Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 1. ¨Ubungsblatt

Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 1. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 24. Oktober 2007, 13:00 Uhr
(0-Punkte-Aufgaben sind freiwillige Vor- oder Zusatzübungen.)
1. Logik im Alltag (0 Punkte). Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht
”
billig!“, das danebenliegende Restaurant B sagt Billiges Essen ist nicht gut!“. Meinen
”
sie dasselbe oder nicht? Begründen Sie Ihre Antwort!
2. Logik im Alltag (3 Punkte). Auf Fahrplänen liest man oft Angaben wie Mo–Fr wenn
”
Werktag“, täglich außer Samstag“, oder an Sonn- und Feiertagen“.
”
”
Formulieren Sie das, was mit diesen Angaben gemeint ist, als logischen Ausdruck mit
den elementaren Aussagen Heute ist Montag“, Heute ist ein Feiertag“, usw., und z. B.
”
”
Heute verkehrt der Bus mit der Abfahrt um 12:25 Uhr.“
”
3. Ausschließendes Oder (Antivalenz) (0 Punkte)
Beweisen Sie, dass für die Antivalenz das Kommutativ- und das Assoziativgesetz gilt.
4. NAND. Die nand-Verknüpfung p Z q zweier Wahrheitswerte p, q ist genau dann 1, wenn
nicht gleichzeitig p = 1 und q = 1 ist. Das entspricht also der negierten Konjunktion.
(Engl. not and = nand, deutsch nund. Manchmal wird das auch p|q geschrieben und
Sheffer-Strich genannt.)
(a) (0 Punkte) Stellen sie die Wahrheitstafel für p Z q auf. Wie kann man p Z q
umgangssprachlich ausdrücken? Wie kann man pZq durch ¬, ∨ und ∧ ausdrücken?
(b) (4 Punkte) Untersuchen Sie, ob das Kommutativ- und das Assoziativgesetz für die
nand-Verknüpfung gilt.
5. (0 Punkte). Geben Sie eine vollständige Klammerung für den folgenden Ausdruck an.
x ∧ ¬y ∧ z ⇒ x ∨ y
6. (a) Zählen (3 Punkte). Die Boolesche Formel p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4 kann man auch so
formulieren: Mindestens eine der Aussagen p1 , p2 , p3 , p4 ist wahr.“ Bilden Sie einen
”
logischen Ausdruck für die Aussage Mindestens zwei der Aussagen p1 , p2 , p3 , p4
”
sind wahr.“
(b) (3 Punkte) Bilden Sie einen logischen Ausdruck für die Aussage Genau zwei der
”
Aussagen p1 , p2 , p3 , p4 sind wahr.“
(c) (0 Punkte) Wie kann man allgemein einen logischen Ausdruck für die Aussage
Genau k der Aussagen p1 , p2 , p3 , . . . , pn sind wahr“ bilden?
”
7. (0 Punkte)
Welche der folgenden Formeln sind erfüllbar, Tautologien, bzw. Kontradiktionen?
(x ⇒ y) ⇒ x
x ⇒ (y ⇒ x)
(x ⇔ y) ∧ (x ⊕ y)
(x ⇔ y) ⇒ (y ⇒ x)
(y ∨ z ⇒ x) ⇒ (y ⇒ x)
8. (3 Punkte) Stellen Sie die Wahrheitstafeln für (x ∧ y) ∨ z und für x ∧ (y ∨ z) auf. Sind
diese beiden Formeln semantisch äquivalent?
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 2. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 31. Oktober 2007, 13:00 Uhr
9. (3 Punkte) Beweisen Sie: Der Wahrheitswert von (((a ⇔ ¬b) ⊕ c) ⇔ d) ⊕ ¬e hängt nur
davon ab, wieviele der Aussagen a, b, c, d, e wahr sind. (Hinweis: Die gleiche Behauptung
gilt auch schon für die Teilaussagen (a ⇔ ¬b) ⊕ c und ((a ⇔ ¬b) ⊕ c) ⇔ d.)
10. Logik im Alltag“ (4 Punkte)
”
(a) (2 Punkte) Formulieren Sie die folgende Aussage als Booleschen Ausdruck: Wenn
die Maschine in Zeitschritt 44 im Zustand D ist und auf Position 12 ist, und auf
Position 12 das Symbol * steht, dann ist die Maschine in Zeitschritt 45 im Zustand
A und steht auf Position 11, und auf Position 12 steht das Symbol +.
(b) (0 Punkte) Formulieren Sie die folgende Aussage als Booleschen Ausdruck: Wenn
die Maschine in Zeitschritt 44 auf Position 12 ist, und auf Position 100 das Symbol
& steht, dann steht in Zeitschritt 45 auf Position 100 (unverändert) das Symbol &.
(c) (2 Punkte) Wandeln Sie Ihre Lösung zu Teil (a) in konjunktive Normalform um.
(d) (0 Punkte) Verneinen Sie den Satz aus Teil (a), zuerst formal und dann in Worten.
Verwenden Sie als elementare Aussagen jene Teile der Aussage, die nicht weiter logisch
zerlegbar sind, also z. B. Die Maschine ist in Zeitschritt 44 im Zustand D“ und Auf
”
”
Position 12 steht in Zeitschritt 44 das Symbol *“. (Wählen Sie geeignete Abkürzungen.)
11. Distributivität (0 Punkte). Beweisen Sie die Distributivgesetze für ∧ und ∨:
a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) und a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
12. Dualität (3 Punkte). Wenn man in der Wahrheitstafel für ∧ alle Nullen durch Einsen
ersetzt und umgekehrt, dann erhält man die Wahrheitstafel für ∨. (Und umgekehrt.)
(a) (0 Punkte) Was erhält man bei der Wahrheitstafel für ¬?
(b) (3 Punkte) Nehmen Sie an, dass A ≡ B gilt, wobei in den Booleschen Formeln
A und B nur die Junktoren ∧, ∨ und ¬ vorkommen. Beweisen Sie, dass die
semantische Äquivalenz A ≡ B gültig bleibt, wenn man in A und B alle ∧ durch
∨ ersetzt und umgekehrt.
(c) (0 Punkte) Was erhält man, wenn man in einer Tautologie, die nur die Junktoren
∧, ∨ und ¬ enthält, alle ∧ durch ∨ ersetzt und umgekehrt?
13. Vertauschung von Quantoren (3 Punkte)
Welche logische Beziehung besteht zwischen den Aussagen
∀x : ∃y : P (x, y) und ∃y : ∀x : P (x, y) ?
