SS 04 10.¨Ubung - (IGPM) | RWTH Aachen

Rheinisch Westfälische Technische Hochschule
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Numerische Analysis II — SS 04
Prof. Arnold Reusken — Mario S. Mommer
10. Übung
Aufgabe 1: Quadraturformeln: Generalisierung
Eine Möglichkeit, Quadraturformeln zu berechnen, ist das Integral als lineares Funktional zu betrachten und
dieses zu approximieren. Ein lineares Funktional auf einem Raum V ist eine lineare Funktion L : V → R.
a.) Zeige, dass folgende Funktionen lineare Funktionale darstellen.
1.) L(x0 ) : C[a, b] → R, L(x0 ) f = f (x0 ), mit x0 ∈ [a, b].
Rb
2.) I : C[a, b] → R, I(f ) = a f (x)dx.
Rb
3.) Ig : C[a, b] → R, Ig (f ) = a f (x)g(x)dx, mit g ∈ C[a, b] fest.
4.) Jede Quadraturformel auf C[a, b].
5.) Der Fehler einer Quadraturformel.
Sei L : C[a, b] → R ein lineares Funktional. Wir wollen L mit Hilfe der linearen Funktionale L1 , L2 , . . . , Ln :
C[a, b] → R approximieren, dass heißt, wir wollen Zahlen a1 , a2 , . . . , an finden, so dass
Lf ≈ L̃f :=
n
X
ai Li f.
(1)
i=1
Dazu wählen wir einen weiteren n-dimensionalen Raum V ⊂ C[a, b] und fordern, dass
Lg = L̃g =
n
X
ai Li g
(2)
i=1
für alle g ∈ V . Die Hoffnung ist nun, dass die Näherung (1) gut ist wenn f gut aus V approximierbar ist.
b.) Nimm an, dass bezüglich einer Norm k · k auf C[a, b] folgendes gilt. Es existieren positive Konstanten CL ,
C1 , C2 , . . . , Cn , so dass für alle f ∈ C[a, b], |Lf | ≤ CL kf k, und |Li f | ≤ Ci kf k. Zeige, dass dann C ∗ > 0
existiert, so dass
|Lf − L̃f | ≤ C ∗ inf kf − gk.
g∈V
c.) Sei {g1 , g2 , . . . , gn } eine Basis von V . Zeige, dass es entsprechende
und nur dann gibt, wenn die Determinante der Matrix

L1 g1 L1 g2 · · ·
 L2 g1 L2 g2 · · ·

G = [Li gj ] = 
···
···
···
Ln g1 Ln g2 · · ·
Koeffizienten a1 , a2 , . . . , an in (2) dann

L1 gn
L2 gn 

··· 
Ln gn
ungleich Null ist. (Hinweis: Diese Matrix nennt man die Gram-Matrix von {L1 , . . . , Ln } und {g1 , . . . , gn }.)
d.) Stelle ein Gleichungssystem auf, dessen Lösung die Gewichte der 38 -Regel sind.
Punkte: 3+2+5+3
Aufgabe 2: Spezielle Quadraturformeln
Sei f ∈ C[ 12 , 32 ]. Finde Stützstellen x1 , x2 , x3 und gewichte ξ1 , ξ2 , ξ3 so, dass
3
X
i=1
ξi f (xi ) ≈
Z
3
2
ln(x)f (x)dx
(3)
1
2
und zwar so, dass (3) exakt ist wenn f ein Polynom vom Grad ≤ 2 ist.
Punkte: 3
Aufgabe 3:
Sei f ∈ C[0, 1] stetig mit f (x) + f (1 − x) = 1 für alle x ∈ [0, 1].
R1
a.) Zeige, dass das Integral 0 f (x)dx mit Hilfe der summierten Trapezregel exakt berechnet werden kann.
b.) Bedeutet das, dass f ein Polynom ist? Begründe deine Antwort.
Punkte: 2+2
Sonstiges:
• Die Lösungen der schriftlichen Aufgaben (mit Namen und Matrikelnummern versehen) können bis Fr. 9.7,
10:00 Uhr in den Kasten vor Raum 149 im Hauptgebäude eingeworfen werden. Bitte zu zweit abgeben.
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I (WS 2004/2005) zu betreuen.
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