6.4.4 Vickrey-Clarke-Groves

6.4.4 Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismen
Klasse von Aufdeckungsmechanismen für
quasilineare Nutzenfunktionen.
Definition 6.26:
Nutzenfunktion von Spieler i sei ui ((a, p), xi ) = vi (a, xi ) + pi .
Sei x ′ = (x1′ , . . . , xn′ ) Vektor der Deklarationen der Spieler.
Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus (VCG) definiert durch:
• Auswahlfunktion:
n
X
∗ ′
a (x ) ∈ arg max
vi (a, xi′ ).
a∈A
i=1
• Auszahlungsfunktion:
Für beliebige feste Funktionen h1 , . . . , hn : Rn−1 → R:
X
′
pi (x ′ ) :=
vj (a∗ , xj′ ) + hi (x−i
), i = 1, . . . , n.
j6=i
660
Satz 6.27 (Groves 1973):
VCG-Mechanismen sind wahrheitsaufdeckend und
allokationseffizient.
Beweis:
Allokationseffizienz klar, wenn wahrheitsaufdeckend,
da Auswahlfunktion gerade passende Zielfunktion maximiert.
Zeige also, dass Mechanismus wahrheitsaufdeckend.
Sei x = (x1 , . . . , xn ) Vektor der (wahren) privaten Eingaben.
Zu zeigen: Für Spieler i ∈ {1, . . . , n} ist Deklaration von
xi′ = xi dominante Strategie.
661
Nutzen von Spieler i für Ausgabe (a∗ (x ′ ), p(x ′ )):
ui ((a∗ (x ′ ), p(x ′ )), xi ) = vi (a∗ (x ′ ), xi ) + pi (x ′ )
X
′
= vi (a∗ (x ′ ), xi ) +
vj (a∗ (x ′ ), xj′ ) + hi (x−i
).
j6=i
xi′ ,
′ ) ignorieren,
Will
sodass dies maximal. Dafür hi (x−i
da unabhängig von xi′ .
X
Zeige: vi (a∗ (x ′ ), xi ) +
vj (a∗ (x ′ ), xj′ ) maximal für xi′ = xi .
j6=i
Ausdruck hängt nur über a∗ (x ′ ) von xi′ ab.
Für xi′ = xi wird aber gerade a∗ so gewählt, dass obiger
Ausdruck maximal wird, denn gemäß Definition:
X
′
a∗ (xi , x−i
vj (a, xj′ ) .
) ∈ arg max vi (a, xi ) +
a∈A
j6=i
662
Clarke-Mechanismen:
Definition 6.28:
Clarke-Mechanismus ist VCG-Mechanismus mit
X
′
′
hi (x−i
) := −
vj (a∗−i (x−i
), xj′ ),
j6=i
wobei
′
a∗−i (x−i
) ∈ arg max
a∈A
X
′
vj (a, x−i
),
j6=i
d. h. eine optimale Alternative für Problem ohne Spieler i.
Lösung für öffentliches Projekt, Vickrey-Auktion und Routing.
Nur Routing genauer, Rest selbst überlegen.
663
Routing-Mechanismus als Clarke-Mechanismus:
• Alternativen a ∈ A hier s-t-Wege.
• Falls s-t-Weg a gewählt: Wert für Spieler e ∈ E:
(−ce ) · [e ∈ a] (negativ, da Kosten).
• Sei a∗ kürzester s-t-Weg für alle Kanten.
Summe der deklarierten Werte für Spieler e′ 6 = e:
X
(−ce′ ′ )[e′ ∈ a∗ ] = −dG|ce =0 .
•
e ′ 6=e
Sei a∗−e kürzester s-t-Weg ohne e.
X
′
he (c−e
) = −
(−ce′ ′ )[e′ ∈ a∗−e ]
e ′ 6=e
= dG|ce =∞ .