Folgt eine Aussage aus der anderen, oder sind die beiden Aussagen sogar äquivalent?
Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort. Wenn nein, geben Sie ein Prädikat P (x, y) an,
bei dem die Beziehung nicht gilt.
14. Unendlich viele Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft (0 Punkte)
Die Aussage
∀x ∈ N : ∃y ∈ N : P (y) ∧ (y > x)
ist genau dann wahr, wenn es unendlich viele natürliche Zahlen n mit der Eigenschaft
P (n) gibt. Auf diese Art kann man also “unendlich viele” ausdrücken, ohne explizit den
Begriff der Anzahl oder der Mächtigkeit einer Menge zu verwenden.
Funktioniert diese Methode auch für ganze Zahlen (Z)? Für relle Zahlen (R)? Wie kann
man sie gegebenenfalls anpassen?
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 3. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 7. November 2007, 13:00 Uhr
15. Quantoren (3 Punkte). Welche logische Beziehung besteht zwischen den Aussagen
∀x : (P (x) ⇒ Q(x)) und ∃x : (P (x) ∧ Q(x)) ?
Folgt eine Aussage aus der anderen, oder sind die beiden Aussagen sogar äquivalent?
Wenn ja, begründen Sie Ihre Antwort. Wenn nein, geben Sie ein Beispiel für Prädikate
P (x) und Q(x) an, bei dem die Beziehung nicht gilt.
16. Wahrheitswerte als Zahlenwerte (3 Punkte)
Wenn wir die Schreibweise von Wahrheitswerten als 0 und 1 wörtlich nehmen, dann
können wir diese Werte auch als Zahlen interpretieren und mit ihnen rechnen.
(a) (3 Punkte) Konstruieren Sie arithmetische Formeln (mit den Operatoren +, −, ×)
für die Junktoren ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔, ⊕. (Mit anderen Worten, schreiben Sie eine arithmetische Formel in den Variablen a und b, die immer genau das gleiche Ergebnis
wie zum Beispiel a ∧ b liefert, wenn man für a und b die Werte 0 oder 1 einsetzt.)
(b) (0 Punkte) Konstruieren Sie arithmetische Prädikate für die Junktoren, indem Sie
zusätzlich die Relationen <, ≤ und = verwenden. (Ein Prädikat soll z. B. genau
dann wahr sein, wenn a ∧ b wahr ist.)
(c) (0 Punkte) Wie kann man a ∨ b ∨ c, a ∧ b ∧ c, (a ∧ b ∧ c) ⇒ (d ∨ e ∨ f ), und
(a ∧ ¬b ∧ ¬c) ⇒ (d ∨ ¬e ∨ f ), als arithmetische Relationen ausdrücken?
17. Die de Morgan’sche Regeln für Quantoren (3 Punkte)
Bei Quantoren kann man die Gültigkeitsbereiche für die quantifizierten Variablen auch
anders ausdrücken: ∀x ∈ U : P (x) kann man schreiben als ∀x : x ∈ U ⇒ P (x) , und
∃x ∈ U : P (x) kann man auch so schreiben: ∃x : x ∈ U ∧ P (x) .
Leiten Sie aus den Regeln von de Morgan ohne Gültigkeitsbereiche die Regeln von de
Morgan mit diesen Konventionen in folgender Form her:
¬ ∃x ∈ U : P (x) ⇔ ∀x ∈ U : ¬P (x)
¬ ∀x ∈ U : P (x) ⇔ ∃x ∈ U : ¬P (x)
Das heißt, die Gültigkeitsbereiche (x ∈ U ) werden von der Negation nicht betroffen.
18. Verneinung (3 Punkte). Nach dem sogenannten Pumping-Lemma gilt für reguläre Sprachen L ⊆ Σ∗ folgende Aussage:
∃n ∈ N : ∀x ∈ L : `(x) ≥ n ⇒
∃u, v, w ∈ Σ∗ : (x = u · v · w ∧ `(v) > 0 ∧ ∀i ∈ N : u · v i · w ∈ L)
Dabei ist `(x) die Länge von x. Verneinen Sie diese Aussage, und formen Sie sie
anschließend so um, dass Negationen nur unmittelbar vor atomaren Aussagen stehen
(Negationsnormalform).
(Zum Beispiel ¬(`(v) > 0), oder gleich in die Aussage eingebaut: `(v) ≤ 0. Es reicht
also nicht, einfach die Negation vor die gesamte Aussage zu setzen.)
19. (0 Punkte) Schreiben Sie einen logischen Ausdruck (eine Aussageform), die angibt, ob
das Jahr x ∈ N im Gregorianischen Kalender ein Schaltjahr ist.1
1
Die genauen Regeln für Schaltjahre finden Sie z. B. auf http://de.wikipedia.org/wiki/Schaltjahr
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 4. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 14. November 2007, 13:00 Uhr
20. (4 Punkte) Welche der folgende Aussagen sind allgemeingültig? Beweisen Sie die Aussagen oder finden Sie ein Gegenbeispiel. P(A) bezeichnet die Potenzmenge von A.
A⊆B∪C ⇔A⊆B∧A⊆C
A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)
21. (0 Punkte) Welche der folgende Aussagen sind gültig? ∅ ⊆ ∅, ∅ ∈ ∅, ∅ ⊆ {∅}, ∅ ∈ {∅},
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C)
A∩B ⊆ C ⇒A⊆ C ∨B ⊆ C
A ⊆ C ∧B ⊆ D ⇒A∩B ⊆ C ∩D
A∪B ⊆A⇒B ⊆A∩B
{A} ∩ P(A) = A
A \ (B \ C) = (A \ B) \ C)
P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
22. (3 Punkte) Konstruieren Sie Mengen M0 , M1 , M2 und M3 mit 0, 1, 2 beziehungsweise
3 Elementen, die als Elemente nur Teilmengen von sich enthalten.
23. Relationen (5 Punkte). Gegeben sind die Relationen R = { (a, b) ∈ N × N | a = b + 2 }
und S = { (a, b) ∈ N × N | a + b ist durch 3 teilbar }.
(a) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Relationen R−1 , R ◦ S und R−1 ◦ R.
(b) (2 Punkte) Untersuchen Sie R und S und die Relationen aus Teil (a) auf Transitivität, Symmetrie, und Reflexivität.
(c) (0 Punkte) Bestimmen Sie die Relationen S −1 und R ◦ R−1 .
