Exponential- und Logarithmusfunktionen

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Exponential- und Logarithmusfunktionen
KOMPETENZHEFT ZU EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN
1. Aufgabenstellungen
Aufgabe 1.1. Bestimme die Parameter a und c der dargestellten Exponentialfunktion f (x) = c · ax .
a)
b)
c)
Aufgabe 1.2. Ordne den beiden Graphen jeweils die passende Funktionsgleichung aus A bis D zu.
Datum: 29. August 2017.
1
A
y(x) = 1,2x + 1
B
y(x) = 2x − 2
C
y(x) = 0,8x − 2
D
y(x) = 0,5x + 1
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Aufgabe 1.3. Die Gerüchteküche brodelt. Die Anzahl an Personen, die ein Gerücht nach t Stunden
kennen, wird näherungsweise durch folgende Funktion a beschrieben:
a(t) = 2 · 43·t
a) Wie viele Personen kennen zu Beginn das Gerücht?
b) Wie lang dauert es bis sich die Anzahl vervierfacht?
c) Wie viele Personen kennen das Gerücht nach 30 Minuten?
Aufgabe 1.4.
Bauer Waldner weiß, dass sich der Holzbestand seines Waldes um ca. 2,7%
pro Jahr bezogen auf das jeweilige Vorjahr vermehrt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der Holzbestand
36 000 m3 .
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung für diejenige Funktion f auf, die den Holzbestand in Abhängigkeit von der Zeit in Jahren angibt.
Aufgabe 1.5.
Auf einer österreichischen Transitroute wurden im Jahr 2003 insgesamt
1 700 000 Fahrten gezählt. Im Jahr 2011 waren es bereits 2 006 000 Fahrten.
– Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Anzahl der Fahrten auf dieser
Route mit einer Exponentialfunktion der Form y(t) = a · bt beschreibt.
t . . . Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2003
y(t) . . . Zahl der jährlichen Fahrten zur Zeit t
Aufgabe 1.6.
Die Zahl der Verletzungen beim Schifahren ist rückläufig. Sie nimmt pro
Jahr um ca. 2% im Vergleich zum Vorjahreswert ab. Im Jahr 2009 gab es österreichweit etwa 66 200
Verletzungen.
– Erstellen Sie eine Funktion, mit der Sie die Anzahl der Verletzungen beim Schifahren in Abhängigkeit von der Zeit t modellieren können.
– Berechnen Sie die ungefähre Zahl der Verletzungen im Jahr 2014.
Die Anzahl der Neuronen (in Milliarden) in der Großhirnrinde in AbhängigAufgabe 1.7.
keit vom Lebensalter kann durch folgende Funktionsgleichung berechnet werden:
N (t) = e3,05−0,00145·t
– Formen Sie die gegebene Funktionsgleichung auf die Form N (t) = N0 · at um.
Aufgabe 1.8. Der Zerfall von radioaktivem Jod 131 wird näherungsweise durch folgende Funktion
beschrieben:
N (t) = N0 · e−0,071 92·t
. . . vorhandene Jodmenge nach t Tagen
a) Erkläre, warum N0 die zu Beginn vorhandene Menge ist.
2
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b) Berechne, wie viel Prozent der vorhandenen Menge pro Tag zerfallen.
c) Berechne, wie viel Prozent der vorhandenen Menge pro Woche zerfallen.
d) Lukas behauptet, dass nach 40 Tagen noch mehr als die Hälfte der Ausgangsmenge vorhanden
ist. Begründe, ob seine Aussage stimmt.
Aufgabe 1.9. Der Temperaturverlauf eines aus dem Kühlschrank entnommenen Getränks wird
durch folgende Funktion beschrieben:
f (t) = 15 · 1 − e−0,038·t + 7
. . . Temperatur in ◦ C nach t ≥ 0 Minuten
a) Berechne die Temperatur des Getränks bei
Entnahme aus dem Kühlschrank.
b) Berechne die Temperatur nach 10, 30, 50 und
70 Minuten.
c) Begründe, welchem Wert sich die Temperatur
des Getränks annähert.
d) Beschrifte die vertikale Achse im nebenstehenden Koordinatensystem geeignet und
zeichne den Funktionsgraphen ein.
Aufgabe 1.10. Ein Fass mit Volumen V = 60 l ist vollständig mit destilliertem Wasser (ohne Salz)
gefüllt. Salzwasser mit einer Konzentration von 25 g/l wird konstant in das Fass gepumpt, wodurch
das Fass durchgehend überläuft.
Die im Fass vorhandene Salzmenge (in g) zum Zeitpunkt t (in Minuten) wird näherungsweise durch
folgende Funktion beschrieben:
S(t) = c · (1 − e−0,08·t ) + d
a) Bestimme die Parameter c und d.
b) Berechne, wie viel Gramm Salz sich nach 10 Minuten im Fass befinden.
Aufgabe 1.11.
Berechne ohne den Taschenrechner:
Berechne mit dem Taschenrechner:
• log2 (16) =
• ln(50) =
• ln(e) =
• lg(50) =
• lg(1 000 000) =
• log2 (50) =
• log42 (1) =
Warum ist lg(50) < ln(50) < log2 (50)?
3
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Aufgabe 1.12.
Einem Patienten werden Medikamente mit einer bestimmten wirksamen
Substanz verabreicht.