Auszahlung des früheren Mechanismus ist gerade
X
′
pe = dG|ce =∞ − dG|ce =0 =
(−ce′ ′ )[e′ ∈ a∗ ] + he (c−e
).
e ′ 6=e
664
6.4.5 Zusatzeigenschaften von Mechanismen
Eindeutigkeit von Gleichgewichten:
Im Allgemeinen möglich:
Schwach dominante Strategientupel x ′ , x ′′ ,
Zielfunktion von x ′ implementiert, von x ′′ nicht.
Beispiel:
• Zwei Spieler, A = X1 = X2 = {0, 1},
vi (a, xi ) = 1 + (a − 1)xi , i = 1, 2.
f (x, a) := a(2 − x1 − x2 ).
• Mechanismus:
a∗ (x) = 1, p1 (x) = p2 (x) = 0.
• Für x = (0, 0): ui (a∗ (x ′ ), x ′ ) = vi (1, x ′ ) = 1, i = 1, 2.
i
i
Damit xi′ = 0 und xi′ = 1 schwach dominante Strategien,
xi′ = 1 (Lüge) führt zu suboptimalem f -Wert.
665
Eindeutigkeit von Gleichgewichten (Forts.):
• Falls es für alle Spieler strikt dominante Strategie gibt,
d. h. Nutzen für dominante Strategie immer echt größer
als für alle anderen, dann resultierendes Strategientupel
eindeutiges Gleichgewicht.
• Mehrfache Gleichgewichte genau dann, wenn mindestens
ein Spieler denselben Nutzen für verschiedene schwach
dominante Strategien hat. Nimm an, dass Spieler diese
Indifferenz zu unseren Gunsten auflöst.
Für viele wichtige Mechanismen Eindeutigkeit gegeben.
666
Budgetbalancierung:
Erinnerung: Für beliebige x:
n
P
pi (x) = 0.
i=1
Nenne Wertefunktionen der Spieler allgemein, falls jeweils
durch Wahl der privaten Eingabe alle möglichen Funktionen
A → R realisierbar.
Satz 6.29 (Hurwicz 1975, Green und Laffont 1977):
Es gibt keinen Mechanismus für Spieler mit allgemeinen
Wertefunktionen, der eine Zielfunktion in dominanten
Strategien implementiert, die sowohl allokationseffizient als
auch budgetbalanciert ist.
Damit VCG-Mechanismen im Allgemeinen
nicht budgetbalanciert!
667
Schwache Budgetbalancierung?
Erinnerung: Für beliebige x:
n
P
pi (x) ≤ 0.
i=1
Definition 6.30:
Wertefunktionen vi , i = 1, . . . , n, der Spieler heißen frei
von Einzelspieler-Effekten, wenn für alle Spieler
P i gilt: Für
jedes x und jede Lösung a∗ (x) ∈ arg maxa∈A j vj (a, xj ) für
das Szenario mit allen Spielern gibt es eine Lösung a∗−i (x−i )
für das Szenario ohne Spieler i, sodass
X
X
vj (a∗ (x), xj ).
vj (a∗−i , xj ) ≥
j6=i
j6=i
Intuitiv: Entfernen von Spieler i → restliche Spieler können
immer noch mindestens so hohen Gesamtwert erzielen wie
in ursprünglichem Szenario.
668
Proposition 6.31:
Falls die Wertefunktionen der Spieler frei von EinzelspielerEffekten sind, sind Clarke-Mechanismen schwach budgetbalanciert.
Beweis:
Definition von pi und hi :
X
X
pi =
vj (a∗ (x), xj ) −
vj (a∗−i (x−i ), xj ).
j6=i
j6=i
Keine Einzelspieler-Effekte: Dies ist für alle i nichtpositiv.
Also insbesondere Summe nichtpositiv.
Für umgekehrte Ungleichung in Definition 6.30 passend für
nichtnegative (Belohnungs-)Zahlungen an Spieler, dann
n
P
pi (x) ≥ 0.
i=1
669
Beispiele:
• Öffentliches Projekt:
– Menge der zur Verfügung stehenden Alternativen hängt
nicht von Vorhandensein von Spieler i ab.
– Selbe Alternative wie mit Spieler i liefert für restliche
Spieler denselben Gesamtwert.