24. Semantische Äquivalenz (0 Punkte)
Beweisen Sie, dass die semantische Äquivalenz zwischen aussagenlogischen Formeln eine
Äquivalenzrelation ist. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?
25. Logische Äquivalenz als Äquivalenzrelation (0 Punkte). Beweisen Sie, dass die Äquivalenz ⇔“ zwischen Aussagen eine Äquivalenzrelation ist. (Für zwei Aussagen a und b
”
gilt aRb genau dann, wenn a ⇔ b wahr ist.) Wieviele Äquivalenzklassen gibt es?
26. Äquivalenzrelationen (4 Punkte).
Untersuchen Sie folgende Relationen auf Transitivität, Symmetrie, und Reflexivität.
Welche Relationen sind Äquivalenzrelationen?
(a) (2 Punkte) Die Grundmenge besteht aus allen Menschen. Es gilt xRy, wenn sich
die Geburtsdaten von x und y um weniger als 1 Monat unterscheiden.
(b) (2 Punkte) Die Grundmenge ist die Menge der Laptopmodelle. Für zwei Modelle x
und y gilt xRy, wenn x = y ist oder wenn es einen Händler gibt, bei dem Modell x
weniger als Modell y kostet, und einen anderen Händler, bei dem Modell y weniger
als Modell x kostet.
27. Ein Rätsel (0 Punkte)
Ihnen wird eine golden Vase und eine silberne Vase gezeigt, jede mit einer Aufschrift.
Eine der beiden Vasen enthält einen Schatz, der so untergebracht ist, dass die zwei
Aufschriften nicht zu einem Widerspruch führen. Auf der silbernen Vase steht: Der
”
Schatz ist nicht in dieser Vase.“ Auf der goldenen Vase steht: Von diesen beiden
”
Aufschriften ist genau eine wahr.“
In welcher Vase steckt der Schatz?
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 5. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 21. November 2007, 13:00 Uhr
28. Geordnete Mengen (4 Punkte). Eine geordnete Menge (A, ∝) ist eine Menge A zusammen mit einer Halbordnung ∝ auf dieser Menge. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) (2 Punkte) Wenn eine endliche geordnete Menge nur ein maximales Element
enthält, dann ist dies das größte Element.
(b) (0 Punkte) Wenn eine geordnete Menge mehr als ein minimales Element enthält,
dann gibt es kein kleinstes Element.
(c) (2 Punkte) Die inverse Relation zu einer Halbordnung ist auch eine Halbordnung.
29. Produkt von Halbordnungen (0 Punkte)
(a) Die Produktordnung T zweier geordneter Mengen (A, R) und (B, S) ist eine Relation auf A × B, die folgendermaßen definiert ist:
(a, b)T (c, d) ⇐⇒ aRc ∧ bSd
Zeigen Sie, dass sie eine Halbordnung ist. (Analog definiert man auch das Produkt
von mehr als zwei geordneten Mengen.)
(b) Betrachten Sie die Produktordnung der geordneten Menge (N, ≤) mit sich selbst.
Ist sie eine totale Ordnung? Konstruieren Sie eine Teilmenge mit drei minimalen
Elementen, aber ohne maximale Elemente.
(c) Zeigen Sie, dass die Menge aller achsenparallelen Rechtecke R in der Ebene mit
der Inklusion (⊆, Teilmengenrelation) eine geordnete Menge sind. Wie kann man
diese Relation ausdrücken, wenn die Rechtecke durch Koordinaten gegeben sind?
Lässt sich die Relation als Produkt von vier linearen Ordnungen auf R schreiben?
30. Lexikographische Ordnung (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass die lexikographische Ordnung ≤lex auf N × N eine Ordnungsrelation ist:
(a, b) ≤lex (c, d) ⇐⇒ a < c ∨ (a = c ∧ b ≤ d)
Ist sie eine totale Ordnung?
31. Wohlordnung (0 Punkte)
Eine lineare Ordnung heißt Wohlordnung, wenn jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes
Element hat. Welche der Mengen N, Z, R (mit der gewöhnlichen Zahlenordnung ≤),
und N × N (mit der lexikographischen Ordnung aus Aufgabe 30) sind wohlgeordnet?
32. (0 Punkte) Was sind die minimalen Elemente bezüglich der Teilerrelation a|b auf N\{1}?
33. (0 Punkte) Betrachten Sie auf der Menge A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} die Halbordnung
R = { (a, b) ∈ A×A | a = b ∨ 4b > 5a+1 }. Zeichnen Sie das Diagramm dieser Relation,
und bestimmen Sie alle maximalen, minimalen, größten, und kleinsten Elemente.
34. (3 Punkte) Zeichnen Sie das Diagramm der Teilerrelation auf der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8}. Bestimmen Sie alle maximalen, minimalen, größten, und kleinsten Elemente.
35. Strenge Halbordnungen (4 Punkte). Eine strenge Halbordnung S auf einer Menge A
ist eine transitive und asymmetrische Relation. Zeigen Sie, dass dann die Relation
R = S ∪ { (a, a) | a ∈ A} eine Halbordnung ist.
Zeigen Sie, dass für jede Halbordnung R die Relation S = R \ { (a, a) | a ∈ A} eine
strenge Halbordnung ist. Was sind diese strengen Halbordnungen, wenn (a) R die
gewöhnliche Zahlenordnung auf R ist (b) R die Teilmengenrelation ⊆ ist?
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 6. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 28. November 2007, 13:00 Uhr
36. Ketten und Antiketten (2 Punkte)
Bestimmen sie eine längste Kette (eine Kette mit möglichst vielen Elementen) in der
geordneten Menge (P({1, 2, 4, 8}), ⊆). Finden Sie eine Antikette mit mindestens 5 Elementen.
37. Supremum und Infimum (0 Punkte)
Betrachten Sie die Teilerrelation auf der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Aufgabe 34). Gibt
es zu zwei Elementen immer ein Supremum? Gibt es zu zwei Elementen immer ein
Infimum? Wie ist das auf der Teilerrelation auf der Menge N?
38. Funktionen (0 Punkte)
Betrachten Sie die folgenden Relationen jeweils auf N, auf R>0 (der Menge der positiven
reellen Zahlen), und auf Q (der Menge der rationalen Zahlen). (a) { (x, y) | y = 3(x+1) }
(b) { (x, y) | x = 3(y + 1) } (c) { (x, y) | x2 − y − 2 = 0 } (d) { (x, y) | x − y 2 + 2 = 0 }
(e) { (x, y) | x2 − y 2 = 0 }. Welche dieser Relationen sind Funktionen? Welche sind
injektiv oder surjektiv? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion.