Die Abnahme der Konzentration W der wirksamen Substanz im Blut kann mit der folgenden Funktion W beschrieben werden:
W (t) = 45 · e−0,223·t
t . . . Zeitdauer nach Einnahme des Medikaments in Stunden (h)
W (t) . . . Konzentration der wirksamen Substanz zur Zeit t in Nanogramm pro Milliliter (ng/ml) Blut
– Formen Sie die gegebene Gleichung nach der Zeit t um.
– Berechnen Sie diejenige Zeit, nach der noch 20% der ursprünglichen Konzentration vorhanden sind.
Aufgabe 1.13.
Für die Herstellung von Joghurt werden Milchsäurebakterien verwendet.
Das Wachstum der Milchsäurebakterien kann durch die folgende Funktion N beschrieben werden:
N (t) = 20 · 1,023 37t
. . . Bakterienmasse in Mikrogramm (µg) nach t Minuten
– Lies das prozentuelle Wachstum pro Minute ab.
– Berechne die Masse der Bakterien nach 1 Stunde in Gramm.
– Begründe, warum der nachstehend dargestellte Rechenschritt falsch ist.
a
= 1,023 37t
20
log(a)
= t · log(1,023 37)
log(20)
Aufgabe 1.14.
Die Höhe eines Strauches wird in den ersten Tagen nach dem Auspflanzen
durch die Funktion h beschrieben:
t . . . Zeit in Tagen (d)
0,03·t
h(t) = 0,08 · e
für 0 ≤ t < 55
h(t) . . . Höhe des Strauches in Metern (m) zur Zeit t
a) Berechne, nach wie vielen Tagen der Strauch eine Höhe von 40 cm aufweist.
b) Die Funktionsgleichung der Funktion h wurde fehlerhaft logarithmiert:
lg(h(t)) = lg(0,08) + 0,03 · lg(e) + t · lg(e)
Stelle die logarithmierte Gleichung richtig.
Es wird ein Kuchen aus Hefeteig gebacken. Für den Teig benötigt man ein
Aufgabe 1.15.
sogenanntes „Dampfl“ aus Hefe, warmer Milch und Zucker. Diese Zutaten werden verrührt und in
ein 12 cm hohes zylindrisches Gefäß gegeben.
Man lässt das Gemisch einige Zeit t in warmer Umgebung ruhen. Die Höhe des Dampfls im Gefäß
beträgt zu Beginn 4 cm. Das Dampfl dehnt sich durch die Wärme aus.
Nach der Zeit von 11 Minuten erreicht das Dampfl eine Höhe von 7 cm. Dieses „Aufgehen des Dampfls“ kann mit dem Modell des exponentiellen Wachstums beschrieben werden:
4
1.1 a) f (x) = 15 · 1,2x
1.2 Oben: D
b) f (x) = 200 · 0,8x
5
c) f (x) = −16 · 0,5x
Unten: B
1.3 a) 2 Personen
b) 1/3 h = 20 min
1.4 f (t) = 36 000 · 1,027t ,
c) 16 Personen
t . . . Zeit (in Jahren),
f (t) . . . Holzbestand (in m3 ) nach t Jahren
1.5 y(t) = 1 700 000 · 1,0209...t
1.6 A(t) = 66 200 · 0,98t ,
A(5) ≈ 59 840 Verletzungen im Jahr 2014
1.7 N (t) = 21,11... · 0,998 55...t
1.8 a) N (0) = N0 · e0 = N0 , also ist N0 die vorhandene Jodmenge zum Zeitpunkt t = 0.
b) 6,93...%
c) 39,55...%
d) Die Aussage stimmt nicht. Es sind nur mehr rund 5,6% vorhanden.
1.9 a) f (0) = 7◦ C
b) f (10) ≈ 11,74◦ C,
c) lim e−0,038·t = 0
f (30) ≈ 17,20◦ C,
=⇒
t→∞
f (50) ≈ 19,76◦ C,
f (70) ≈ 20,95◦ C
lim f (t) = 15 · (1 − 0) + 7 = 22◦ C
t→∞
d)
ln(e) = 1,
1.11 log2 (16) = 4,
d=0
1.10 a) c = 1500,
b) ≈ 826 g
lg(1 000 000) = 6,
log42 (1) = 0,
ln(50) = 3,912...,
lg(50) = 1,698..., log2 (50) = 5,643...
ln W
45
1.12 t =
t = 7,217... h ≈ 7 h 13 min
−0,223
1.13 Wachstum um 2,337% pro Minute.
≈ 8 · 10−5 g
Linke Seite müsste log
1.14 a) Nach rund 54 Tagen hat der Strauch eine Höhe von 40 cm.
1.15 λ ≈ 0,051
a
20
oder log (a) − log (20) sein.
b) lg(h(t)) = lg(0,08) + 0,03 · t · lg(e)
Die Höhe wächst um rund 5,2% pro Minute.
– Bestimmen Sie aus den gegebenen Daten die Konstante λ auf 3 Dezimalen gerundet.
– Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Höhe pro Minute wächst.
h(t) = h0 · e
h(t) . . . Höhe des Dampfls zum Zeitpunkt t in Zentimetern (cm)
t . . . Zeit in Minuten (min)
λ·t
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2. Exponentialfunktionen
Potenzen und Wurzeln
An dieser Stelle empfehlen wir dir das Arbeitsblatt Arbeitsblatt „Potenzen und Wurzeln“.
Exponentialfunktion
Für jedes a > 0 gibt es die Exponentialfunktion mit Basis a:
f (x) = ax .
Sie hat besondere Eigenschaften:
1) a0 = 1.