• Auktionen:
Voraussetzung: Nur Käufer und Entsorgen von Objekten
sei umsonst.
Restliche Spieler werfen Objekte, die Spieler i erhalten hat
in optimaler Gesamtlösung in den Mülleimer und erhalten
eine mindestens so gute Lösung für das reduzierte
Problem.
670
Aber: Trotz schwacher Budgetbalancierung möglich:
• Bei Nettozahlung durch Spieler Gesamtzahlung 0.
Z. B. bei kombinatorischen Auktionen problematisch.
• Bei Belohnungen Gesamtzahlung deutlich größer 0.
Problem der Überzahlung.
Beispiel Routing:
Schwache Budgetbalancierung heißt hier
P
Tatsächlich im Allgemeinen i pi ≫ 0.
s
i
pi ≥ 0.
Zahle Kante ei auf unterem Weg
e / 2ℓ
t
dG|ce =∞ − dG|ce =0 = ℓ + 1,
i
e1 / 1 e2 / 1
P
eℓ / 1
i
insgesamt für kürzesten Weg
ℓ · (ℓ + 1) = 2(ℓ2 ).
671
6.4.6 Anwendung: Multicast-Routing
Arbeit: Feigenbaum, Papadimitriou, Shenker (2000).
Szenario:
Übertragung großer Datenmenge aus einer Quelle an viele
verschiedene Empfänger im Internet, z. B. für Live-Videos.
• Mit üblichem Routing: Muss für jeden Empfänger einzeln
Daten von der Quelle aus schicken.
• Multicast-Routing: Sende Daten nur einmal, Duplizierung
durch Router an Verzweigungen.
Kostenverteilung?
Hier: Staatliche Lösung“.
”
Infrastruktur gehört Staat, kann Defizite auffangen.
672
Netzstruktur:
T:
Datenquelle
• Universeller Baum T :
Baum mit Verbindungen von
der Datenquelle aus zu allen
potenziellen Empfängern.
• Potenzielle Empfänger sitzen
an Knoten des universellen
Baumes.
673
Netzstruktur:
T:
Datenquelle
• Universeller Baum T :
Baum mit Verbindungen von
der Datenquelle aus zu allen
potenziellen Empfängern.
• Potenzielle Empfänger sitzen
an Knoten des universellen
Baumes.
673
Netzstruktur:
T:
Datenquelle
• Übertragung an alle
Empfänger in Menge R:
Routing-Hardware konstruiert
minimalen Teilbaum T (R) von T ,
der Empfänger in R erreicht.
673
Netzstruktur:
T:
Datenquelle
• Übertragung an alle
Empfänger in Menge R:
Routing-Hardware konstruiert
minimalen Teilbaum T (R) von T ,
der Empfänger in R erreicht.
673
Netzstruktur:
Datenquelle
T:
2
1
1
3
1
1
1
1
Routing-Hardware konstruiert
minimalen Teilbaum T (R) von T ,
der Empfänger in R erreicht.
• Kantenmarkierung:
Kosten für Verbindungsleitungen (Links).
3
5
5
2
• Übertragung an alle
Empfänger in Menge R:
1
673
Netzstruktur:
Datenquelle
T:
2
1
1
3
1
1
1
1
Routing-Hardware konstruiert
minimalen Teilbaum T (R) von T ,
der Empfänger in R erreicht.
• Kantenmarkierung:
Kosten für Verbindungsleitungen (Links).
3
5
5
2
• Übertragung an alle
Empfänger in Menge R:
1
• Kosten für Baum T (R): c(R).
Im Beispiel: c(R) = 4.
673
Mechanismus-Anforderungen:
Ausgaben des Mechanismus: Für Benutzer i = 1, . . . , n:
• Entscheidung, ob Benutzer an Übertragung
angeschlossen wird: Ri = 1, falls ja; Ri = 0 sonst
(im Folgenden R als Vektor aus {0, 1}n oder Menge);
• Festlegung des Preises pi , den Benutzer i zahlen muss.