39. (3 Punkte) Welche der folgenden Relationen R ⊆ A × B ist eine Funktion A → B?
Stellen Sie gegebenenfalls fest, ob sie injektiv, surjektiv, oder bijektiv ist.
(a) A = B = {0, 1, 2, 3, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = j 2 }.
(b) A = B = {0, 1, 2, 3, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = i · j }.
(c) A = B = {0, −2, 2, −4, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = j 2 }.
40. (d) (0 Punkte) A = {0, 1, 4}, B = {0, 2, 1} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = j 2 }.
(e) (0 Punkte) A = B = {0, 1, 2, 3, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | j = i · j }.
(f) (0 Punkte) A = B = {1, 2, 3, 4} und R = { (i, j) ∈ A × B | i = i · j }.
41. Verkettung (3 Punkte)
Bestimmen Sie f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ h, h ◦ g, (f ◦ g) ◦ h, f ◦ (g ◦ h) für die folgenden
Funktionen f, g, h : N → N:
(
0, falls n gerade ist,
f (n) = n + 1, g(n) = 2n, h(n) =
1, falls n ungerade ist.
42. Anzahl von Funktionen (3 Punkte)
Gegeben sind drei Mengen A, B, C mit |A| = 3, |B| = 5, |C| = 2. Wie viele Funktionen
von A × B nach C gibt es? Wie viele Funktionen von A nach C B gibt es? Wie viele
Funktionen von B nach C A gibt es?
43. Funktionen und Äquivalenzrelationen (0 Punkte)
(a) Es sei f : A → B eine Funktion. Zeigen Sie, dass die Relation
i ∼ j ⇔ f (i) = f (j)
eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Bestimmen Sie zur Klasseneinteilung {{1, 3, 5, 7}, {2, 4, 6}, {0}} der Menge A =
{0, 1, . . . , 7} eine Funktion f : A → B mit einer geeigneten Menge B, sodass die
oben gegebene Relation diese Klasseneinteilung hat.
(c) Gibt es zu jeder Klasseneinteilung eine passende Funktion f , sodass die in (a)
definierte Äquivalenzrelation diese Klasseneinteilung induziert?
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 7. Übungsblatt
Abgabe bis Mittwoch, 5. Dezember 2007, 24 Uhr
44. Zyklendarstellung (0 Punkte)
1 2 3 4 5 6 7
Schreiben Sie die Permutation f =
als Produkt disjunkter
6 1 3 7 5 2 4
Zyklen. Schreiben Sie die Permutation g = (5 10 15) (3 2 1 8) (9 11 7 13 4 14) der 15
Elemente {1, . . . , 15} als Tabelle. Bestimmen Sie fˆ◦g und g◦ fˆ, wobei fˆ die Erweiterung
von f ist, die die Zahlen 8–15 auf sich selbst abbildet.
45. (a) (2 Punkte) Berechnen Sie für die Permutation
1 2 3 4 5 6 7
f=
6 1 3 7 5 2 4
die Permutation f 2008 , und stellen Sie das Ergebnis sowohl in Zyklendarstellung
als auch als Tabelle dar.
(b) (0 Punkte) Ist die Permutation f 2008 gerade oder ungerade?
46. Zyklische Permutationen (0 Punkte). Eine zyklische Permutation f : A → A ist eine
Permutation, bei der alle Elemente von A einen einzigen Zykel bilden. Wie viele zyklische Permutationen gibt es auf einer n-elementigen Menge?
47. Mischen von Karten (3 Punkte)
Beim idealen Riffeln wird ein Stapel von 32 Spielkarten in eine obere Hälfte und eine
untere Hälfte von je 16 Karten geteilt. Anschließend werden die beiden Hälften so verzahnt, dass sich die Karten aus der oberen und aus der unteren Hälfte abwechseln. Am
Ende liegt die oberste Karte aus der unteren Hälfte zuoberst. Bestimmen Sie die Permutation, die angibt, an welche Stelle die i-te Karte von oben nach dem Mischen zu liegen
kommt. Nach wievielen Wiederholungen ist der Stapel wieder in der ursprünglichen
Reihenfolge?
48. (0 Punkte) Nehmen wir an, dass wir folgende Lemmas (Hilfssätze) bewiesen haben:
Lemma 1. Aus A folgt C.
Lemma 2. Wenn B nicht gilt, dann muss A gelten.
Lemma 3. Aus B folgt C.
Betrachten Sie folgenden Beweis der Aussage C unter Benützung dieser Lemmas:
Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle:
• Fall I: A gilt. Wir wenden Lemma 1 an und sind fertig.
• Fall II: A gilt nicht. In diesem Fall unterscheiden wir zwei Unterfälle:
– Fall IIa: B gilt nicht. Dann wenden wir Lemma 2 an und schließen daraus
A, im Widerspruch zur Voraussetzung von Fall II. Daher brauchen wir
diesen Fall nicht zu betrachten.
– Fall IIb: B gilt. Mit Hilfe von Lemma 3 ergibt sich C.
(Ende des Beweises)
Ist dieser Beweis gültig? Analysieren Sie die logische Struktur dieses Beweises! Können
Sie eine einfachere Struktur für den Beweis von C finden?
49. (0 Punkte) Beweisen Sie, dass n4 − 4n2 für alle natürlichen n durch 3 teilbar ist.
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 8. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 13. Dezember 2007, 10 Uhr
50. (0 Punkte) Eine Frau ist in 9 Stunden 45 km gewandert, davon 6 km in der ersten Stunde
und nur 3 km in der letzten Stunde. Zeigen Sie, dass sie in einem gewissen Zeitraum
von zwei Stunden mindestens 9 km gewandert sein muss.
51. (3 Punkte) 42 Studenten müssen sich 12 Computer teilen. Jeder Student benützt
mindestens einen Computer, und kein Computer wird von mehr als sechs Studenten
verwendet. Zeigen Sie, dass mindestens fünf Computer von drei oder mehr Studenten
verwendet werden.
52. Das Schubfachprinzip (0 Punkte)
Ein Tipp beim Fußballtoto ist eine Folge von 13 Symbolen, die die Werte 0,1,2 annehmen
können. (Diese Werte werden mit dem Spielausgang von Fußballspielen verglichen,
und wenn man mindestens 10 Spielausgänge richtig getippt hat, bekommt man einen
Gewinn.) Wieviele Tipps muss man abgeben, um sicherzugehen, dass man einen Tipp
mit mindestens 5 Richtigen hat? (Hinweis: Die richtige Antwort ist ziemlich klein.)
