder T ` ¬σ.
Dies garantiert, dass die Sätze, für die (∗∗) gilt, gegen die Junktoren ¬ und
∨ abgeschlossen sind.
T ist eine Henkin-Theorie, d.h. zu jedem Existenzsatz σ ≡ ∃xϕ gibt es einen
konstanten Term tσ , sodass T ` ∃xϕ → ϕ[tσ /x] gilt.
Dies garantiert, dass (∗∗) auch für Existenzsätze gilt.
Im nächsten Abschnitt stellen wir diesen Sachverhalt detailliert dar.
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3.7.3 Vollständige Henkin-Theorien und der Satz über
Termmodelle
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Vollständige Theorien
DEFINITION. Eine L-Theorie T = (L, Σ) ist (syntaktisch) vollständig, falls für
jeden L-Satz σ
T ` σ oder T ` ¬σ
gilt.
Ist die Theorie T konsistent und vollständig, so gilt also für jeden L-Satz σ
entweder T ` σ oder T ` ¬σ
Für konsistentes und vollständiges T ist der deduktive Abschluss C` (T ) daher
eine maximale konsistente Menge (d.h. nimmt man zu C` (T ) einen Satz
σ 6∈ C` (T ) hinzu, so ist C` (T ) ∪ {σ} inkonsistent). Man nennt daher konsistente
und vollständige Theorien auch maximal konsistent.
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Henkin-Theorien
DEFINITION. Eine L-Theorie T = (L, Σ) ist eine Henkin-Theorie, falls es für
jeden L-Existenzsatz ∃xϕ einen konstanten L-Term t gibt, mit
(+) T ` ∃xϕ → ϕ[t/x]
gibt.
Mit dem Deduktionstheorem folgt, dass, wenn man in einer Henkin-Theorie eine
Existenzsaussage ∃xϕ beweisen kann, so kann man auch eine Instanz ϕ[t/x] von
ϕ beweisen, d.h. einen “Zeugen” t für die Aussage finden.
Weiter beachte man, dass
T ` ϕ[t/x] → ∃xϕ
für alle Theorien T gilt, da dies gerade ein Substitutionsaxiom vom Typ S1 ist.
Mit AL folgt daher, dass (+) äquivalent zu
(+0 ) T ` ∃xϕ ↔ ϕ[t/x]
ist.
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Henkin-Theorien: Beispiele
BEISPIEL 2. Die Theorie T = (L, Σ) der linearen Ordnungen mit kleinstem aber
ohne größtem Element aus Beispiel 1 ist keine Henkin-Theorie.
Hierzu kann man die Formel ϕ(x) ≡ 0 < x betrachten. Es gilt dann
T ` ∃x(0 < x). Es gibt aber keinen konstanten Term t mit T ` 0 < t, da 0 der
einzige konstante L-Term ist und T 6` 0 < 0 gilt.
BEISPIEL 3. Ein Beispiel einer konsistenten (und vollständigen) Henkin-Theorie
ist die Theorie T = Th(N ) der Arithmetik N = (N; ≤; +, ·; 0, 1).
Gilt nämlich T ` ∃xϕ und damit N ∃xϕ, so gibt es eine natürliche Zahl n mit
N ϕ[n]. Da jede natürliche Zahl n durch den konstanten Term n (mit 0 = 0
and n + 1 = n + 1) dargestellt wird, folgt N ϕ[n/x] und damit T ` ϕ[n/x].
Übung: Die Theorie Z = (Z; ≤; +, ·; 0, 1) ist dagegen keine Henkin-Theorie
(warum?). Wie lässt sich die Struktur Z durch Hinzunahme einer geeigneten
Grundfunktion so erweitern, dass die zugehörige Theorie eine Henkin-Theorie
wird?
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Henkin-Theorien: Beispiele
BEISPIEL 4. Die Argumentation in Beispiel 3 lässt sich wie folgt verallgemeinern:
Ist A eine L-Struktur, sodass jedes Individum a von einem konstanten L-Term t
dargestellt wird (d.h. a = t A ), so ist die Theorie Th(A) eine Henkin-Theorie.
Da in der Termstruktur AT einer konsistenten Theorie T jedes Individuum durch
einen konstanten Term dargestellt wird (nämlich t durch t), ist also Th(AT ) eine
Henkin-Theorie.