Nutzen von Spieler i für Ausgabe (R, p):
ui ((R, p), xi ) = xi Ri − pi .
wobei xi Bewertung von Benutzer i für Übertragung.
674
Mechanismus-Anforderungen (Forts.):
Globale Zielfunktion: Maximiere
X
f (x, R) :=
xi − c(R),
i∈R
Gesamtwert für Empfänger minus Kosten für Netzaufbau.
(Diskussion später.)
Will Mechanismus, der Zielfunktion wahrheitsaufdeckend
implementiert, zusätzlich:
• Keine Zahlungen an Benutzer (NPT): Für alle i: pi (x) ≥ 0.
• Individuelle Rationalität (IR):
Für alle i: ui ((R ∗ (x), p), xi ) ≥ 0.
• Der Kunde ist König (CS, customer sovereignty):
Jeder Benutzer wird bei hinreichend hohem Gebot
angeschlossen.
675
Der Grenzkosten-Mechanismus:
Deklarationsvektor sei x = (x1 , . . . , xn ).
• Welche Benutzer anschließen?
Wähle größte Menge R ∗ , die f (x, R ∗ ) maximiert.
Anschluss genau der Benutzer in R ∗ .
• Preise?
Benutzer i ∈ R ∗ zahlt Deklaration xi abzüglich Bonus,
misst seinen Beitrag zum Gesamtwert der Übertragung:
∗ ).
Bonusi (x) := f (x, R ∗ ) − f (x, R−i
∗ ∪ {i}:
Falls R ∗ = R−i
∗ ) (d. h. Grenzkosten für Anschluss).
Kosten c(R ∗ ) − c(R−i
676
Satz 6.32:
Der Grenzkosten-Mechanismus ist wahrheitsaufdeckend,
allokationseffizient und erfüllt (NPT), (IR) und (CS).
Beweisideen:
Wahrheitsaufdeckung: Darstellen als Clarke-Mechanismus,
dazu Kosten c(R) auf zusätzlichen Spieler 0 verbuchen.
Zusatzeigenschaften mit Eigenschaft der Kostenfunktion:
c(R1 ) + c(R2 ) ≥ c(R1 ∪ R2 ) (Übungsaufgabe). fqed
Moulin, Shenker (2001): Grenzkosten-Mechanismus ist der
einzige Mechanismus mit obigen Eigenschaften.
677
Verteilte Realisierung:
Phase 1:
Bottom-Up-Durchlauf durch universellen Baum:
• Für jeden Knoten u berechne
Wu (x) := xu − cu +
X
Wv (x),
Kinder v von u
mit Wv (x) ≥ 0
wobei xu Gesamtwert aller Empfänger an u,
cu Kosten für Link von u zu Elter von u
(bzw. cu = 0, falls u Wurzel).
• Setze vorläufig R ∗ := 1 für alle Benutzer i an Knoten u,
i
falls Wu (x) ≥ 0.
678
Beobachtungen:
• Falls Wu (x) ≥ 0: Wu (x) ist f -Wert des Teilbaumes
unterhalb (und inklusive) u. Der Spannbaum für die
Menge der anzuschließenden Benutzer enthält genau
die Knoten u mit Wu (x) ≥ 0.
• Für die Menge R ∗ in der Ausgabe des GrenzkostenMechanismus und einen Benutzer i an Knoten u gilt
Ri∗ (x) = 1 genau dann, wenn Wu (x) ≥ 0 für alle Knoten v
auf dem Weg von u zur Wurzel (inklusive v ).
Beweisidee: Induktion und Definition von R ∗ (größte
Menge, die f -Wert im jeweiligen Teilbaum maximiert).
679
Phase 2:
Top-Down-Durchlauf durch universellen Baum:
• Für jeden Knoten u berechne das Minimum Wumin (x) aller
Wv (x) über alle Knoten v auf dem Weg von der Wurzel
zu v (inklusive v ).