2) ax+y = ax · ay , x, y ∈ R.
3) Für a > 1 ist sie streng monoton steigend, und für 0 < a < 1 ist sie streng monoton fallend:
x
2x
x
0,5x
0
1
0
1
1
2
1
0,5
2
4
2
0,25
3
8
3
0,125
−1
0,5
−1
2
−2
0,25
−2
4
−3
0,125
−3
8
Welche Art von Funktion erhalten wir mit a = 1?
Damit hat sie dann auch weitere Eigenschaften, die du vom Rechnen mit Potenzen kennst:
4) an = |a · a · a{z· . . . · a}, n ∈ N.
a wird n Mal mit sich selbst multipliziert.
n Faktoren
5) a−n
6) a
m
n
1
1
= n =
, n ∈ N.
a
a
·
a
·
a
·
.
.
.
·
a
|
{z
}
=
√
n
n Faktoren
am ,
7) (ax )y = ax·y ,
n ∈ N, m ∈ Z.
Also jene Zahl, die am ergibt, wenn man sie n Mal mit sich selbst multipliziert.
x, y ∈ R.
6
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Unterschied zwischen Exponentialfunktion und Potenzfunktion
Bei der Exponentialfunktion f (x) = ax ist also die Basis a eine bestimmte, positive Zahl.
Die Variable x befindet sich im Exponenten.
Bei der Potenzfunktion g(x) = xa ist es genau umgekehrt: Der Exponent a ist eine bestimmte
Zahl. Die Variable x ist die Basis der Potenz.
Vergleiche 302 mit 230 . Wie sieht es mit 1002 und 2100 aus? Darum ist uns diese Unterscheidung so wichtig. . .
Beispiel 2.1. Wir falten ein Blatt Papier mit Dicke d = 0,1 mm. Wie dick ist der Papierstapel nach
einer Faltung, zwei Faltungen, drei Faltungen oder allgemein nach n Faltungen?
h(n) . . . Dicke des Papierstapels nach n Faltungen
h(1) = 21 · 0,1 mm = 0,2 mm
h(2) = 2 · h(1) = 22 · 0,1 mm = 0,4 mm
h(3) = 2 · h(2) = 23 · 0,1 mm = 0,8 mm
..
.
h(n) = 2n · 0,1 mm
Wenn wir das Papier 42 Mal falten können, hat der Papierstapel eine Höhe von
h(42) = 242 · 0,1 mm = 242 · 0,1 · 10−6 km ≈ 439 805 km.
Das ist mehr als die Entfernung von der Erde zum Mond.
Beispiel 2.2. Das Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 2%. Zu Beginn sind 300 e auf
dem Sparbuch. Stelle eine Gleichung jener Funktion auf, die das Kapital in Abhängigkeit von der
Spardauer beschreibt.
Lösung. K(n) . . . Kapital nach n Jahren
Erinnere dich: Vergrößern um 2% ↔ Vergrößern auf 102% ↔ Multiplikation mit 102% = 1,02
K(1) = 300 · 1,02 = 306 e
K(2) = K(1) · 1,02 = 300 · 1,022 = 312,12 e
K(3) = K(2) · 1,02 = 300 · 1,023 ≈ 318,36 e
..
.
K(n) = 300 · 1,02n
7
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Beispiel 2.3. Die Anzahl an Bakterien in einer Bakterienkultur wächst exponentiell. Die vorhandene
Anzahl an Bakterien nach t Stunden wird näherungsweise durch folgende Funktion B beschrieben:
B(t) = 130 · 1,008t
a) Welche Bedeutung haben die Zahlen 130 und 1,008 im Sachzusammenhang?
b) Um wie viel Prozent vermehren sich die Bakterien täglich?
c) Wie viele Bakterien sind nach 30 Tagen vorhanden?
Lösung. a) B(0) = 130 · 1,0080 = 130 ist die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t = 0. Mit jeder
Stunde vermehrt sich die Anzahl auf 1,008 = 100,8% des vorherigen Werts. Pro Stunde wächst
die Anzahl der Bakterien also um 0,8%.
b) 1,00824 = 1,2107... = 121,07...%. Pro Tag vermehren sich die Bakterien also um rund 21,07...%.
c) B(30 · 24) = 130 · 1,008720 ≈ 40 321. Nach 30 Tagen sind rund 40 321 Bakterien vorhanden.
Zinseszinsen
Eine (großzügige) Bank bietet dir auf dein Sparbuch mit Kapital K jährlich 100% Zinsen.
Eine andere Bank bietet dir für jedes Halbjahr 50% Zinsen an. Welches Angebot ist besser?
Einmal 100% Zinsen: K · (100% + 100%) = K · (1 + 1) = K · 2
Zweimal
100%
2
Zinsen: K · (100% +
100% 2
)
2
= K · (1 + 12 )2 = K · 2,25
Mit zweimal 50% Zinsen wird das Kapital also insgesamt um 125% vergrößert. Das liegt daran,
dass die Zinsen von der ersten Verzinsung wieder verzinst werden („Zinseszinsen“).
Erhältst du monatlich ein Zwölftel der Jahreszinsen, steigst du noch besser aus:
12 Mal
100%
12
Zinsen: K · (100% +
100% 12
)
12
= K · (1 +
1 12
)
12
= K · 2,613...
Je kürzer der Zeitraum, umso besser ist die Gesamtverzinsung:
365 Mal
100%
365
Zinsen: K · (100% +
100% 365
)
365
= K · (1 +
8
1 365
)
365
= K · 2,714...