Dies zeigt, dass die Bedingung (∗∗) im Lemma über Termmodelle nur dann für
alle σ gelten kann, wenn T eine Henkin-Theorie ist. (NB: Dass (∗∗) für alle σ
gilt, besagt gerade, dass C` (T ) = Th(AT ).)
Da die Theorie jeder Struktur vollständig ist, kann man weiter folgern, dass eine
konsistente Theorie T , für die (∗∗) für alle σ gilt, eine vollständige
Henkin-Theorie sein muss.
Wir werden nun zeigen, dass die Umkehrung ebenfalls gilt.
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Satz über Termmodelle
SATZ ÜBER TERMMODELLE. Sei T = (L, Σ) konsistent, vollständig und eine
Henkin-Theorie. Dann gilt für alle L-Sätze σ
(∗∗) AT σ ⇔ T ` σ
Insbesondere ist AT ein Modell von T .
Der Nachweis von (∗∗) erfolgt durch Induktion nach dem Rang von σ.
Man beachte hierbei, dass für eine Henkin-Theorie T = (L, Σ) die Sprache L
zumindest einen konstanten Term - und damit zumindest eine Konstante besitzen muss (nämlich z.B. einen “Zeugen” für den beweisbaren Satz
∃x(x = x)).
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Satz über Termmodelle: Beweis
Nachweis von (∗∗) AT σ ⇔ T ` σ durch Ind(ρ(σ)):
1. σ atomar.
Dann folgt die Behauptung aus dem Lemma über Termmodelle.
2. σ ≡ ¬τ .
AT σ
⇔ AT ¬τ
⇔ AT 6 τ
⇔ T `
6 τ
⇔ T ` ¬τ
⇔ T `σ
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(Wahl von σ)
(Definition von )
(I.V)
(“⇒”: T vollständig
“⇐”: T konsistent)
(Wahl von σ)
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Satz über Termmodelle: Beweis (Fortsetzung)
Nachweis von (∗∗) AT σ ⇔ T ` σ durch Ind(ρ(σ)):
3. σ ≡ σ1 ∨ σ2 .
AT σ
“⇒”:
“⇐”:
1.
2.
⇔ A T σ1 ∨ σ2
⇔ AT σ1 oder AT σ2
⇔ T ` σ1 oder T ` σ2
⇔ T ` σ1 ∨ σ2
⇔ T `σ
(Wahl von σ)
(Definition von )
(I.V)
(s.u.)
(Wahl von σ)
T ` σ1 oder T ` σ2
T ` σ1 ∨ σ2
Annahme
AL:1
Dies zeigt man durch Kontraposition:
T 6` σ1 und T 6` σ2
⇒ T ` ¬σ1 und T ` ¬σ2
⇒ T ` ¬(σ1 ∨ σ2 )
⇒ T 6` σ1 ∨ σ2
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
Annahme
T vollständig
AL
T konsistent
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Satz über Termmodelle: Beweis (Fortsetzung und Ende)
Nachweis von (∗∗) AT σ ⇔ T ` σ durch Ind(ρ(σ)):
4. σ ≡ ∃xϕ.
“⇒:”
AT σ
“⇐:” T ` σ
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⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
AT ∃xϕ
Wahl von σ
∃ a ∈ |AT | : AT ϕ[a] Definition von ∃ t ∈ KL : AT ϕ[ t ] |AT | = KT
∃ t ∈ KL : AT ϕ[t/x] t AT = t; Def. von ∃ t ∈ KL : T ` ϕ[t/x]
I.V.
T ` ∃xϕ
S1, AL
T `σ
Wahl von σ
⇒
⇒
T ` ∃xϕ
T ` ∃xϕ und
T ` ∃xϕ → ϕ[t/x]
⇒ T ` ϕ[t/x]
⇒ AT ϕ[t/x]
⇒ AT ϕ[t AT ]
⇒ AT ∃xϕ
⇒ AT σ
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
Wahl von σ
T Henkin-Theorie
(t ∈ KL geeignet)
AL
I.V.
Definition von Definition von Wahl von σ
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Weiteres Vorgehen
Wegen des Satzes über Termmodelle genügt es also zu zeigen, dass jede
konsistente Theorie T eine konsistente Erweiterung T 0 besitzt, die vollständig ist
und die eine Henkin-Theorie ist.
