Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 12
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Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 12 – 25.01.2013
Themen Gruppen, Untergruppen, Faktorgruppen, kleiner Satz von Fermat.
Literatur Material zu elementarer Gruppentheorie findet sich in nahezu allen
Büchern mit den Titeln Mathematik für Informatiker“, Diskrete Mathematik“
”
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oder Lineare Algebra“, z. B. [4, 3.2-3.4], [1, 3.1,3.4], [3, 4.3,5.1] oder [2, 1.2].
”
[1] Denecke, Klaus: Algebra und Diskrete Mathematik für Informatiker. 1. Auflage.
Vieweg, 2003. – ISBN 3519027496
[2] Fischer, Gerd: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Teubner,
2010 (Grundkurs Mathematik). – ISBN 3834809969
[3] Hartmann, Peter: Mathematik für Informatiker. 4. überarb. Auflage. Vieweg, 2006.
– ISBN 3834800961
[4] Teschl, Gerald ; Teschl, Susanne: Mathematik für Informatiker 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, 2010. – ISBN 3540774319
Aufgaben
1. Gruppen
(a) Zeigen Sie, dass jede zyklische Gruppe abelsch (kommutativ) ist.
(b) Ist (R, +) zyklisch?
(c) Ist ({M ∈ Qn×n : detM 6= 0}, ·) zyklisch?
(d) Welche Ordnungen haben die Elemente [8] und [5] der Gruppe (Z/12Z, +)?
2. Untergruppen
Finden Sie alle Untergruppen von G = {e, a, b, c, d, f } mit der Verknüpfung:
·
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
b
e
f
c
d
b
b
e
a
d
f
c
c
c
d
f
e
a
b
d
d
f
c
b
e
a
f
f
c
d
a
b
e
3. Satz von Lagrange
Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe von G und g1 H sowie g2 H Nebenklassen
von H. Zeigen Sie, dass die Abbildung α : g1 H → g2 H; g1 h 7→ g2 h wohldefiniert
und bijektiv ist.
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