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Eulersche Zahl
Die Zahlen an = (1 + n1 )n werden größer, wenn n größer wird, bleiben aber unter dem Wert 3:
a < a2 <
1
|{z}
=2
|{z}
=2,25
a
<
3
|{z}
=2,37...
a
4
|{z}
< . . . ≤ 3.
=2,44...
Diese Zahlen streben der sogenannten Eulerschen Zahl e zu. Kurz schreiben wir dafür auch
lim
n→∞
1
1+
n
n
= e = 2,718281...
und sprechen:
„Der Grenzwert (oder Limes, wie limit im Englischen) von (1 + n1 )n für n gegen unendlich ist e.“
Annäherung mit dem Taschenrechner
Wie groß muss n sein, damit an und e bis zur vierten Nachkommastelle übereinstimmen?
Die Exponentialfunktion mit Basis e hat mathematisch besonders schöne Eigenschaften. Wir werden
bei Aufgabenstellungen daher immer wieder auf Funktionen der Bauart
f (x) = eλ·x
oder g(x) = e−λ·x ,
λ > 0,
stoßen. Tatsächlich sind das genau die gleichen Exponentialfunktionen wie zuvor:
Wechsel der Basis
Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktion mit Basis e.
Erkläre, warum eλ > 1 für alle Zahlen λ > 0 gilt.
Erkläre: Wenn λ > 0 ist, dann ist
f (x) = eλ·x = eλ
x
= ax
eine Exponentialfunktion mit Basis a = eλ > 1, und
g(x) = e−λ·x = e−λ
x
= ax
eine Exponentialfunktion mit Basis a = e−λ =
1
< 1.
eλ
Beispiel 2.4. Der Zerfall von radioaktivem Polonium 218 wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:
N (t) = N0 · e−0,227 26·t
. . . vorhandene Menge Polonium 218 nach t Minuten
a) Erkläre, warum N0 die zu Beginn vorhandene Menge ist.
b) Wandle die Funktion um in die Bauart N (t) = N0 · at und bestimme, wie viel Prozent der Atome
pro Minute zerfallen.
9
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
c) Berechne, wie viel Prozent der Ausgangsmenge nach einer halben Stunde noch vorhanden ist.
Lösung. a) N (0) = N0 · e0 = N0 , also ist N0 die zum Zeitpunkt
t = 0 vorhandene Menge.
c
b·c
b
um:
b) Wir formen die Gleichung mit der Rechenregel a = a
N (t) = N0 · e−0,227 26
t
= N0 · 0,7967...t
Pro Minute reduziert sich die vorhandene Menge also auf 79,67...% der vorherigen Menge.
Es zerfallen somit 100% − 79,67...% = 20,32...% der Atome pro Minute.
c) Es gilt:
N (30) = N0 · e−0,227 26·30 = N0 · 0,001 094... = N0 · 0,1094...%
Nach einer halben Stunde sind nur mehr 0,1094...% von der Ausgangsmenge vorhanden.
Monotonie und untere Schranke
Welchem Wert nähert sich an an, wenn a zwischen 0 und 1 liegt und n immer größer wird?
Erkläre die folgenden Umformungen:
·a
0<a<1
=⇒
a2 < a
·a
=⇒
a3 < a2
·a
=⇒
a4 < a3
·a
=⇒
···
Erkläre damit die folgende Aussage: „Je größer der Exponent n ist, umso kleiner ist an .“
Berechne die folgenden Potenzen mit dem Taschenrechner:
Ist 0,51000 wirklich 0?
0,510 =
0,530 =
0,5100 =
0,51000 =
Erkläre, warum an für jedes noch so große n eine positive Zahl ist.
Grenzwert
Ist 0 < a < 1, dann werden die Zahlen a, a2 , a3 , . . . immer kleiner und kommen der Zahl 0 beliebig
nahe. Wir schreiben dafür auch kurz
lim an = 0.
n→∞
Beispiel 2.5. Nimmst du ein Getränk aus dem Kühlschrank und lässt es geduldig vor dir stehen,
nähert sich die Temperatur des Getränks immer mehr der Raumtemperatur an.
Der Temperaturverlauf des Getränks kann dann durch eine Funktion der folgenden Bauart beschrieben werden:
f (t) = 19 · 1 − e−0,016·t + 6
. . . Temperatur in ◦ C nach t ≥ 0 Minuten
a) Berechne die Temperatur des Getränks bei Entnahme aus dem Kühlschrank.
b) Berechne die Temperatur nach einer halben Stunde und die Temperatur nach einer Stunde.
c) Begründe, welchem Wert sich die Temperatur des Getränks annähert.
10
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Lösung. a) Die Temperatur zu Beginn (t = 0) beträgt
f (0) = 19 · 1 − e0 + 6 = 19 · 0 + 6 = 6 ◦ C.
b) Temperatur nach 30 bzw. 60 Minuten:
f (30) = 19 · 1 − e−0,016·30 + 6 = 13,24... ◦ C.
f (60) = 19 · 1 − e−0,016·60 + 6 = 17,72... ◦ C.
c) Wir überlegen uns, welchem Wert sich f (t) annähert, wenn t immer größer wird:
lim e−0,016·t = lim 0,984...t = 0
t→∞
t→∞
=⇒
lim f (t) = 19 · (1 − 0) + 6 = 25 ◦ C.
t→∞
Die Temperatur des Getränks nähert sich also der Raumtemperatur von 25 ◦ C an.