Wir zeigen dies in den folgenden beiden Unterabschnitten in zwei Schritten:
Wir geben zunächst eine Vervollständigung TV von T an (Satz von
Lindenbaum)
und zeigen dann, dass jede konsistente Theorie T eine konsistente
Henkin-Erweiterung TH besitzt (Satz über Henkin-Erweiterungen).
Auf die Vervollständigung (TH )V der Henkin-Erweiterung TH von T wenden wir
dann den Satz über Termmodelle an, um ein Modell von (TH )V und damit auch
das gewünschte Modell von T zu erhalten.
Dabei stimmt der erste Schritt im Wesentlichen mit der Vorgehensweise in der
Aussagenlogik überein. (D.h.: Der Beweis des Satzes von Lindenbaum für PL ist
eine einfache Variante des Beweises des Satzes von Lindenbaum für AL.)
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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3.7.4 Vervollständigung konsistenter Theorien:
Der Satz von Lindenbaum
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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Der Satz von Lindenbaum
SATZ VON LINDENBAUM (FÜR PL). Sei T = (L, Σ) eine konsistente
L-Theorie, wobei die Sprache L abzählbar sei. Dann gibt es eine vollständige
und konsistente L-Theorie TV = (L, ΣV ) mit Σ ⊆ ΣV .
Für den Beweis des Satzes halten wir eine Auflistung {σn : n ≥ 0} der L-Sätze
fest (die wegen der Abzählbarkeit von L existiert; siehe Übungen).
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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Beweis: Definition von ΣV
Definiere induktiv Erweiterungen Σn von Σ (n ≥ 0) durch
Σ0
:=
Σ
(
Σn+1
:=
Σn
Σn ∪ {¬σn }
falls Σn ` σn
sonst
und setzte
ΣV :=
[
Σn .
n≥0
Man beachte, dass
Σ = Σ0 ⊆ Σ1 ⊆ Σ2 ⊆ · · · ⊆ ΣV =
[
Σn
n≥0
und es daher zu jeder endlichen Teilmenge Σ0 von ΣV ein n ≥ 0 mit Σ0 ⊆ Σn gibt.
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Beweis: Eigenschaften von ΣV
(1) Σn ist konsistent.
Man zeigt dies durch Ind(n). Für n = 0 ist die Aussage trivial, da Σ nach
Annahme konsistent ist. Für n + 1 folgt die Aussage entweder direkt aus der
I.V. oder aus dem Lemma über den Zusammenhang zwischen Konsistenz
und Beweisbarkeit.
(2) ΣV ist konsistent.
Dies folgt aus der Finitheit von ` durch einen Widerspruchsbeweis wie folgt:
ΣV inkonsistent
ΣV ` σ & ΣV ` ¬σ
Σ0 ` σ & Σ0 ` ¬σ
Σn ` σ & Σn ` ¬σ
Σn inkonsistent
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Widerspruchsannahme
Char. d. Inkons. (LCK); für σ geeignet
für geeignetes endliches Σ0 ⊆ ΣV
(Endlichkeitssatz für `)
da Σ0 ⊆ Σn für n geeignet
LCK; Widerspruch zu (1)!
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Beweis: Eigenschaften von ΣV (Fortsetzung)
(3) ΣV vollständig.
Für jeden Satz σn gilt entweder Σn+1 ` σn oder Σn+1 ` ¬σn . Wegen
Σn+1 ⊆ ΣV folgt mit der Monotonie von `, dass auch ΣV ` σn oder
ΣV ` ¬σn gilt. Also ist ΣV vollständig.
Wegen Σ ⊆ ΣV folgt die Behauptung aus (2) und (3). q.e.d.
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3.7.5 Henkin-Erweiterungen konsistenter Theorien
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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Satz über Henkin-Erweiterungen
SATZ ÜBER HENKIN-ERWEITERUNGEN. Sei T = (L, Σ) eine Theorie über der
abzählbaren Sprache L. Es gibt eine Erweiterung TH = (LH , ΣH ) von T mit
folgenden Eigenschaften:
(i) TH ist eine Henkin-Theorie.
(ii) TH ist eine konservative Erweiterung von T .
