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Kombinatorik
Zufallsvariablen und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zusammenstellung bzw. Anordnung von Elementen
Kombinatorik
Permutationen
Variationen
Kombinationen
Zufallsexperimente und Ereignisse
Kausal-determinierte Experimente ! Zufallsexperimente
Elementarereignis und Ergebnisraum
Zufallsereignisse und ihre Verknüpfungen
Unvereinbare und Unabhängige Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Mathematische Wahrscheinlichkeit
Klassische Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•
•
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
•
•
ohne Wiederholung
mit Wiederholungen
Permutationen:
Zusammenstellungen, die alle n Elemente einer
Menge enthalten
Variationen:
Zusammenstellungen von k Elementen einer Menge von n Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Kombinationen:
Zusammenstellungen von k Elementen einer Menge von n Elementen ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge
Zufallsvariablen und Verteilungen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Fraktilen, Quantilen und Grenzen einer Verteilung
Maßzahlen einer Verteilung
Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Permutationen
Variationen
Zusammenstellungen, die alle n Elemente einer Menge enthalten
Zusammenstellungen von k Elementen einer Menge von n Elementen
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
ohne Wiederholung
ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen)
Elemente
n
Permutationen
r
r, g
r, g, b
1
2
3
r
rg gr
rgb rbg grb gbr brg bgr
Pn
Zug
1=1
2 = 1·2
6 = 1·2·3
Schüssel: rgb-Kugeln
r
1
Pn ' k i ' n!
n
g
b
3
2
g
b
r
b
r
g
3·2
3
b
g
b
b
g
r
3·2·1
i'1
(k)
Vn ' n@ (n&1)@ ÿ@ (n&k%1) '
A, T, G, C: P4 = 4! = 1·2·3·4 = 24
n!
(n&k)!
A, T, G, C: V4(3) = 4!/1! = 24 Triplets mit verschiedenen Basen
mit Wiederholungen
g=r
mit Wiederholungen (Ziehen mit Zurücklegen)
rgb rbg grb gbr brg bgr 3! = 6
rrb rbr rrb rbr brr brr 3!/2! = 3
Zug
n!
P̃ n '
r1! @ r2! @ ÿ@ rp!
Schüssel: rgb-Kugeln
r
1
2
A und G Purine, T und C Pyrimidine: P̃4;2,2 '4!/(2! @2!) '24/4 '6
3
r
g
rgb rgb
g
31
b
b
r
g
b
r
g
b
32
rgb
rgb
rgb
rgb
rgb
rgb
rgb
33
(k)
Ṽ n ' n k
(3)
A, T, G, C: Ṽ4 '43 '64 Triplets auch mit gleichen Basen
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Kombinationen
Kombinatorik - Zusammenfassung
Zusammenstellungen von k Elementen einer Menge von n Elementen
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
alle Elemente einer Menge 6 Permutation
ansonsten Variation oder Kombination
Reihenfolge berücksichtigt
6 Variation
Reihenfolge nicht berücksichtigt
6 Kombination
Wiederholungen ja oder nein
ohne Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen)
k=2
Schüssel: rgb-Kugeln
rg
gr
rb
br
(k)
(k)
Cn '
(3)
A, T, G, C: C4 '
4
3
'
Vn
'
Pk
n!
'
(n&k)! @k!
Anzahl der Anordnungen
(2)
gb
bg
Art der Zusammenstellung
(2)
C3 '
V3
6
' '3
P2 2
Anordnung
Anzahl
Permutation
n
k
4!
'4
(4&3)! @ 3!
ohne Wiederholung
Pn ' n!
mit Wiederholungen
P̃ n '
n!
r1! @ r2! @ ÿ@ rp!
Variation
mit Wiederholungen (Ziehen mit Zurücklegen)
k=2
(k)
Vn '
mit Wiederholungen
Ṽ n ' n k
Schüssel: rgb-Kugeln
rr
gg
rg
gr
bb
rb
br
gb
bg
6
n!
(n&k)!
ohne Wiederholung
(k)
(k#n)
(k>n möglich)
Kombination
(k)
C̃ n '
(5)
A, T, G, C: C̃4 '
4%5&1
8
'
5
5
n%k&1
k
'
8!
'56
5! @(8&5)!