• Für jeden Knoten u und für alle Benutzer i an u:
Falls Wumin (x) < 0 setze Ri∗ := 0 und pi := 0. Sonst:
– Falls xi ≤ Wumin (x), setze pi := 0.
– Sonst (xi > Wumin (x)) setze pi := xi − Wumin (x).
Korrektheit mit Beobachtungen, falls Wumin (x) < 0:
Knoten u wird nicht angeschlossen, da nicht angeschlossener Knoten v auf dem Weg von u zur Wurzel existiert.
680
Korrektheit der Kostenberechnung:
1. Fall, xi ≤ Wumin (x):
Entfernen von Benutzer i: W -Werte der Knoten von u auf
dem Weg zur Wurzel fallen alle um genau xi , keiner wird
∗ = R ∗ , f (x, R ∗ ) − f (x, R ∗ ) = x und
negativ. Damit R−i
i
−i
∗ )) = 0.
Preis für Benutzer i ist pi = xi − (f (x, R ∗ ) − f (x, R−i
2. Fall, xi > Wumin (x):
Entfernen von Benutzer i macht W -Wert eines Knotens auf
dem Weg zur Wurzel negativ, wird aus Übertragungsbaum
entfernt. Kettenreaktion von absinkenden W -Werten und
Entfernungen stoppt an Knoten mit Wert Wumin (x), dieser
wird erreicht, weil vorher Kettenreaktion nicht stoppt.
Also Verlust von Wumin (x) beim f -Wert, damit
Preis für Benutzer i: pi = xi − Wumin (x).
681
Netzkomplexität:
Zwei Botschaften pro Link (jeweils nur W -Werte),
insgesamt O(n) bei n Knoten im universellen Baum,
lokale Berechnungen sehr einfach.
Fazit:
• Verteilte Realisierung von Mechanismus an nichttrivialem
Beispiel, Kommunikationsaufwand asymptotisch optimal.
• Kritik:
– Falsche Zielfunktion für die meisten realen
Anwendungen! (Will Ertragsmaximierung statt
Wohlfahrtsmaximierung.)
– Nicht sicher gegenüber Koalitionen von Spielern.
Shapleywert-Mechanismus: Budgetbalanciert, aber
allokationseffizient und keine effiziente verteilte
Implementierung.
682
Weitere Anwendung: BGP-Routing
Arbeit: Feigenbaum u. a. (2002).
Realistischere Version des einführenden Routing-Beispiels.
Szenario:
• Netz mit autonomen Systemen (AS) als Knoten.
• Kosten bei Durchleitung von Paketen durch Knoten.
• Für jedes Quellen-Senken-Paar Anzahl von
Datenpaketen, die geroutet werden sollen.
Zahlungen an ASe, sodass diese ihre wahren Kosten
bekannt geben. Ziel: Minimierung der Gesamtkosten.
Realisierung mit Clarke-Mechanismus (Grenzkosten analog
zu einfachem Routing-Beispiel). Kommunikationsaufwand
asymptotisch wie bei BGP-Protokoll.
683
6.5 Auktionen
Vier grundlegende klassische Auktionsformen:
• Offene Gebote (open-cry):
– Aufsteigender Preis (ascending price),
englische Auktion (Sotheby’s usw.)
– Absteigender Preis (descending price),
holländische Auktion (Blumenmärkte in Holland).
• Geschlossene Gebote (sealed-bid):
– Zweitpreis (second price), Vickrey-Auktion.
– Erstpreis (first price).
Bei festen Bieterwerten und kontinuierlich
steigendem/fallendem Preis jeweilige offene Auktion
wie korrespondiere geschlossene.
684
Auktionstheorie:
Optimale Auktionen unter Annahmen über Verteilung der
Werte der Bieter (Bayes-Nash-Gleichgewichte).
Ziel ist Maximierung des erwarteten Ertrags für Auktionator.
Grob: Auktionen mit denselben Zuteilungsregeln liefern
denselben erwarteten Ertrag.