(iii) LH ist abzählbar.
NB: Ist T konsistent, so ist TH wegen (ii) wiederum konsistent.
Zum Beweis des Satzes definieren wir zunächst die Henkin-Erweiterung
TH = (LH , ΣH ) von T = (L, Σ) und zeigen dann, dass TH die gewünschten
Eigenschaften hat.
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Beweis: Definition der Henkin-Erweiterung TH
Die Henkin-Erweiterung TH = (LH , ΣH ) von T = (L, Σ) wird induktiv mit Hilfe
der 1-Schritt-Henkin-Erweiterung T ∗ = (L∗ , Σ∗ ) einer Theorie T = (L, Σ)
definiert.
Hierbei ist für gegebenes T = (L, Σ) die 1-Schritt-Henkin-Erweiterung
T ∗ = (L∗ , Σ∗ ) definiert durch:
L∗ = L ∪ {cσ : σ L-Satz der Gestalt σ ≡ ∃xϕ}
D.h. die Sprache L∗ enthält neben den nichtlogischen Zeichen von L für
jeden Existenzsatz ∃xϕ der Sprache L eine neue Konstante c∃xϕ .
Σ∗ = Σ ∪ {∃xϕ → ϕ[c∃xϕ /x] : ∃xϕ L-Satz}
Man nennt hierbei c∃xϕ die Henkin-Konstante und ∃xϕ → ϕ[c∃xϕ /x] das
Henkin-Axiom für den L-Existenzsatz ∃xϕ.
Σ∗ besteht also aus der Axiomenmenge Σ von L und den Henkin-Axiomen
für L.
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Beweis: Definition der Henkin-Erweiterung TH
Man beachte, dass die 1-Schritt-Henkin-Erweiterungen T ∗ = (L∗ , Σ∗ )
vonT = (L, Σ) i.a. noch keine Henkin-Theorie ist: T ∗ enthält zwar für jeden
Existenzsatz über L ein Henkin-Axiom; dies gilt aber nicht notwendigerweise für
die neu hinzugekommenen Existenzsätze der erweiterten Sprache L∗ .
Durch Iteration der 1-Schritt-Henkin-Erweiterung erhalten wir jedoch die
gewünschte Henkin-Erweiterung TH . Hierzu definieren wir zunächst die Theorien
Tn = (Ln , Σn ) durch Ind(n)
T0 = (L0 , Σ0 ) := T
Tn+1 = (Ln+1 , Σn+1 ) := (Tn )∗
(d.h. L0 = L und Σ0 = Σ)
(d.h. Ln+1 = (Ln )∗ und Σn+1 = (Σn )∗ )
und setzen dann
TH = (LH , ΣH ) wobei LH :=
[
Ln und ΣH :=
n≥0
[
Σn
n≥0
NB: Offensichtlich gilt:
S
L = L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ · · · n≥0 Ln = LH
S
Σ = Σ0 ⊆ Σ1 ⊆ Σ2 ⊆ · · · n≥0 Σn = ΣH
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Beweis: Nachweis der Eigenschaften (i) und (iii) von TH
Nachweis von (i):
I Sei σ ≡ ∃xϕ ein L -Existenzsatz. Es genügt zu zeigen, dass Σ
H
H ein
Henkin-AxiomS∃xϕ → ϕ[c/x] für σ enthält.
I Wegen LH =
n≥0 Ln gibt es ein (kleinstes) n, sodass σ ein Ln -Satz
ist.
∗
I Wegen Σ
n+1 = (Σn ) enthält Σn+1 dann aber ein Henkin-Axiom
∃xϕ → ϕ[c/x] für σ.
I Die Behauptung folgt hieraus mit Σ
n+1 ⊆ ΣH .
Nachweis von (iii):
I Da die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wiederum
S
abzählbar ist und da LH = n≥0 Ln , genügt es zu zeigen, dass die
Sprachen Ln abzählbar sind.
I Dies zeigt man durch Ind(n):
F
F
Für n = 0 folgt dies aus der Annahme, dass L abzählbar ist, da L0 = L.
Für n + 1 folgt dies aus der I.V.: Wegen der Abzählbarkeit von Ln gibt
es nur abzählbar viele Ln -Sätze und damit besteht Ln+1 aus den
abzählbar vielen nichtlogischen Zeichen von Ln zusammen mit den
abzählbar vielen neuen Henkin-Konstanten für Ln .
