¨Ubungen zur Thermodynamik und Statistik Blatt 4 Abgabe: 15. Mai

Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Theoretische Physik IV im SS 2007 — Dr. M. Kastner
Blatt 4
Abgabe: 15. Mai 2007
bis 14 Uhr vor Zimmer 01.504
Aufgabe 11: Wigner-Darstellung
schriftlich, 4 Punkte
Die Wigner-Darstellung der Quantenmechanik ordnet jedem Operator O eine Phasenraumfunktion oW (x, p) zu:
Z ∞
Z ∞
1
oW (x, p) = 2π~ Tr[O Ω(x, p)] mit Ω(x, p) = 2
dα
dβ e[iα(X−x)+iβ(P −p)] .
4π −∞
−∞
a) Zeigen Sie, dass sich oW auch in der folgenden Form schreiben lässt:
Z ∞
oW (x, p) = ~
dβ hx + ~β/2|O|x − ~β/2i e−iβp .
−∞
Hinweis: Nutzen Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eA+B = eA eB e−[A,B]/2 zur
Umwandlung von Ω(x, p).
b) Die Superposition zweier kohärenter Gaußscher Wellenpakete mit Breite σ und Abstand
2d sei durch die folgende Wellenfunktion im Ortsraum gegeben:
h
i
h
i
2
(x−d)2
exp − (x+d)
+
exp
−
2
2
2
2
4σ
4σ
ψ(x) = hx|ψi =
mit N = (1 + e−d /2σ )2 .
1/4
2
(8πN σ )
Geben Sie den Dichteoperator W = |ψihψ| in der Wigner-Darstellung an.
R
Bestimmen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeitsdichten PW (x) =
R dx
und PW (p) = 2π~ wW (x, p) im Orts- bzw. Impulsraum.
dp
2π~ wW (x, p)
Aufgabe 12: Konkavität der statistischen Entropie
2 Punkte
W1 und W2 seien zwei Dichteoperatoren auf dem Hilbert-Raum H.
Zeigen Sie, dass die statistische Entropie konkav ist, dass also gilt
S(λW1 + (1 − λ)W2 ) ≥ λS(W1 ) + (1 − λ)S(W2 )
Tipp: Verwenden Sie die Gibbs-Ungleichung.
mit
0 ≤ λ ≤ 1.
Aufgabe 13: Spinzustände und deren Entropie
2 Punkte
Die komplexe 2 × 2 Matrix W sei ein allgemeiner Zustand eines Spin- 12 Systems, d.h. eines
quantenmechanischen Systems auf dem zweidimensionalen Hilbertraum H = C2 .
W läßt sich darstellen in der Form
W = W (p) =
1
(1 + p · σ)
2
wobei p ∈ R3 , |p| ≤ 1 und die Komponenten des Vektors σ = (σx , σy , σz ) die Paulischen
Spinmatrizen bezeichnen, mit
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
0 −i
1 0
σx =
,
σy =
,
σz =
.
1 0
i 0
0 −1
a) Geben Sie die statistische Entropie des Zustands W (p) an. Welche p beschreiben reine
Zustände? Welcher Zustand hat maximale Entropie?
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert hσi i. Welche Bedeutung hat der Vektor p?
Aufgabe 14: Entropie quantenmechanischer harmonischer Oszillatoren 2 Punkte
Betrachten Sie einen Satz von N unterscheidbaren Oszillatoren, die jeweils quantisierte Energieniveaus pi ~ω, (pi = 0, 1, 2, ...) besitzen.
P
a) Geben Sie den mikrokanonischen Zustand zur Energie E = P ~ω an (mit P = N
i=1 pi ),
und bestimmen Sie dessen Entropie. (Hinweis: Die Anzahl der Möglichkeiten N positive
ganze Zahlen p1 + 1, p2 + 1, ..., pN + 1 mit Summe P + N zu kombinieren, entspricht
der Anzahl der Möglichkeiten N − 1 Teilchen auf P + N − 1 Plätze zu verteilen).
b) Geben Sie für den Grenzfall N → ∞ die Entropie pro Oszillator s = S/N als Funktion
der Energie pro Oszillator ε = E/N an.
c) Drücken Sie die Energie ε als Funktion der Temperatur T = dε/ds aus.