53. Vollständige Induktion (0 Punkte)
Beweisen Sie die Gleichung
1
1
1
1
n
+
+
+ ··· +
=
.
1 · 4 4 · 7 7 · 10
(3n − 2)(3n + 1)
3n + 1
54. (0 Punkte) Es gibt eine positive Konstante A, sodass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2
gilt:
1
1
1
+
+ ··· +
≥A
n+1 n+2
2n
Wie groß kann man A wählen?
55. (3 Punkte) Formulieren Sie eine allgemeine Formel, die die folgenden Beobachtungen
wiedergibt, und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion.
13 = 1
23 = 3 + 5
33 = 7 + 9 + 11
43 = 13 + 15 + 17 + 19
56. (0 Punkte) Das Assoziativgesetz gilt für die logischen Operationen ⇔ und ⊕:
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
und analog für ⇔, und sogar wenn man die Operationen ⇔ und ⊕ in einer Formel
mischt.
57. (3 Punkte) Gegeben sei eine Boolesche Formel der Form
(((a1 1 a2 ) 2 a3 ) 3 · · · ) n−1 an ,
wobei jedes i entweder der Junktor ⊕ oder der Junktor ⇔ ist. (Ein Beispiel ist die
Formel aus Aufgabe 9.)
Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n: Der Wahrheitswert einer solchen
Formel hängt nur davon ab, ob die Anzahl der Aussagen a1 , a2 , . . . , an , die wahr sind,
gerade oder ungerade ist.
8
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 9. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 20. Dezember 2007, 10 Uhr
58. Das Schubfachprinzip (0 Punkte)
An der Freien Universität Berlin gibt es 15 Fächer, die man auf Lehramt studieren
kann. Für ein Lehramtsstudium muss man zwei dieser Fächer kombinieren.
(a) Wie viele Fächerkombinationen gibt es, wenn wir nicht zwischen Hauptfach ( Kern”
fach“) und Nebenfach ( Modulangebot“) unterscheiden?
”
(b) Es wird gefordert, dass jede mögliche Fächerkombination so studierbar sein muss,
dass die Pflichtveranstaltungen des ersten Semesters sich nicht überschneiden.
Nehmen wir an, es gibt im ersten Semester in jedem Fach 8 Wochenstunden zu je
45 Minuten an Pflichtvorlesungen, und diese Vorlesungen werden nicht mehrfach
parallel zu verschiedenen Zeiten angeboten.
Wenn an Sonntagen und vor 7 Uhr morgens keine Vorlesungen stattfinden, was
ist die frühestmögliche Uhrzeit, zu der die späteste Vorlesung endet, damit ein für
alle Fächerkombinationen überschneidungsfreier Stundenplan möglich ist? Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass die Studierenden ohne Übergang mit
Lichtgeschwindigkeit von einer Vorlesung zur nächsten wechseln können.
59. (2 Punkte) Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch F0 = 0, F1 = 1 und
Fn = Fn−1 + Fn−2 für n > 1. Beweisen Sie die folgende Formel durch vollständige
Induktion:
"
√ !n
√ !n # √
1+ 5
1− 5
Fn =
−
5
2
2
60. (0 Punkte) Für welche Werte von n hat genau die Hälfte aller Bitfolgen der Länge n
eine gerade Anzahl von Einsen? Beweisen Sie Ihre Antwort.
61. (2 Punkte) Aus 80 Professoren und 20 Professorinnen (insgesamt 100 Personen) soll
eine Exzellenzkommission mit 10 Vertreter/innen gebildet werden.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(b) Wie ist es, wenn die Kommission gleich viele Professoren und Professorinnen enthalten soll?
62. Darstellung abstrakter Datentypen (3 Punkte)
B sei die Menge aller Teilmengen von N = {0, 1, 2, . . .} mit höchstens 10 Elementen. Wir möchten solche Mengen im Computer darstellen, und wählen dafür Folgen
a = (a0 , a1 , . . . , a9 ) der Länge 10. A = N10 sei die Menge dieser Folgen. (In der Programmiersprache C kann man eine solche Folge als Feld unsigned int a[10];“ dekla”
rieren.) Wir verwenden die Konvention, dass die von der Folge a dargestellte Menge aus
allen Elementen a0 , a1 , a2 , . . . bis zur ersten Null besteht. Die Funktion f : A → B gibt
diese Entsprechung wieder; es ist also zum Beispiel f ((0, 20, 6, 7, 0, 3, 27, 0, 0, 7)) = ∅,
f ((7, 20, 6, 7, 0, 3, 27, 0, 0, 7)) = {6, 7, 20}, f ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)) = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 6, 9, 10}, f ((7, 20, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 20, 7)) = {2, 3, 4, 7, 20},
(a) (2 Punkte) Geben Sie eine formale Definition von f mit den Mitteln der Prädikatenlogik und der Mengenlehre.
(b) (1 Punkt) Ist die Funktion f injektiv? Ist sie surjektiv? Ist sie bijektiv?
(c) (0 Punkte) Was ist der Unterschied zwischen den Werten, die das Feld a, das mit
unsigned int a[10] deklariert ist, enthalten kann, und der Menge A?
9
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 10. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 10. Januar 2008, 10 Uhr
63. (0 Punkte) Wie viele Dezimalzahlen mit sieben Ziffern enthalten genau drei Neunen?
Die erste Ziffer (die Millionenstelle) darf nicht Null sein.
64. (a) (1 Punkt) Auf wie viele Arten kann man zwei Zahlen aus der Menge {1, 2, . . . , 100}
so auswählen, dass die Summe eine gerade Zahl ist? Eine ungerade Zahl ist?
(b) (1 Punkt) Beweisen Sie folgende Beziehung:
2n
n
=2
+ n2
2
2
(c) (0 Punkte) Gibt es eine Beziehung zwischen Teil (a) und (b) dieser Aufgabe?
65. Pythagoräische Zahlentripel (2 Punkte)
Ein pythagoräisches Zahlentripel ist ein Tripel (a, b, c) positiver ganzer Zahlen mit a2 +
b2 = c2 . Das bekannteste und einfachste pythagoräische Zahlentripel ist (3, 4, 5).