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH
Nachweis von (ii):
Da nach dem Satz über reinsprachliche Erweiterungen die Erweiterung
T 0 = (LH , Σ) von T = (L, Σ) konservativ ist, genügt es für alle L-Sätze σ
TH ` σ ⇒ T 0 ` σ
zu zeigen.
I
I
Sei also im Folgenden σ ein L-Satz mit TH ` σ.
Zu zeigen: T 0 ` σ (d.h. es gibt einen Beweis von σ aus Σ, wobei in
dem Beweis nicht nur Formeln aus L sondern allgemein Formeln aus
LH vorkommen dürfen).
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Forts.)
ANNAHME: σ L-Satz mit TH ` σ.
ZU ZEIGEN: T 0 ` σ
Wegen der Finitheit von ` folgt aus der Annahme, dass es eine endliche
Teiltheorie T 00 von TH mit T 00 ` σ gibt.
Nach Definition von TH gibt es daher endlich viele Henkin-Axiome
τi ≡ ∃xi ϕi → ϕi [ci /xi ] (i=1, . . . n)
mit Henkin-Konstanten ci ≡ c∃xi ϕi wobei σi ≡ ∃xi ϕi ein LH -Satz ist,
sodass
(1) T 0 ∪ {τ1 , . . . , τn } ` σ
gilt.
S
Da LH = n≥0 Ln gilt, können wir also mi minimal wählen, sodass σi ein
Lmi -Satz ist.
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Forts.)
Für das minimale mi , sodass σi ein Lmi -Satz ist, können wir - durch
eventuelles Umnummerieren - o.B.d.A. davon annehmen, dass
m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn gilt.
Nach Definition der Sprachen Ln0 ist dann mi minimal, sodass τi ein
Lmi +1 -Satz ist. Die Henkin-Konstante ci kommt daher in keinem Lmi -Satz
und keinem Axiom aus Σmi +1 mit Ausnahme von τi vor, da die Konstante ci
neu zu Lmi +1 hinzugefügt wird und da für verschiedene Lmi -Existenzsätze
verschiedene Henkin-Konstanten in den zughörigen Henkin-Axiomen
eingeführt werden.
Insbesondere kommt die Konstante ci daher in keinem der folgenden Sätze
vor: τj für j > i (wegen mj ≤ mi ), σi (da Lmi -Satz) und σ (da
L(= L0 )-Satz).
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Forts.)
Da aus (1) mit dem Deduktionstheorem
(2) T 0 ` τ1 ∧ · · · ∧ τn → σ
folgt, genügt es weiterhin zum Nachweis von T 0 ` σ zu zeigen, dass
(3) T 0 ` τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ
gilt. Die Behauptung folgt dann durch Induktion. (Nämlich analog wie sich
τ1 eliminieren lässt, lässt sich im nächsten Schritt τ2 eliminieren usw. bis nur
noch σ übrig bleibt.)
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Forts.)
Der Beweis von (3) aus (2) ist wie folgt:
1.
2.
τ1 ∧ · · · ∧ τn → σ
Annahme (2)
τ1 → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ)
AL: 1.
≡ (∃x1 ϕ1 → ϕ1 [c1 /x1 ]) → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ)
≡: σ 0
Hierbei kommt (wie oben beobachtet) die Konstante ci in σ 0 nur in der
Teilformel ϕ1 [c1 /x1 ] nicht aber in den anderen Teilformeln vor.
Für eine Variable y , die in σ 0 nicht vorkommt, gilt daher:
F
F
c1 kommt nicht in σ 00 :≡ (∃x1 ϕ1 → ϕ1 [y /x1 ]) → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ) vor
σ 0 ≡ σ 00 [c1 /y ]
Es folgt mit dem Korollar 2 zum Satz über rein sprachliche
Erweiterungen
3. ∀ y ((∃x1 ϕ1 → ϕ1 [y /x1 ]) → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ))
und hieraus mit (∀32 )
4. (∃x1 ϕ1 → ϕ1 [y /x1 ]) → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ)
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Forts.)