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
(k)
n
k
(k)
n%k&1
k
ohne Wiederholung
Cn '
mit Wiederholungen
C̃ n '
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
(k#n)
(k>n möglich)
KRAFT
Zufallsexperimente und Ereignisse
Mathematische Wahrscheinlichkeit
Kausal-determinierte Experimente
Ergebnis eindeutig vorhersagbar (Fallzeit einer Kugel)
Axiome
1. P(A) $ 0
Zufallsexperimente
Ergebnis nicht eindeutig vorhersagbar (Münzwurf)
2. P(S) = 1
Ausführung eines Zufallsexperiments 6 Ergebnisse, Ereignisse
3. A und B unvereinbar, dann ist P(A + B) = P(A) + P(B)
Elementarereignis
Ergebnis bei einmaliger Ausführung eines Zufallsexperiments (Kopf,
Zahl)
4. Für die Folge A1, A2, ..., An, ... von unvereinbaren Ereignissen gilt:
P(A1 + A2 + ... + An + ...) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
Ergebnisraum
Menge S aller Elementarereignisse (SMünze = {Kopf, Zahl})
Folgerungen
Zufallsereignis (Ereignis) A
A ist Teilmenge des Ergebnisraums S. A tritt ein, wenn das eintretende Elementarereignis zur Teilmenge A gehört
A1 = i, A2 = {Kopf}, A3 = {Zahl}, A4 = {Kopf, Zahl} = S
Bei Kopf sind die Ereignisse A2 und A4 eingetreten
1. P( A ) = 1 ! P(A)
A und A sind unvereinbar (A @ A = i) und A + A = S
1 = P(S) = P(A + A ) = P(A) + P( A )
2. P(A) $ 0 und P( A ) $ 0, also 0 # P(A) # 1
3. Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0.
Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1.
Es gilt jedoch nicht, daß ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0
unmöglich eintreten kann. Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0
heißen fast unmöglich, Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1
heißen fast sicher.
Verknüpfung von Zufallsereignissen
A % B = A c B Kopf oder Zahl = S
A@B=A1B
Kopf und Zahl = i
A & B = A ( B S ohne Zahl = Kopf
A =S&A
Zahl ist Komplementärereignis von Kopf
Unvereinbare Ereignisse
A und B unvereinbar, wenn A @ B = i
4. Allgemeiner Additionssatz
P(A + B) = P(A) + P(B) ! P(A @ B)
Sicheres und Unmögliches Ereignis
Ist A = S, dann ist A das sichere Ereignis
Ist A = S = i, dann ist A das unmögliche Ereignis
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Klassische Wahrscheinlichkeit
GUGE:
MUGE:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Anzahl der günstigen unvereinbaren gleichwahrscheinlichen
Ereignisse
Anzahl der möglichen unvereinbaren gleichwahrscheinlichen
Ereignisse
10 Gewinnlose
40 rote
30 Nieten
100 Lose
30 Gewinnlose
60 blaue
30 Nieten
Abzählregel
P(A) '
GUGE
MUGE
P(Gewinn | rot) = 10/40 = 0.25
P(Gewinn @ rot) = 10/100 = 0.10
P(rot) = 40/100 = 0.4
P(Kopf) = 1/2 = 0.5 = 50%
P(Zahl) = 1/2 = 0.5 = 50%
P(Kopf oder Zahl) = 2/2 = 1 = 100%
P(Gewinn |rot) '
GUA, GUU, GUG, GUC 6 Alanin
4
4
1
'0.0625 '6.25%
P(Alanin) = (3) ' 3 '
16
4
Ṽ
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung daß A eingetreten ist:
P(Gewinn @rot) 0.10
'
'0.25
P(rot)
0.4
4
P(6er im Lotto) =
1
49
6
P(B| A)'
1
.7.15 @10&8 ,
'
13983816
Allgemeiner Multiplikationssatz
also ca. 1 : 14 Mio.
P(4er im Lotto) =
P(A@ B)
P(A)
P(A @ B) = P(A) @ P(B | A)
6
43
@
4
2
49
6
also ca. 1 : 1000 oder 0.1%
'
Unabhängige Ereignisse
13545
.9.86 @10&4 ,
13983816
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
B unabhängig von A, wenn P(A @ B) = P(A) @ P(B)
K2 = K1 @ K2 + K1 @ K2
P(K2) = 4/32 @ 3/31 + 28/32 @ 4/31 = 1/8 = 0.125 = 12.5%
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis aus
dem Ergebnisraum S eine reelle Zahl zuordnet.
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X:
F(x) = P(X # x)
Diskrete Zufallsvariablen
(!4 ... x]
Zufallsvariable X (Münze) mit den Realisationen: x1 = 0 (Kopf) und x2 =
1 (Zahl). Andere Zuordnungen sind genauso möglich.
I
x
Zufallsvariable Y (Würfel) mit Realisationen y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3, y4 = 4,
y5 = 5, y6 = 6.