Exponentialfunktion mit Parametern
Wir interessieren uns für das Verhalten der Funktion
f (x) = c · ax + d.
Ist die Funktion streng monoton wachsend oder streng monoton fallend?
Was passiert mit den Funktionswerten, wenn wir für x immer größere Zahlen einsetzen?
Macht es für die Beantwortung der beiden Fragen einen Unterschied, ob . . .
. . . a > 1 oder 0 < a < 1 ist?
. . . c > 0 oder c < 0 ist?
. . . d > 0 oder d < 0 ist?
Überprüfe deine Vermutungen in GeoGebra: Exponentialfunktion.ggb
Exponentielles Wachstum ist bei praktischen Anwendungen meist nur in einem begrenzten Zeitraum
realistisch.
Erinnere dich an das Beispiel, bei dem ein Blatt Papier immer wieder gefaltet wird.
Stellen wir uns nun folgendes Szenario vor: Wir setzen in einem Teich ein paar Fische aus. Die Fische
finden dort beste Lebensbedingungen vor: Es gibt ausreichend Nahrung, keine Konkurrenz oder gar
Raubfische. Was glaubst du, wie sich die Fischpopulation über einen längeren Zeitraum entwickeln
würde?
Beispiel 2.6. Die Fischpopulation in einem Teich folgt näherungsweise einem logistischen Wachstum:
P0 · K
. . . Fischpopulation nach t Monaten
P (t) =
P0 + (K − P0 ) · e−0,25·t
11
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Der Funktionsgraph ist in der folgenden Grafik dargestellt.
a) Begründe anhand der Funktionsgleichung, warum
P0 = P (0) ist.
Also die Population zu Beginn.
b) Begründe anhand der Funktionsgleichung, warum
K = lim P (t) ist.
K steht für „Kapazitätsgrenze“.
t→∞
c) Lies die Parameter P0 und K aus der Grafik ab.
d) Berechne die Größe der Fischpopulation nach
2 Jahren.
Hast du eine Idee, warum der zeitliche Verlauf tatsächlich ungefähr so aussehen könnte?
Lösung. a) P (0) =
P0 · K
P0 · K
=
= P0 .
P0 + (K − P0 ) · 1
K
1
b) lim e− 4 ·t = lim 0,7788...t = 0
t→∞
=⇒
t→∞
lim P (t) =
t→∞
P0 · K
= K.
P0
c) P0 = 100, K = 2000.
d) P (24) ≈ 1910, also besteht die Fischpopulation nach 2 Jahren aus rund 1910 Fischen.
3. Logarithmusfunktionen
Ein Kapital von 300 e wächst jährlich um 2%. Das Kapital nach n Jahren beträgt also
K(n) = 300 · 1,02n .
Wie viele Jahre dauert es bis das Kapital auf 1 Million e anwächst?
Mathematisch ausgedrückt: Welche Zahl n ist eine Lösung der Gleichung
300 · 1,02n = 1 000 000 ?
Annäherung mit dem Taschenrechner
Wir tasten uns langsam heran:
;
;
K(10) ≈ 366 e
K(500) ≈ 5 986 971 e
;
;
K(100) ≈ 2173 e
K(400) ≈ 826 399 e
K(409) ≈ 987 624 e
12
;
;
K(1000) ≈ 1,2 · 1011 e
K(410) ≈ 1 007 376 e
Mathematik macht Freu(n)de
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Es würde also rund 410 Jahre dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst.
In Zukunft wollen wir solche Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable im Exponenten vorkommt,
auch ohne Probieren lösen können.
Logarithmus
Die Lösung x der Gleichung ax = b heißt Logarithmus von b
zur Basis a:
ax = b
⇐⇒
x = loga (b)
a > 0, a 6= 1, b > 0
Sprechweise: „x ist der Logarithmus von b zur Basis a.“
Berechnung von Logarithmen
Wenn du loga (b) berechnen möchtest, überlege dir am besten: a? = b.
„a hoch welche Zahl ergibt b?“
Die Zahl loga (b) erfüllt also aloga (b) = b.
„a hoch“ und „Logarithmus zur Basis a“ heben einander auf.
Beispiel 3.1. Wir berechnen ein paar Logarithmen von Hand:
1)
2)
3)
4)
log10 (1000) = 3, weil 103 = 1000.
log2 (16) = 4, weil 24 = 16.
log7 (49) = 2, weil 72 = 49.
log2 (0,5) = −1, weil 2−1 = 211 = 0,5.
5)
6)
7)
8)
√
√
log11 ( 11) = 12 , weil 111/2 = 11.
loge (e2 ) = 2, weil e2 = e2 .
logb (b) = 1, weil b1 = b.
logb (1) = 0, weil b0 = 1.
Potenz und Logarithmus mit gleicher Basis
Michaela fragt Luzia: „3 hoch welche Zahl ergibt 20?“
Luzia antwortet: „Naja, 32 = 9 und 33 = 27, was du suchst liegt
also irgendwo zwischen 2 und 3. Die goldene Mitte 2,5 ist noch zu
√
√
5
wenig, weil ja 32,5 = 3 2 = 243 < 256 = 16.
Eigentlich ist der Logarithmus für genau solche Fragen gemacht.
Die gesuchte Zahl ist log3 (20), weil 3log3 (20) = 20.“
Michaela meint: „Ja gut, aber welche Zahl ist jetzt log3 (20)?“
Kannst du das Gespräch anhand der Zeichnung rechts erklären?