(Fortsetzung des Beweises von (3) aus (2):)
Mit (∃1) folgt aus 4.:
5. ∃y (∃x1 ϕ1 → ϕ1 [y /x1 ]) → (τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ)
Wie wir noch zeigen werden (siehe den folgenden Hilfssatz 2), ist der
Satz
6. ∃y (∃x1 ϕ1 → ϕ1 [y /x1 ])
ein zulässiges Axiom. Aus 5. und 6. folgt aber mit einem aussagenlog.
Schluss
7.
τ2 ∧ · · · ∧ τn → σ
Hiermit ist (3) aus (2) hergeleitet.
Zum Abschluss des Beweises von (ii) bleibt noch die Zulässigkeit des Satzes
aus 6. nachzutragen. Dies geschieht in dem zweiten der folgenden Hilfssätze.
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Beweis: Nachweis der Eigenschaft (ii) von TH (Ende)
HILFSSATZ 1. ` γ ∨ ∃xδ → ∃x(γ ∨ δ)
BEWEIS.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
γ →γ∨δ
γ ∨ δ → ∃x(γ ∨ δ)
γ → ∃x(γ ∨ δ)
δ →γ∨δ
∃xδ → ∃x(γ ∨ δ)
γ ∨ ∃xδ → ∃x(γ ∨ δ)
AL
S1 (hierbei: t ≡ x substituierbar)
AL: 1,2
AL
D∃ : 4
AL : 3, 5
HILFSSATZ 2. ` ∃y (∃xϕ → ϕ[y /x]) falls y 6∈ V (ϕ)
BEWEIS.
1.
2.
3.
4.
¬∃xϕ ∨ ∃xϕ
AL
¬∃xϕ ∨ ∃y ϕ[y /x]
U:1 (NB. y 6∈ V (ϕ))
¬∃xϕ ∨ ∃y ϕ[y /x] → ∃y (¬∃xϕ ∨ ϕ[y /x]) HS 1
∃y (¬∃xϕ ∨ ϕ[y /x])
AL: 2,3
Hiermit ist der Beweis von (ii) und damit der Beweis des Satzes abgeschlossen.
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3.7.6 Abschluss des Beweises
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Beweis des Erfüllbarkeitslemmas: Zusammenfassung
Hiermit haben wir alle für den Beweis des
ERFÜLLBARKEITSLEMMA (MODELLEXISTENZSATZ, EL). Sei T = (L, Σ)
eine konsistente Theorie. Dann ist T erfüllbar, d.h. es gibt eine L-Struktur A, die
Modell von T ist: A T .
(für abzählbares L) erforderlichen Konzepte und Ergebnisse zur Verfügung:
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Beweis des Erfüllbarkeitslemmas: Zusammenfassung
Nach dem Satz über Henkin-Erweiterungen gibt es eine konsistente
Erweiterung TH = (LH , ΣH ) von T = (L, Σ), die eine Henkin-Theorie ist
und deren Sprache LH abzählbar ist.
Nach dem Satz von Lindenbaum gibt es dann eine vollständige konsistente
Erweiterung (TH )V = (LH , (ΣH )V ) von TH (und damit von T ). Da die
Erweiterung einer Henkin-Theorie über derselben Sprache wiederum eine
Henkin-Theorie ist, folgt: (TH )V = (LH , (ΣH )V ) ist eine Erweiterung von T ,
die konsistent, vollständig und eine Henkin-Theorie ist.
Nach dem Satz über Termmodelle gilt daher für die Termstruktur A(TH )V
von (TH )V :
(∗) Für alle LH -Sätze σ: (TH )V ` σ ⇔ A(TH )V σ
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Beweis des Erfüllbarkeitslemmas: Zusammenfassung
Da in der Einschränkung A L einer L0 -Struktur A auf die Sprache L
(wobei L ⊆ L0 ) diesselben L-Sätze wie in A gelten, folgt hieraus für jeden
L-Satz σ:
T `σ
⇒ (TH )V ` σ
(da (TH )V Erweiterung von T )
⇒
A(TH )V σ
(wegen (*) da L ⊆ LH )
⇒
A(TH )V L σ
Die L-Struktur A(TH )V L ist daher ein Modell von T .
q.e.d.
Hiermit ist der Beweis des Erfüllbarkeitslemmas und damit auch der Beweis des
Vollständigkeitssatzes abgeschlossen.
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 3)
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