X< b
b
Zufallsvariable Z (Ferkelzahl) mit der Anzahl der Ferkel pro Sau als
Realisationen. Es interessiert z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß eine Sau
mehr als 10 Ferkel wirft.
X< a
a<X< b
a
Stetige Zufallsvariablen
b
P(a < X # b) = P(X # b) ! P(X # a) = F(b) ! F(a)
Zufallsvariable X (Körpergröße von Studenten): X kann jeden Wert aus
einem bestimmten Intervall annehmen.
F(!4) = 0, F(+4) = 1
Zufallsvariable Y (Milchleistung von Kühen): 0#y#10000 kg/a
Zufallsvariable Z (Überlebenszeit von Ratten): Es interessiert z.B. die
Wahrscheinlichkeit, daß eine Ratte höchstens 3 Tage überlebt.
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Diskrete Zufallsvariablen
Münzwurf
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x)
1.0
F(x)
1.0
0.5
0.5
P(X = xi) = pi
pi für x' xi (i '1,2,ÿ,n)
f(x) ' P(X' x) '
0 sonst
Verteilungsfunktion
0
F(x) ' P(X#x) ' j f(x)
1
x
0
1
x
P(X = Kopf) = P(X = 0) = 0.5, P(X = Zahl) = P(X = 1) = 0.5
x i#x
f(x) '
Stetige Zufallsvariablen
0.5 für x '0,1
0
sonst
0
F(x) '
für x< 0
0.5 für 0# x< 1
1
für x$ 1
Verteilungsfunktion
x
F(x) ' P(X#x) '
m
Würfel
f(t)dt
&4
P(a <X#b) ' F(b)& F(a) '
b
m
f(x)dx
a
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte
f(x)
F(x)
1
1/6
5/6
2/3
)
1/2
f(x) ' F (x)
1/3
Fläche zwischen f(x) und x-Achse von !4 bis +4 ist 1.
1/6
%4
P(&4 <X#%4) ' F(%4) &F(&4) ' F(%4) '
m
f(x)dx ' 1
0 1
2
3
4
5 6 7 x
0 1
2
3
4
5 6
7 x
&4
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Rechteck- oder Gleichverteilung
f(x)
Fraktilen, Quantilen und Grenzen einer Verteilung
F(x)
1
K%-Fraktile, K%-Quantile oder K-te Perzentile
1
b-a
x-Wert, bei dem K% der Fläche zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichte
(oder der Wahrscheinlichkeitsfunktion) und der x-Achse erreicht werden
0.5
xK%
F(xK%) ' F(x1&") '
a
f(x) '
b
x
F(x) '
sonst
f(x)
für x< a
x &a
für a# x# b
b &a
1
m
&4
x
b
0
1
für a #x #b
b& a
0
a
f(x) dx ' K% '
F(x)
1
K%
K% = 1 - "
(100 - K )% = "
für x> b
0.5
x
x K%
x1- "
Normalverteilung
K
' 1& "
100
x 0.5
x K%
x1- "
x
Grenzen (Symmetrie um 0)
f(x)
F(x)
1
f(x)
K% = 1 - "
0.5
"/2
x
"/2
x
- c K%
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
0
c K%
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
x
KRAFT
Erwartungswert oder Mittelwert
Varianz und Standardabweichung
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
Var(X) ' F2 ' j (xi & µ)2 @ f(xi)
E(X) ' µ ' j xi @ f(xi)
n
n
i'1
i'1
Würfel:
Würfel:
F2 ' j
6
(i& 3.5)2 6.25% 2.25% 0.25% 0.25% 2.25% 6.25
'
'2.92
6
6
i'1
F ' F2 ' 2.92 '1.71
1
1
1
1
1
1 21
µ ' 1@ % 2@ % 3@ % 4@ % 5@ % 6@ '
' 3.5
6
6
6
6
6
6 6
Stetige Zufallsvariablen
%4
E(X) ' µ '
m
Stetige Zufallsvariablen
x @f(x) dx
%4
&4
Var(X) ' F2 '
Gleichverteilung:
%4
µ'
(x &µ)2 @f(x) dx
&4
b
x
1
1 b 2&a 2 (b% a)(b& a) (a% b)
xdx '
dx '
@
'
'
m b& a
b &a m
b &a
2(b &a)
2
2
&4
m
Gleichverteilung:
b
a
F2 '
Normalverteilung:
m
a
f(x)
x&
a% b
2
2
@
1
(b& a)2
dx '
b &a
12
Normalverteilung:
f(x)
F
:
F
x
:
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
x
KRAFT