13
Mathematik macht Freu(n)de
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Logarithmentafel
Wie groß ist zum Beispiel log10 (604,8)?
Wir wissen, dass log10 (100) = 2
und log10 (1000) = 3, also liegt
log10 (604,8) zwischen 2 und 3.
Bis vor nicht allzu langer Zeit,
suchte man dann auf einer Logarithmentafel nach der richtigen
Stelle:
Also ist log10 (604,8) ≈ 2,7816.
Ein Hoch auf den technologischen Fortschritt. . .
Logarithmus am Taschenrechner
Dein Taschenrechner kann zumindest die Logarithmen mit zwei besonderen Basen berechnen:
Zehnerlogarithmus (Basis 10)
log10 (b)
Taschenrechner: LOG
Kurzschreibweise: lg(b)
Natürlicher Logarithmus (Basis e)
loge (b)
Taschenrechner: LN
Kurzschreibweise: ln(b)
;
;
Mit den Logarithmen können wir jetzt die Lösung der folgenden Gleichung berechnen:
300 · 1,02n = 1 000 000
1,02n =
⇐⇒
1 000 000
300
⇐⇒
n = log1,02 (3333,3...).
Logarithmus mit beliebiger Basis berechnen
Auf Michaels Taschenrechner gibt’s keine „logarithmische Taste“ für log1,02 .
Er würde trotzdem gerne Gleichungen der Bauart
ax = b,
a, b > 0
lösen können. Schau dir an, was er macht, um x = loga (b) nur mit LN zu berechnen:
ax = b
eln(a)
x
a = eln(a)
=b
ex·ln(a) = b
x · ln(a) = ln(b)
x=
ln(b)
.
ln(a)
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Umrechnungsregel zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen
loga (b) =
ln(b)
ln(a)
,
a > 0, a 6= 1
Anstatt den Logarithmus von b zur Basis a zu berechnen, kannst du jede andere Basis verwenden. Zum Beispiel Basis 10 oder Basis e.
Damit das Ergebnis stimmt, dividiere noch durch den Logarithmus von a zur neuen Basis.
Die Lösung n der Gleichung ist also n = log1,02 (3333,3...) =
ln(3333,3...)
= 409,62....
ln(1,02)
Rechenregeln für Logarithmen
Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:
1) loga (x · y) = loga (x) + loga (y)
2) loga
x
y
Aus „mal“ wird „plus“.
!
= loga (x) − loga (y)
Aus „dividiert“ wird „minus“.
3) loga (xr ) = r · loga (x)
Aus „hoch r“ wird „mal r“.
Begründung der Rechenregeln
Jeder Rechenregel für Logarithmen entspricht eine Rechenregel für Potenzen:
Welche Rechenregeln für Potenzen werden hier verwendet?
1) aloga (x)+loga (y) = aloga (x) · aloga (y) = x · y, also ist
loga (x · y) = loga (x) + loga (y).
2) a
loga (x)−loga (y)
aloga (x)
x
= log (y) = , also ist
a
a
y
x
y
loga
3) ar·loga (x) = aloga (x)
r
!
= loga (x) − loga (y).
= xr , also ist
loga (xr ) = r · loga (x).
Keine Rechenregel für Logarithmen
Die Zahlen loga (x + y) und loga (x) + loga (y) sind praktisch nie gleich.
Gibt es überhaupt positive Zahlen x und y, für die loga (x + y) = loga (x) + loga (y) gilt?
15
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
5
Aufgabe 3.2. Ahmed, Birgit, Carina und Dino formen den Term lg 4 · (x2 − 3) um.
Wer hat richtig umgeformt? Hast du eine Idee, welchen Fehler die anderen gemacht haben könnten?
5
a) lg 4 · (x2 − 3)
= 5 · lg(4) + 5 · lg (x2 − 3)
= lg(4) + 5 · lg (x2 − 3)
= lg(4) + 10 · lg(x) − 5 · lg(3)
= 20 · lg (x2 − 3)
5
b) lg 4 · (x2 − 3)
5
c) lg 4 · (x2 − 3)
2
5
d) lg 4 · (x − 3)
Exponential- und Logarithmusfunktion
Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktion f (x) = 2x .
Lies die folgenden Zahlen so genau du kannst ab,
und rechne mit dem Taschenrechner nach.
a) 21,5 ≈
b) 2−0,9 ≈
c) log2 (1,5) ≈
d) log2 (3,2) ≈
Umkehrfunktion
Die Logarithmusfunktion
g(x) = loga (x),
a 6= 1,
ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
f (x) = ax .
Ihre Graphen sind also an der 1.Mediane gespiegelt.
Das ist die Gerade mit Gleichung y = x.
x
Zu jedem Punkt (x | a ) auf dem Graphen von f gibt es
den gespiegelten Punkt (ax | x) auf dem Graphen von g.
Kannst du erklären, warum tatsächlich g(ax ) = x ist?
16
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Basis des Logarithmus
Erkläre, weshalb der Logarithmus zur Basis 1 nicht sinnvoll ist.
Erkläre, warum der Logarithmus loga (x) nur für positive Zahlen x sinnvoll ist.
log1 (3) = !?
log10 (−1) = !?
4. Exponential- und Logarithmusgleichungen
Kommt die gesuchte Variable einer Gleichung im Exponenten vor, sprechen wir von einer Exponentialgleichung. Befindet sich die gesuchte Variable in genau einem Exponenten, dann kannst du
immer auf die gleiche Weise auf diese Variable umformen:
Umformen einer Exponentialgleichung
1) Die Gleichung wie gewohnt umformen, bis die Potenz mit der gesuchten Variable alleine auf
einer Seite steht.
