4.¨Ubung (1.12.2015)

4.Übung (1.12.2015)
Wir verwenden den Spektralsatz für unbeschränkte normale Operatoren so wie in der Vorlesung formuliert (wenn auch noch nicht bewiesen).
31. Sei T ∈ C(H) normal wobei dim H ≥ 2. Zeige, dass ein abgeschlossener linearer Teilraum M von H
existiert mit
M ⊆ dom T ∩ dom T ∗ , T (M) ⊆ M, T ∗ (M) ⊆ M.
M �= {0}, M �= H,
32. Seien Hn , n ∈ N, Hilberträume und setze
∞
�
n=1
Zeige, dass
∞
�
�
�
2
Hn := (xn )∞
:
�x
�
<
∞
,
n
n=1
Hn
�∞
n=1
�
n=1
∞
�
�
∞
(xn )∞
,
(y
)
(xn , yn )Hn .
:=
n
n=1
n=1
n=1
Hn ein Hilbertraum ist.
33. Seien Hn , n ∈ N, Hilberträume und An ∈ B(Hn ), n ∈ N. Setze
∞
��
n=1
dom
An
��
∞
��
n=1
�∞
�∞
�
∞
(xn )∞
n=1 := (An xn )n=1 ,
∞
∞
�
�
�
�
�
An := (xn )∞
Hn :
�An xn �2Hn < ∞ .
n=1 ∈
n=1
Zeige, dass n=1 An ∈ C( n=1 Hn ). Weiters bestimme
ist genau dann wenn alle Operatoren An normal sind.
n=1
� �∞
n=1
�∗
�∞
An , und zeige dass n=1 An normal
34. Sei H ein separabler Hilbertraum und A ∈ C(H) normal. Finde eine höchstens abzählbare Familie �
endlicher positiver Borelmaße µn auf R mit kompakten Träger, und einen unitären Operator
U : n L2 (µn ) → H, sodaß
�
AU = U
Mn ,
n
2
wobei Mn der Multiplikationsoperator mit z in L (µn ) ist.
�∞
Hinweis. Zerlege zuerst H = n=1 ran E({z ∈ C : n − 1 ≤ |z| < n}), und dann weiter in Räume der
Gestalt cls{Ai (A∗ )j x : i, j = 0, 1, 2, . . .}.
35. Sei wieder H ein separabler Hilbertraum und A ∈ C(H) normal. Finde einen σ-endlichen Maßraum
(Ω, A, µ), eine meßbare Funktion φ : Ω → C, und einen unitären Operator V : L2 (µ) → H sodaß
AV = V Mφ , wobei Mφ den Multiplikationsoperator mit der Funktion φ in L2 (µ) bezeichnet.
In den folgenden Beispielen betrachten wir das Hamburgersche
Momentenproblem. Sei (sn )∞
n=0 eine
�
�
N
Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft dass det (si+j )i,j=0 > 0, N ∈ N0 . Auf dem Raum C[z] aller
Polynome mit komplexen Koeffizienten definiere eine quadratische Form [., .] als
N
��
n=0
αn z n ,
N
�
n=0
N
�
�
βn z n :=
si+j αi βj .
i,j=0
Sei S0 : C[z] → C[z] der Operator p(z) �→ zp(z), p ∈ C[z].
36. Zeige, dass [., .] auf C[z] ein positiv definites Skalarprodukt ist. Sei �H, (., .)� die Hilbertraumvervollständigung von �C[z], [., .]�. Zeige, dass der Operator S0 in H symmetrisch, dicht definiert, und
abschließbar ist.
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37. Betrachte S := S0 ∈ C(H). Sei H̃ ein Hilbertraum mit H ⊆ H̃ und A ein in H̃ selbstadjungierter
Operator mit A ⊇ S. Bezeichne mit EA das Spektralmaß von A, und sei µA das positive Maß
�
�
µA (Δ) := EA (Δ)1, 1 , Δ Borelmenge.
Zeige, dass
�
R
xn dµA (x) = sn ,
n ∈ N0 .
�
38. Sei µ ein positives Borelmaß auf R mit R xn dµ(x) = sn , n ∈ N0 . Finde einen Hilbertraum H̃ und eine
selbstadjungierte Erweiterung A von S in H̃ sodass µ = µA .
39. Ist der Operator S in H selbstadjungiert, so sind alle im vorletzten Beispiel konstruierten Maße µA
gleich.
�
40. Sei µ0 ein positives Borelmaß auf R mit kompaktem Träger, und sei sn := R xn dµ0 (x), n ∈ N0 . Zeige,
dass der entsprechende Operator S selbstadjungiert ist.
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