Prüfung Mathematik - Fachwissenschaft 1 MA 430 und 440

Prüfung Mathematik - Fachwissenschaft 1
MA 430 und 440: Geometrie 1 und 2
J. Schönenberger-Deuel
7. Juni 2008
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Gegeben sind zwei Punkte B(4/0) und P (−2/4) und die Gerade g (= y-Achse).
Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit Ecke B unter folgenden Bedingungen:
i) Die Ecke C liegt auf g.
ii) g ist die Winkelhalbierende des Winkels γ bei C.
iii) Der Inkreis des Dreiecks berührt die Seite AC in P .
Aufgabe 2 (6 Punkte)
a) Konstruieren Sie mittels Achsentransformation die Abbildung
φ = RB,60◦ ◦ RA,45◦ ,
wenn die beiden Punkte A und B einen Abstand von 5 cm haben. Um welche einfache
Isometrie handelt es sich hier?
b) Wie viele Geradenspiegelungen benötigt man höchstens, um die Verknüpfung zweier
Translationen und einer Schubspiegelung darzustellen? Welche Isometrien können sich
daraus allgemein ergeben und wann treten diese auf?
Bitte wenden!
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Aufgabe 3 (6 Punkte)
Gegeben sind das Dreieck ABC mit den Seitenlängen |AB| = 12 cm, |BC| = 10 cm, |AC| =
11 cm sowie der Punkt P auf der Seite AB mit |AP | = 3 cm.
Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal alle Dreiecke P QR mit
Q ∈ BC, R ∈ AC, QR||AB, ∠QP R = 30◦ .
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Gegeben ist ein Kreis k mit Radius 5 cm und Mittelpunkt M .
Wählen Sie auf k einen Punkt A. Konstruieren Sie einen zu k orthogonalen Kreis n durch
den Punkt A mit Radius 3 cm; sein Mittelpunkt sei N . Der Kreis n schneidet k in einem
zweiten Punkt B. Die Geraden AN und M B schneiden sich in einem Punkt C. Der zweite
Schnittpunkt von n mit der Geraden AN sei D.
Schraffieren Sie den Halbkreis von n zum Durchmesser AD, der ganz ausserhalb des Kreises
k liegt, sowie die Fläche BCD, begrenzt durch 2 Strecken und einen Kreisbogen von n.
Invertieren Sie die schraffierte Figur an k und schraffieren Sie die Bildfigur mit einer anderen Farbe.
Begründen Sie Ihre Konstruktion.
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Eine Strecke s sei im Goldenen Schnitt geteilt. Die Differenz von Major und Minor sei 5 cm.
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke s, sowie die Längen von Major und Minor. (Keine
Wurzeln im Nenner!)
b) Konstruieren Sie die Strecke s mit Zirkel und Lineal.
Bitte wenden!
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Aufgabe 6 (6 Punkte)
a) Wie gross ist der Winkel α, wenn der Winkel β = 33◦ ?
b) Welche der folgenden n-Ecke sind konstruierbar? (mit Begründung)
i) n = 40 ii) n = 63 iii) n = 121
Aufgabe 7 (6 Punkte)
a) In welchem regulären n-Eck ist ein Innenwinkel 178.2◦ ?
b) Der Umkreis eines Rechtecks mit dem Umfang 34 cm besitzt den Radius 6.5 cm. Wie
lang sind die Seiten des Rechtecks?
Aufgabe 8 (6 Punkte)
Poincaré-Modell einer nichteuklidischen Geometrie
a) Die Ebene sei die Halbebene definiert durch y > 0.
Konstruieren Sie das ”Dreieck” ABC mit A(−3/4), B(4/3), C(4/8).
Spiegeln Sie nun das ”Dreieck” ABC an der Geraden g, die durch A und B geht.
b) Das Kreisinnere des Kreises k mit Mittelpunkt M (0/0) und Radius 4 cm sei die Ebene
des Poincaré-Modells.
Konstruieren Sie das “Dreieck“ ABM , wenn A(2/1), B(0/3.5).
Bitte wenden!
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Aufgabe 9 (6 Punkte)
a) Fünf Personen vereinbaren, dass jede mit n = 1, 2, 3, 4 der übrigen Personen telefoniert. Für welche n ist dies möglich? (Begründung). Wie sieht dann jeweils der
Graph aus?
b) Gibt es im folgenden Graph eine Eulertour? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum?
c) Gibt es im folgenden Graph einen Hamiltonschen Kreis? Wenn ja, zeichnen Sie ihn
ein.
Bitte wenden!
4
Aufgabe 10 (6 Punkte)
a) Bestimmen Sie einen minimal aufspannenden Baum des folgenden Graphen und berechnen Sie sein Gewicht.
b) Bestimmen Sie im folgenden Graphen den aufspannenden Baum, der die kürzesten Wege von A zu jedem anderen Punkt aufzeigt. Welche Länge hat der küerzeste Weg von
A nach L?
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