Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231),
Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner
WS 2012/13
Analysis I
5. Serie
Aufgabe 26 Gegeben seien die Mengen A, B 6= ∅. Laut Vorlesung ist |A| = |B|, falls
es eine bijektive Abbildung zwischen A und B gibt. Darauf aufbauend definieren wir:
(a) |A| ≤ |B|, falls eine injektive Abbildung f : A → B existiert und
(b) |A| ≥ |B|, falls eine surjektive Abbildung g : A → B existiert.
Überprüfe, ob sich die Definitionen (a) und (b) mit der ursprünglichen Definition aus der
Vorlesung über die Gleichmächtigkeit von Mengen vertragen. D.h. zu zeigen ist: Wenn
|A| = |B|, dann gilt nach der obigen Definition |A| ≤ |B| und |A| ≥ |B|. Und analog, falls
|A| ≤ |B| und |A| ≥ |B|, dann folgt |A| = |B|.
Aufgabe* 27 (Satz von Cantor Bernstein) Zeige, dass zwei nichtleere Mengen A
und B genau dann gleichmächtig sind, wenn injektive Abbildungen f : A → B und
g : B → A existieren.
Hinweis: Betrachte die Mengen A1 = A \ g(B) und An+1 = g(f (An )) für n ≥ 1. Erkläre eine Abbildung h : A → B durch
S
“gut gewählte” Definition von h auf C := ∞
n=1 An und auf A \ C, und zeige dann die Bijektivität. Konsultiere ggf. noch
entsprechende Literatur.
Aufgabe 28
Es sei P [x] die Menge aller Polynome p(x) =
∞
P
ak xk in x, wobei nur
k=0
endlich viele Koeffizienten ak verschieden von Null sind. Der Grad eines Polynoms sei
gegeben durch
−∞,
falls ak = 0 ∀k ∈ N0
grad(p) =
max{k ∈ N0 |ak 6= 0}, sonst.
Weiterhin setzen wir voraus, dass für alle k ∈ N0 die Koeffizienten ak ∈ Q sind.
(a) Zeige, dass es abzählbar viele Polynome mit rationalen Koeffizienten vom Grad n gibt.
Ein Polynom vom Grade n hat maximal n reelle Nullstellen. Eine Zahl x0 ∈ R heißt
algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit ausschließlich rationalen Koeffizienten
ist.
(b) Zeige, dass es abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.
Aufgabe* 29 Sei A eine unendliche Menge und B eine abzählbare Menge. Zeige, dass
dann gilt: |A| = |A ∪ B|.
1
Aufgabe* 30 (a) Geben
Qn seien die endlichen Mengen M1 , . . . , Mn , n ∈ N. Zeige, dass
dann |M1 × . . . × Mn | = i=1 |Mi |.
(b) Wir betrachten nun abzählbare Mengen Ni mit i = 1, . . . n, n ∈ N. Zeige, dass dann
auch N1 × . . . × Nn eine abzählbare Menge ist.
Geben sei die nichtleere Menge X. Für A ⊆ X definieren wir
(
1, falls x ∈ A
: X → {0, 1},
χA (x) =
0, falls x 6∈ A,
Aufgabe 31
χA
die Indikatorfunktion der Menge A. Mit F(X, {0, 1}) bezeichnen wir die Menge aller
Abbildungen von X in die Menge {0, 1}. Man zeige mittels der Abbildung
ϕ : P(X) → F(X, {0, 1}),
A 7→ χA ,
dass |P(X)| = |F(X, {0, 1})| ist.
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der Übung
am 5.11.2012 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese an der
Tafel vorgestellt werden können.
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