¨Ubungen zu Logik und Künstliche Intelligenz

Heilbronn, den 16.4.2010
Prof. Dr. V. Stahl
WS 10/11
Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz
Blatt 4
Aufgabe 1. Die Differenz zweier Mengen A und B ist definiert durch
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}.
Finden Sie eine logisch äquivalente Definition für die Mengendifferenz unter Verwendung von ¬ und →, d.h. finden Sie eine Formel, die äquivalent
ist zu
x ∈ A ∧ x 6∈ B
und in der nur die logischen Symbole ¬ und → vorkommen. Überzeugen
Sie sich anhand eines Bildes, dass Ihre Definition mit der oben genannten
tatsächlich übereinstimmt.
Aufgabe 2. Übersetzen Sie die folgenden Formeln in natürliche Sprache und
entscheiden Sie, ob sie wahr oder falsch sind. Das Symbol ≤N steht für die
kleiner-gleich Relation auf natürlichen Zahlen.
∀x x ∈ Z → (∃y y ∈ Z ∧ x + y = 5)
∀x x ∈ Z → (∃y y ∈ N ∧ x + y = 5)
∃x x ∈ Z ∧ (∀y y ∈ Z → x + y = 5)
∀x ∀y x ≤N y → y ≤N x
∀x ∀y ∀z (x ≤N y ∧ y ≤N z) → x ≤N z
∀x ∀y(x ≤N y ∧ y ≤N x) → x = y
Aufgabe 3. Nennen Sie eine Formel, in der das Variablensymbol x sowohl frei
als auch gebunden vorkommt. Führen Sie dann eine gebundene Umbenennung durch, so dass kein Variablensymbol sowohl frei als auch gebunden
auftritt.
Aufgabe 4. Fügen Sie in den folgenden Zeichenketten Klammern ein, so dass
syntaktisch korrekte Formeln herauskommen. Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, nennen Sie alle.
P (x) ∧ Q(c, x) ∨ ∀y P (y)
∀x ∃y P (x) ∨ Q(x, y)
∀x P (x) → ∃y P (y)
1
Aufgabe 5. Nennen Sie jeweils 3 Elemente der folgenden Mengen.
{x | x ∈ N ∧ ∃y (y ∈ N ∧ y < x)}
{x | x ∈ N ∧ ∃y (y ∈ N ∧ xy = 42)}
{x | x ∈ N ∧ ∃y ∃z (y ∈ N ∧ z ∈ N ∧ x = 3y + 5z)}
{x | x ⊆ N ∧ 3 ∈ x}
{x | x 6= x}
{x | x ⊆ x}
{x | x ∈ x}
Aufgabe 6. Vereinfachen Sie folgende Formel unter Anwendung der Ihnen bekannten Regeln so dass kein → Symbol mehr darin vorkommt und alle
Negationssymbole unmittelbar vor atomaren Formeln stehen.
¬∀x (P (x) → ∃y (¬Q(x, c) → ¬P (y)))
Aufgabe 7. Formulieren Sie in der Sprache der Prädikatenlogik die Aussage
everybody loves somebody sometime
Hinweis: Die Formel enthält drei Quantoren und ein dreistelliges Relationssymbol — soll also niemand sagen, dass die Texte von Dean Martin
nicht hoch anspruchsvoll wären! Stellen Sie die Reihenfolge der Quantoren um und übersetzen Sie die entstehende Formel zurück in natürliche
Sprache. Sagen die beiden Formel das Gleiche aus?
Aufgabe 8. Auch die Beatles haben sich mit ihrem Lied
all you need is love
als Freunde der Logik geoutet. Um ihre Erkenntnis maschinell verarbeiten zu können, sollte man sich klar machen, dass “love” eine Konstante
ist. Bei “need” handelt es sich um eine zweistellige Relation. So bedeutet
z.B. need(x, y) in natürlicher Sprache x braucht y. Mit “you” meinten die
Beatles alle. Übersetzen Sie den Titel in die Sprache der Prädikatenlogik.
Hinweis: Formulieren Sie den Satz zuerst um in
everybody needs love and if somebody needs anything, then it
is love.
Formen Sie die entstehende Formel unter Verwendung der Regeln der
Prädikatenlogik so um, dass sich folgende Aussage ergbibt:
everybody needs love and it is not true that there is someone
who needs something which is not love.
Und wenn Ihnen dazu noch eine nette Melodie einfällt wird das bestimmt
ein Hit.
2
Aufgabe 9. Gegeben sei folgender Symbolvorrat:
• Konstantensymbole c, d.
• Variablensymbole x, y.
• Funktionssymbole f (einstellig), g (zweistellig).
• Relationssymbole P (einstellig), Q (zweistellig).
Konstruieren Sie mit diesen Symbolen drei Terme, drei atomare Formeln
und drei Formeln, die nicht atomar sind.
Aufgabe 10. Was sagen folgende beiden Formeln aus und welche davon ist
wahr?
(∀x x ∈ N → −5 ∈ N)
∀x (x ∈ N → −5 ∈ N).
Aufgabe 11. Überlegen Sie sich zwei Formeln F (x) und G(x) mit freier Variablen x so dass die Formeln
∀x (F (x) ∨ G(x))
(∀x F (x) ∨ ∀x G(x))
unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Gibt es auch Formeln F (x) und G(x) mit freier Variablen x so dass
∀x (F (x) ∧ G(x))
(∀x F (x) ∧ ∀x G(x))
unterschiedliche Wahrheitswerte haben?
Aufgabe 12. Überlegen Sie sich zwei Formeln F (x) und G(x) mit freier Variablen x so dass die Formeln
∃x (F (x) ∧ G(x))
(∃x F (x) ∧ ∃x G(x))
unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Gibt es auch Formeln F (x) und G(x) mit freier Variablen x so dass
∃x (F (x) ∨ G(x))
(∃x F (x) ∨ ∃x G(x))
unterschiedliche Wahrheitswerte haben?
3