(a) (2 Punkte) Beweisen Sie, dass in einem pythagoräischen Zahlentripel mindestens
ein Element durch 5 teilbar ist.
(b) (0 Punkte) Beweisen Sie, dass in einem pythagoräischen Zahlentripel mindestens
ein Element durch 4 und mindestens ein Element durch 3 teilbar ist.
66. (2 Punkte) Eine kürzlich veranstaltete Umfrage hat ergeben, dass die ProfessorInnen
an der Freien Universität Berlin sehr sportlich sind: 60 % spielen Tennis, 50 % spielen
Bridge, 70 % spielen Fußball, 20 % spielen Tennis und Bridge, 30 % spielen Tennis und
Fußball, und 40 % spielen Fußball und Bridge. Wenn jemand behauptet, dass 20 % die
ProfessorInnen alle drei Sportarten ausüben, würden Sie das glauben?
67. Binomialkoeffizienten (0 Punkte)
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
X
n n+1
i
=
, für k ≥ 0
k+1
k
i=0
68. (0 Punkte). Beweisen Sie die Gleichung
n 2
X
n
2n
=
i
n
i=0
durch Betrachtung der Gitterpfade von (0, 0) zu (n, n). Jeder Gitterpfad kann in der
Mitte“, wo er einen Punkt (i, j) mit i + j = n erreicht, in zwei Teile zerlegt werden.
”
69. (0 Punkte). Sie möchten 10 Flaschen Wein kaufen, davon mindestens zwei Flaschen
Trollinger, mindestens eine Flasche Dornfelder und mindestens eine Flasche Riesling.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn nur diese drei Sorten zur Auswahl stehen?
70. Multinomialkoeffizienten (0 Punkte)
Auf wieviele Arten kann man die Buchstaben des Flusses MISSISSIPPI anordnen, wenn
die beiden P’s nicht nebeneinander stehen dürfen?
71. (2 Punkte) Auf wieviele Arten können sich neun Informatiker beim Hallenfußball in
drei Mannschaften zu je drei Mann aufteilen?
10
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 11. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 17. Januar 2008, 10 Uhr
72. Bedingte Wahrscheinlichkeit (2 Punkte)
Langjährige Tests haben ergeben, dass Software X auf Windows-Betriebssystemen im
Durchschnitt bei 6 % der Kunden solche Probleme verursacht, dass die Kunden beim
Kundendienst anrufen. Auf dem Apple-Betriebssystem geschieht dies bei 4 % der Kunden, auf dem Linux-Betriebssystemen bei 5 % der Kunden.
Im vergangenen Monat gab es beim Kundendienst 1431 Anrufe von Windows-Kunden,
999 Anrufe von Apple-Kunden, und 1005 Anrufe von Linux-Kunden. Schätzen Sie, mit
welchen Anteilen sich die installierten Versionen der Software X auf die drei Betriebssystemarten aufteilen. (Alle Zahlen sind frei erfunden.)
A
73. Ausfallssicherheit (2 Punkte)
B
Das E-Mail-System einer bestimmten Universität ist zweiA2
stufig aufgebaut. Zunächst werden die hereinkommenden
Nachrichten gefiltert und auf Viren untersucht (Stufe A), danach werden sie gespeichert
und für die Nutzer zum Abruf bereitgestellt (Stufe B). Da es früher häufig Probleme
mit dem Rechnersystem für Stufe A gab, wurde ihm ein zweites paralleles Rechnersystem A2 zur Seite gestellt. Nehmen wir an dass A mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit
einen Tag lang fehlerfrei läuft, dass A2 und B jeweils mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit
einen Tag lang fehlerfrei laufen, dass die Ausfälle der Systeme A, A2 und B unabhängig
voneinander sind, und dass jeder Ausfall von A oder A2 zunächst dauerhaft ist und
erst am Ende des Tages bei der regelmäßigen Überprüfung bemerkt (und anschließend
behoben) wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag (mindestens) ein Ausfall des Gesamtsystems auftritt? (1 freiwilliger Zusatzpunkt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass in einer Woche mindestens ein Ausfall des Gesamtsystems auftritt?)
74. Schubfachprinzip (2 freiwillige Zusatzpunkte)
Beweisen Sie, dass es unter neunzig verschiedenen 25-stelligen Dezimalzahlen immer
zwei disjunkte Teilmengen gibt, die die gleiche Summe haben.
75. Inklusion-Exklusion (3 Punkte). Wieviele 12-elementige Teilmengen, die keine der Mengen {W, E, I, H}, {N, A, C, H, T} und {N, E, U, J, A, H, R} als Teilmengen enthalten,
lassen sich aus den 26 Buchstaben des Alphabets bilden?
76. Lotto (2 freiwillige Zusatzpunkte)
Beim Lotto 6 aus 49“ muss man ein Los kaufen und 6 Zahlen aus
”
den Zahlen 1,2,. . . ,49 ankreuzen. Bei der Ziehung werden später 6 der 49
Zahlen gezogen, und den Hauptpreis gewinnt, wer alle 6 Zahlen richtig
erraten hat, und zusätzlich eine Superzahl richtig hat. Wie viele Lose
braucht man mindestens, um sicherzugehen, dass man mindestens
einmal gar keine der 6 Gewinnzahlen angekreuzt hat?
(2 zusätzliche freiwillige Zusatzpunkte) Wie ist das bei einem
Lotto 6 aus 41“, das in kleineren Ländern gespielt wird?
”
77. (0 Punkte) Die Maus startet an der Ecke r und folgt in jedem Schritt einem ausgehenden Pfeil. Wenn es mehrere
Möglichkeiten gibt, wählt sie eine zufällige aus, sodass
alle ausgehenden Pfeile die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Stern erreicht?
11
r
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 12. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 24. Januar 2008, 10 Uhr
78. Verteilungen (3 Punkte)
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zehnmaligen Wurf einer Münze höchstens dreimal Kopf zu erhalten?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln die Wartezeit bis zum
Auftreten der ersten Sechs länger als der Erwartungswert ist?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit genau gleich dem Erwartungswert ist?
79. Der Satz von Bayes (2 Punkte)
2 % aller Späm-Nachrichten enthalten im Titel das Wort “Rolex”, während es bei regulären E-Mails nur mit einem Anteil von 0,006 % vorkommt. Man schätzt, dass drei
Viertel aller Nachrichten Späm sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
zufällige empfangene Nachricht, die “Rolex” im Titel enthält, eine Späm-Nachricht ist?
