Lokale Quantenphysik

Lokale Quantenphysik
SS 2014
3. Aufgabenblatt
9. Sei kAk = sup{kAψk : ψ ∈ H, kψk = 1} die übliche Operatornorm eines beschränkten
Operators A auf einem Hilbertraum H. Beweise die “C ∗ -Eigenschaft” kA∗ Ak = kAk2 .
10. Sei π eine zyklische Darstellung einer C ∗ -Algebra A auf einem Hilbertraum H mit zyklischem Vektor Ω. Definiere ω(A) = hΩ, π(A)Ωi und sei πω die zu dem Zustand ω gehörige
GNS Darstellung von A. Zeige, dass π und πω unitär equivalent sind.
11. Sei Mn die C ∗ -Algebra der komplexen n × n Matrizen.
(i) Zeige, dass jedes lineare Funktional auf Mn als
ω(A) = Spur (P A)
geschrieben werden kann mit einer eindeutig bestimmten Matrix P .
(ii) Zeige, dass das Funktional positiv auf Mn genau dann wenn P eine positive Matrix ist.
(iii) Sei ω positiv und normiert, d.h. ω(1) = 1. Zeige, dass die GNS Darstellung πω genau
dann irreduzibel ist wenn P ein eindimensionaler Projektor ist.
(iv) Zeige, daß alle irreduziblen Darstellungen von Mn unitär äquivalent sind.
12. Betrachte jetzt die Gesamtheit aller unendlichen Matrizen, die als Linearkombinationen
von Tensorprodukten der Gestalt
A1 ⊗ · · · ⊗ AN ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · ·
geschrieben werden können mit Ai ∈ M2 , aber N ∈ N beliebig. (Solche Matrizen
beschreiben die Observablen einer unendlichen Spinkette.) Sei {ϕi } eine konvergente Folge
von normierten Vektoren in C2 , limi→∞ ϕi =: ϕ∞ , kϕi k = 1. Definiere ein positives, lineares
Funktional ω auf der Algebra durch
ω(A1 ⊗ · · · ⊗ AN ⊗ 1 · · · ) =
N
Y
hϕi , Ai ϕi i
i=1
und lineare Fortsetzung auf die Linearkombinationen solcher Matrizen.
Zeige: Ist ω 0 ein solches Funktional, gegeben durch eine andere Folge {ϕ0i }, so sind die GNSDarstellungen πω und πω0 unitär äquivalent genau dann, wenn die Limiten der Vektorfolgen
{ϕi } und {ϕ0i } übereinstimmen, d.h. ϕ∞ = ϕ0∞ .
P
13. Sei H ein Hilbertraum mit ON Basis {ψi }i=1,2,... , ρi > 0 positive Zahlen mit i ρi = 1 und
ρ die Dichtematrix
X
ρ=
ρi |ψi ihψi |.
i
Betrachte den Zustand
ωρ (A) = SpurρA
auf A = B(H). Nach der GNS Konstruktion können wir schreiben
ωρ (A) = hΩρ , πρ (A)Ωρ i
mit einer Darstellung πρ auf einem Hilbertraum Hρ und einem zyklischen Vektor Ωρ ∈ Hρ .
Zeige, dass πρ unitär äquivalent ist zu der Darstellung π(A) = A ⊗ 1 auf H ⊗ H.