2) Die Gleichung „logarithmieren“, also den Logarithmus auf beiden Seiten berechnen.
3) Die dritte Rechenregel für Logarithmen anwenden, damit die gesuchte Variable nicht mehr
im Exponenten steht.
4) Die erhaltene Gleichung wie gewohnt auf die gesuchte Variable umformen.
Beispiel 4.1. Welche Zahl x ist eine Lösung der folgenden Gleichung?
7 · 23·x−1 − 350 = 0
Lösung.
1)
7 · 23·x−1 − 350 = 0
⇐⇒
7 · 23·x−1 = 350
⇐⇒
23·x−1 = 50
⇐⇒
lg 23·x−1 = lg (50)
⇐⇒
(3 · x − 1) · lg (2) = lg (50)
⇐⇒
3·x−1=
x=
lg(50)
lg(2)
3
1)
2)
lg (50)
lg (2)
+1
3)
Genauso gut kannst du auch ln oder log2 verwenden.
4)
4)
⇐⇒
= 2,214....
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Kommt die gesuchte Variable in einem Logarithmus vor, sprechen wir von einer Logarithmusgleichung. Befindet sich die gesuchte Variable in genau einem Logarithmus, dann kannst du immer auf
die gleiche Weise auf diese Variable umformen:
Umformen einer Logarithmusgleichung
1) Die Gleichung wie gewohnt umformen, bis der Logarithmus mit der gesuchten Variable alleine
auf einer Seite steht.
2) Die Gleichung mit der Basis a des Logarithmus „exponentieren“, also auf beiden Seiten
„a hoch“ rechnen.
3) Die Eigenschaft verwenden, dass Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion mit Basis a
Umkehrfunktionen voneinander sind. Es gilt also aloga ( ) = .
4) Die erhaltene Gleichung wie gewohnt auf die gesuchte Variable umformen.
,
,
Beispiel 4.2. Welche Zahl x ist eine Lösung der folgenden Gleichung?
ln(5 − 42 · x)
−4=0
3
Lösung.
ln(5 − 42 · x)
−4=0
3
ln(5 − 42 · x)
=4
3
1)
⇐⇒
1)
⇐⇒
2)
ln(5 − 42 · x) = 12
⇐⇒
eln(5−42·x) = e12
⇐⇒
5 − 42 · x = e12
⇐⇒
5 − e12 = 42 · x
⇐⇒
x=
3)
Der natürliche Logarithmus ln hat die Basis e.
4)
4)
5 − e12
≈ −3875.
42
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponentieller Wachstumsprozess
Exponentieller Wachstumsprozess (z.B. Vermehrung von Bakterien):
N (t) = N0 · eλ·t ,
N (t) = N0 · at ,
λ > 0.
a > 1.
Warum muss λ größer als 0 sein?
Warum muss a größer als 1 sein?
N (t) . . . Anzahl Bakterien nach t Zeiteinheiten
N (0) = N0 . . . Anzahl Bakterien zu Beginn
Die Verdopplungszeit ist jene Zeitdauer, bis sich die untersuchte Größe (Anzahl der Bakterien)
verdoppelt hat.
Verdopplungszeit
Erkläre, warum die Verdopplungszeit die Lösung t der folgenden Gleichung ist:
N (t) = 2 · N0 .
Wir lösen die Gleichung nach t auf:
N0 · eλ·t = 2 · N0
eλ·t = 2
λ · t = ln(2)
t=
ln(2)
λ
Keine Formel, die du auswendig wissen musst. Merken wir uns lieber den Ansatz N (t) = 2 · N0 .
Beispiel 4.3. Die Populationsgröße eines Heuschreckenschwarms wird näherungsweise durch die
folgende Funktion beschrieben:
N (t) = N0 · e0,185·t
. . . Anzahl Heuschrecken nach t Tagen
a) Um wie viel Prozent wächst der Heuschreckenschwarm pro Tag?
b) Berechne die Verdopplungszeit.
c) Wie viele Stunden dauert es, bis die Population um 35% gewachsen ist?
Lösung. a) Wir schreiben die Funktionsgleichung in der Form N (t) = N0 · at
N (t) = N0 · e0,185
t
= N0 · 1,2032...t
Pro Tag wächst der Heuschreckenschwarm also um 20,32...%.
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
b) Die Verdopplungszeit ist die Lösung der Gleichung N (t) = 2 · N0 .
N0 · e0,185·t = 2 · N0
e0,185·t = 2
0,185 · t · ln(e) = ln(2)
| {z }
=1
t=
ln(2)
= 3,746... Tage
0,185
c) Wir lösen die Gleichung N (t) = N0 · 135%.
N (t) = N0 · 1,35
N0 · e0,185·t = N0 · 1,35
e0,185·t = 1,35
0,185 · t · ln(e) = ln(1,35)
| {z }
=1
t=
ln(1,35)
= 1,622... Tage = 38,93... Stunden
0,185
Exponentieller Abnahmeprozess
Exponentieller Abnahmeprozess (z.B. radioaktiver Zerfall):
N (t) = N0 · eλ·t ,
N (t) = N0 · at ,
λ < 0.
0 < a < 1.
Warum muss λ kleiner als 0 sein?
Warum muss a zwischen 0 und 1 sein?