80. Damentennis (3 Punkte)
Beim Damentennis werden maximal drei Sätze gespielt, und Siegerin ist, wer zwei von
drei Sätzen gewinnt. (Ein Unentschieden gibt es nicht.)
Nehmen Sie an, dass die Spielerin A jeden Satz mit Wahrscheinlichkeit 0,4 gewinnt.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Sätze notwendig sind?
(b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Siegerin den ersten Satz verloren hat?
(c) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt?
81. Zweistellige Operationen (0 Punkte). Welche der folgenden Operationen ◦ : Z × Z → Z
definiert eine Halbgruppe auf Z? Existiert ein neutrales Element?
(a) a ◦ b = 2a + b + 1
(b) a ◦ b = a + b − 2
(c) a ◦ b = 3ab
82. Verknüpfung von Funktionen (2 Punkte)
Erstellen Sie die Verknüpfungstafel für die Halbgruppe (A, ◦) bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen: (f ◦ g)(x) = g(f (x)).
(a) (2 Punkte) A ist die Menge der Abbildungen der Menge {0, 1} in sich selbst. Ist
diese Halbgruppe kommutativ? Ist sie eine Gruppe?
(b) (0 Punkte) A ist die Menge der bijektiven Abbildungen der Menge {−1, 0, 1} in
sich selbst. Ist sie eine kommutative (Abel’sche) Halbgruppe? Ist sie ein Monoid?
Ist sie eine Gruppe?
83. Darstellung einer Halbgruppe als Funktionshalbgruppe (0 Punkte)
Gegeben sein eine beliebige Halbgruppe (A, ∗). Wir ordnen nun jedem Element a ∈ A
die Funktion fa : A → A mit fa (x) = x ∗ a zu. Zeigen Sie, dass fa ◦ fb = fa∗b ist.
84. (0 Punkte) Eine Gruppe (A, ◦) ist genau dann kommutativ, wenn für alle a, b ∈ A gilt:
(a ◦ b)2 = a2 ◦ b2
wobei a2 für a ◦ a steht.
12
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 13. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 31. Januar 2008, 10 Uhr
85. Erweiterung einer Halbgruppe zu einem Monoid (0 Punkte)
Zeigen Sie, dass man jede Halbgruppe (A, ◦) zu einem Monoid (A0 , ◦0 ) mit A0 = A ∪ {e}
erweitern kann, indem man einfach ein neues neutrales Element e ∈
/ A hinzufügt, und
0
0
0
0
die Operation ◦ zu ◦ : A × A → A folgendermaßen erweitert:
a ◦0 b = a ◦ b,
a ◦0 e = a,
e ◦0 b = b,
e ◦0 e = e,
für alle a, b ∈ A. (Was passiert, wenn A schon ein Monoid ist?)
86. Halbgruppen (0 Punkte). Bildet die folgende Operation ◦ eine Halbgruppe auf Z? Gibt
es ein neutrales Element? Zu welchen Zahlen gibt es ein inverses Element?


für a, b ≥ 0
a + b
a◦b = a
für a < 0


−a + b für a ≥ 0, b < 0
87. (a) Charakterisierung von Gruppen (0 Punkte, nicht einfach). Beweisen Sie: Eine
Halbgruppe (A, ◦) ist genau dann eine Gruppe, wenn jede Gleichung der Form
a ◦ x = b oder x ◦ a = b (für gegebene a, b ∈ A) eine Lösung x ∈ A hat. Bleibt die
Aussage richtig, wenn nur jede Gleichung der Form a ◦ x = b eine Lösung hat?
(b) (2 Punkte) Wie kann man anhand der Verknüpfungstafel erkennen, ob eine endliche Halbgruppe eine Gruppe ist? (Sie dürfen die Aussage aus Teil (a) verwenden.)
88. (0 Punkte) Ist (Z4 , ) eine Gruppe? Ist (Z5 , ) eine Gruppe?
89. (2 Punkte) In einem dreidimensionalen Feld (aijk ) (0 ≤ i, j, k < 1024) sind Grauwerte
zwischen 0 und 1 gespeichert. Man möchte herausfinden, ob unter den Werten aijk mit
50 ≤ j ≤ 100, 30 ≤ k ≤ 70 und i + j + k = 140 ein Wert existiert, der die Schwelle 0,73
überschreitet. Wieviele Werte muss man durchsuchen?
90. (2 Punkte) Beweisen Sie, dass (Z5 \ {0}, ) und (Z4 , ⊕) isomorphe Gruppen sind.
91. (0 Punkte) Beweisen Sie, dass ein Halbgruppenhomomorphismus das neutrale Element,
sofern es existiert, auf ein neutrales Element abbilden muss.
92. Homomorphismen (3 Punkte). Welche der folgenden Abbildungen h : Σ∗ → N mit
Σ = {0, 1} sind Homomorphismen von (Σ∗ , ·) nach (N, +)?
(a) h1 (x) = die Anzahl der Nullen in x
(b) h2 (x) = |x| (die Länge von x)
(c) h3 (x) = die Anzahl der führenden Nullen (der Nullen, die am Anfang von x stehen)
93. Darstellung abstrakter Datentypen (Fortsetzung von Aufgabe 62, 0 Punkte)
I = {0, 1, 2, . . . , maxint} sei die Menge der natürlichen Zahlen, die in einer int-Variablen
gespeichert werden können. B sei die Menge aller Teilmengen von I mit höchstens 10
Elementen. Wir möchten solche Mengen im Computer darstellen, und wählen dafür
Folgen a = (a0 , a1 , . . . , a9 ) der Länge 10. A = I 10 sei die Menge dieser Folgen. (In der
Programmiersprache C oder Java kann man eine solche Folge als Feld int a[10];“
”
vereinbaren.) Denken Sie sich eine Darstellung für alle Elemente von B als Folgen aus
A aus. Definieren Sie die dazu passende Funktion f : A → B, die eine Folge a auf
die durch sie dargestellte Menge abbildet. Ist Ihre Funktion injektiv? Ist sie surjektiv?
Diskutieren Sie, welche Vorteile oder Nachteile eine injektive beziehungsweise surjektive
Darstellung haben kann.
13
Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 14. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 7. Februar 2008, 10 Uhr
94. (0 Punkte) Stellen Sie Rekursionen (und Anfangswerte) für folgende Anzahlen auf.
(a) Die Anzahl der Bitfolgen der Länge n, die keine drei aufeinanderfolgenden Nullen
enthalten.