Satz 6.33 (Revenue-Equivalence-Theorem, Myerson 1981):
Auktionen mit einem zu versteigernden Gut (evtl. mehrere
Kopien), Bieter mit identischen Wertverteilungen, quasilinearen Nutzenfunktionen und gleichen Strategien bei
gleichen Werten. Dann liefern alle Auktionen, für die Spieler
mit niedrigstem Gebot dieselbe Auszahlung bekommen und
Zuschlag an Höchstbietenden geht, jeweils dieselbe
erwartete Auszahlung für alle Spieler und damit auch für
den Verkäufer.
685
Weitere Erkenntnisse:
• Erweiterung für mehrere Güter und die Klasse der
allokationseffizienten Auktionen.
• Vickrey-Auktion unter allokationseffizienten und individuell
rationalen Auktionen einzige, die den erwarteten Ertrag
des Verkäufers maximiert.
(Krishna, Perry 1997).
Für praktische Anwendungen kompliziertere Modelle,
die zusätzliche Nebenbedinungen berücksichtigen.
Z. B. unterschiedliche Bieter, Abhängigkeiten / Absprachen
zwischen Bietern, Budgeteinschränkungen der Bieter,
Reservierungspreise des Verkäufers usw.
686
Vickrey-Auktion in der Praxis:
Trotz netter theoretischer Eigenschaften spielt die
geschlossene Version praktisch kaum eine Rolle.
Einige Probleme:
• Nicht sicher gegenüber Absprachen zwischen Bietern:
Z. B. zwei Bieter mit privaten Werten 100 und 99 e,
koalieren und bieten 100 und 1 e.
• Betrügerischer Auktionator kann dem Gewinner
gefälschtes (höheres) zweithöchstes Gebot angeben.
• Wahrheitsaufdeckung kann unerwünschte Folgen haben
(Firmengeheimnisse, Schwächung der Position des
Käufers in späteren Verhandlungen).
Arbeiten: Sandholm (1996), Ausubel, Milgrom (2006).
687
Kombinatorische Auktionen (CAs):
Szenario:
• Endliche Menge G von zu versteigernden Objekten.
• n Bieter, Bieter i hat für jede Menge S ⊆ G
Einschätzung vi (S) des Wertes von S.
• Menge der möglichen Alternativen:
Zuordnungen von Objektteilmengen an Bieter,
A := {(S1 , . . . , Sn ) | Si ⊆ G, Si ⊆ Sj ∩ ∅ für i 6 = j}.
• Strategie von Spieler i: Für jedes S ⊆ G Gebot v ′ (S).
i
Ausgabe des Auktion-Mechanismus:
• Zuordnung a∗ (v ′ ) ∈ A der Objekte;
• Für jeden Spieler i zu zahlender Preis pi (v ′ ).
688
Anwendungen: Versteigerung von LKW-Transportaufträgen,
Busrouten, Sendefrequenzen (FCC, UMTS).
Prinzipielle Lösungsmöglichkeit:
Verallgemeinerte Vickrey-Auktion (GVA):
n
P
• Bestimme a∗ = (S1 , . . . , Sn ), sodass
vi′ (Si ) maximal.
i=1
• Preis für Spieler i:
pi (v ′ ) := v (a∗−i ) −
X
vj′ (Sj ),
j6=i
v (a∗−i )
wobei
der maximale Gesamtwert (bezüglich
gemeldeter Gebote) im Szenario ohne Spieler i sei.
689
Komplexität:
• Gebotsabgabe: Erfordert spezielle Gebotssprachen
(Nisan 2000).
• Bestimmung der Zuordnung a∗ :
M AXIMUM W EIGHTED S ET PACKING, äquivalent
bez. PTAS-Reduktionen zu M AXIMUM C LIQUE
und damit insbesondere NP-schwer.
• Bestimmung der Preise:
Zusätzlich für jeden Bieter reduziertes Problem lösen.
Abhilfe: Approximationsalgorithmen, iterative Auktionen.
(Z. B. Nisan, Ronen (2000), Parkes (2001).)
Problem: Aufrechterhaltung der Wahrheitsaufdeckung,
gleichzeitig Ertragsmaximierung.
690