N (t) . . . Anzahl Atomkerne nach t Zeiteinheiten
N (0) = N0 . . . Anzahl Atomkerne zu Beginn
Die Halbwertszeit ist jene Zeitdauer, bis sich die untersuchte Größe (Anzahl Atomkerne) halbiert hat.
Halbwertszeit
Erkläre, warum die Halbwertszeit die Lösung t der folgenden Gleichung ist:
N (t) =
N0
.
2
Rechne damit die folgende Formel für die Halbwertszeit nach:
t=
ln
1
2
λ
20
Mathematik macht Freu(n)de
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Beispiel 4.4. Der Abbau von Koffein im Körper kann näherungsweise durch einen exponentiellen
Abnahmeprozess mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden beschrieben werden.
a) Zu Beginn (t = 0 h) befinden sich 40 mg Koffein im Körper. Skizziere den Graphen der Funktion
im Zeitintervall [0 h; 16 h].
b) Berechne, nach wie viel Stunden sich nur mehr 20% der Anfangsmenge Koffein im Körper befinden.
c) Berechne, wie viel Prozent der Koffeinmenge alle 30 Minuten abgebaut werden.
Lösung. a) Beginnend von 40 mg halbiert sich die vorhandene Menge alle 4 Stunden. Mit diesen
Informationen können wir eine Wertetabelle erstellen:
t (in h)
N (t) (in mg)
0
40
4
20
8
10
12
5
16
2,5
b) Von der zugehörigen Funktionsgleichung N (t) = N0 · at kennen wir N0 = N (0) = 40. Die Basis a
können wir mit der Halbwertszeit berechnen:
√
N (4) = 20 =⇒ 40 · a4 = 20 =⇒ a4 = 0,5 =⇒ a = 4 0,5 = 0,8408...
Wann sind nur mehr 20% von 40 mg – also 40 · 0,2 = 8 mg – vorhanden?
Wir lösen die entsprechende Gleichung:
N (t) = 8 =⇒ 40 · at = 8 =⇒ at = 0,2 =⇒ t · lg(a) = lg(0,2) =⇒ t =
lg(0,2)
= 9,287... h.
lg(a)
Nach 9,287... h sind nur mehr 20% der Anfangsmenge vorhanden.
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du eigentlich nur die Halbwertszeit kennen. Weißt du warum?
c) Die vorhandene Menge nach t = 30 min = 0,5 h beträgt
N (0,5) = N0 · a0,5 = N0 · 0,9170... = N0 · 91,70...%.
Nach einer halben Stunde sind also noch 91,70...% der Anfangsmenge vorhanden. Alle 30 Minuten
werden also 100% − 91,70...% = 8,29...% des Koffeins abgebaut.
Streng genommen sollten wir nachrechnen: N (t + 0,5) = N0 · at+0,5 = N0 · at · a0,5 = N (t) · 91,70...%.
In Worten: Ganz egal bei welchem Zeitpunkt t du startest, eine halbe Stunde später sind nur mehr 91,70...% davon vorhanden.
21
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Exponential- und Logarithmusfunktionen
5. Weitere Aufgabenstellungen
Als Schalldruck p werden die Druckschwankungen eines kompressiblen SchallAufgabe 5.1.
übertragungsmediums (üblicherweise Luft) bezeichnet, die bei der Ausbreitung von Schall auftreten.
Eine für das Hörempfinden relevante Größe ist der Schalldruckpegel Lp .
Lp = 20 · lg
p
p0
Lp . . . Schalldruckpegel in Dezibel (dB)
p . . . Schalldruck in Pascal (Pa)
p0 . . . Bezugswert für Luftschall (p0 = 20 µ Pa)
!
– Zeige mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen und der angegebenen Formel, dass eine Verdoppelung des Schalldrucks p eine Erhöhung des Schalldruckpegels Lp um etwa 6 dB bewirkt.
Aufgabe 5.2.
Die Sonne ist das Zentrum unseres Sonnensystems.
Für die Berechnung der Distanz r eines Sterns zur Erde kann die Differenz zwischen scheinbarer (m)
und absoluter (M ) Helligkeit eines Sterns nach der folgenden Formel benützt werden:
m − M = 5 · log10 (r) − 5
m . . . scheinbare Helligkeit in Magnituden (mag)
M . . . absolute Helligkeit in Magnituden (mag)
r . . . Entfernung eines Sterns von der Erde in Parsec (pc)
1 pc = 30,856 · 1012 km
– Berechnen Sie die Entfernung Sonne – Erde in km, wenn die Sonne eine scheinbare Helligkeit
m = −26,73 mag und eine absolute Helligkeit M = 4,84 mag besitzt.
Dezimalsystem und Zehnerlogarithmus
Wie viele Stellen hat die Zahl n = 4242 ?
Du kannst jede natürliche Zahl n in der Form n = 10x mit einer passenden Zahl x schreiben.
Überlege dir, wie groß x ist, wenn n eine zweistellige Zahl ist. Wie groß ist x bei dreistelligen
Zahlen? Wie viele Stellen hat die Zahl n, wenn x = 31,17 ist? Erkläre damit die folgende Aussage:
„Die Anzahl an Stellen der natürlichen Zahl n beträgt blg(n)c + 1.“
bac ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist. Zum Beispiel: b7,9235c = 7, b8c = 8.
Die Zahl n = 4242 hat also b42 · lg(42)c + 1 = 69 Stellen.
5.2 1,497... · 108 km
5.1 L2p = 20 · lg
2·p
p0
= · · · = 6,02... + Lp =⇒ L2p ≈ Lp + 6 dB
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