(b) Die Anzahl der Bitfolgen der Länge n, die nicht das Muster 01 enthalten. (Es
ist einfacher, die Anzahl direkt zu bestimmen und dann dafür eine Rekursion
aufzustellen.)
(c) (schwer) Die Anzahl der Bitfolgen der Länge n, die nicht das Muster 010 enthalten.
95. Färbungen (0 Punkte). An einer ringförmigen Straße sind in regelmäßigen Abständen
n Mobilfunkstationen aufgestellt. Es stehen insgesamt m Frequenzen zur Verfügung,
und jede Station sendet auf einer dieser Frequenzen. Um Interferenzen zu vermeiden,
sollen keine zwei benachbarte Stationen auf derselben Frequenz senden. Bestimmen Sie
die Anzahl der möglichen Zuordnungen von Frequenzen zu Stationen.
96. (3 Punkte) Lösen Sie folgende Rekursionen
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(2
(0
(1
(0
(0
Punkte) fn = 7fn−1 − 10fn−2 + 3n , f0 = 0, f1 = 1.
Punkte) fn = 3 − 6fn−1 − 9fn−2 , f0 = 0, f1 = 1.
Punkt) fn = 2fn−1 − 1, f1 = 4.
Punkte) gn = 7gn−1 − 10gn−2 , g0 = 0, g1 = 1.
Punkte) hn = 13hn−2 + 12hn−3 , h1 = h2 = h3 = 1.
97. (0 Punkte) Die Folge, die mit f0 = 0, f1 = 1, f2 = 4, f3 = 12 beginnt, erfüllt eine
lineare homogene Rekursionsgleichung zweiter Ordnung. Bestimmen Sie f1000 .
98. (2 Punkte) Betrachten Sie den folgenden Algorithmus zum Sortieren von n ≥ 2 Zahlen:
(a) Zuerst wird mit 2n − 3 Vergleichen die größte und die zweitgrößte Zahl bestimmt.
(b) Anschließend werden die verbliebenen n − 2 Zahlen rekursiv mit dem gleichen
Verfahren sortiert.
Bestimmen Sie die Anzahl der Vergleiche, die der Algorithmus zum Sortieren von n
Zahlen benötigt.
99. (2 Punkte) Die Laufzeiten von zwei Algorithmen für dasselbe Problem bei einer Eingabe
der Größe n sind durch die folgenden Rekursionen gegeben:
fn = fn−1 + 10fn−2 + 8fn−3 und gn = 3gn−1 + 5gn−2 ,
für n ≥ 4. Welchen Algorithmus würden Sie vorziehen?
100. Starker Zusammenhang (2 Punkte)
Ein gerichteter Graph G = (V, E) heißt stark zusammenhängend, wenn es von jedem
Knoten u ∈ V zu jedem Knoten v ∈ V einen gerichteten Weg gibt. (Bei einem gerichteten Weg müssen die Kanten in der richtigen Orientierung durchlaufen werden.)
Zwei Knoten u und v heißen gegenseitig erreichbar wenn es einen gerichteten Weg von
u nach v und einen gerichteten Weg von v nach u gibt. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation, und ihre Äquivalenzklassen heißen starke Zusammenhangskomponenten.
Ist der Graph in Aufgabe 77 stark zusammenhängend? Bestimmen Sie seine starken
Zusammenhangskomponenten.
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Mathematik für Informatiker I, WS 2007/08 — 15. Übungsblatt
Freiwillige Übungsaufgaben ohne Punkte
101. Gibt es einen Graphen mit 5 Knoten und Graden 1,2,2,3,4? Gibt es einen Graphen
mit 4 Knoten und Graden 1,3,3,3? Gibt es einen Graphen mit 7 Knoten und Graden
2,2,2,3,3,5,5?
102. Der Petersen-Graph. Zeichnen Sie den Graphen G = (V, E) mit V = { A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} |
#A = 2 } und E = { {A, B} | A ∩ B = ∅}. Ist der Graph mit 4 Farben färbbar? Ist
der Graph bipartit? Zeichnen Sie den induzierten Untergraphen, der durch die Knotenmenge V 0 = {{1, 2}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 4}} bestimmt ist.
103. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Graphen und der Graph aus Aufgabe 102 isomorph
sind, indem Sie Sie Isomorphismen zwischen diesen Graphen angeben.
C
2
D
B
7
E
A
1
10
F
J
H
G
8
6
3
9
5
4
L1
R1
L2
R2
L3
R3
L4
R4
L5
R5
104. Bestimmen Sie alle 16 Spannbäume des vollständigen Graphen K4 .
105. Durchschnittsgraphen. Betrachten Sie die Menge M der 16 Kreise mit Radius r = 1,1
und den Mittelpunkten (i, j), für i, j = 0, 1, 2, 3. Zeichnen Sie den Graphen G = (V, E),
der für jeden Kreis k ∈ M einen Knoten vk enthält, und der aus den Kanten {vk , vl }
besteht, für die k ∩ l 6= ∅ ist.
106. Die Euler’sche Polyederformel. In einer ebenen Zeichnung des vollständigen bipartiten
Graph K3,3 müsste jede Fläche mindestens vier Kanten auf dem Rand haben. Zeigen
Sie, dass der Graph daher nicht planar sein kann.
107. Eine Paarung in einem Graphen ist eine Teilmenge von Kanten, die paarweise jeweils
keine gemeinsamen Knoten haben. Eine maximale Paarung (bezüglich ⊆) ist eine
Paarung, die nicht in einer größeren Paarung enthalten ist.
(a) Bestimmen Sie alle maximalen Paarungen im Weg P4 mit 4 Kanten.
(b) Wie viele maximale Paarungen haben die Graphen Pn , Cn , Kn , und Km,n ?
108. Zeigen Sie, dass ein planarer Graph mit höchstens 30 Kanten einen Knoten vom Grad
höchstens 4 enthalten muss.
109. Ein 6×6-Schachbrett kann mit 18 Dominosteinen, die jeweils
zwei benachbarte Felder bedecken, überdeckt werden, wie es
zum Beispiel in der Abbildung rechts angedeutet ist.
Eine der fünf vertikalen oder oder der fünf horizontalen Linien, die über das ganze Brett gehen, heißt Bruchstelle,
wenn sie nicht von einem Dominostein überbrückt wird. Im
Beispiel rechts ist die Bruchstelle durch einen Pfeil markiert.
Gibt es eine Überdeckung ohne Bruchstelle?
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