Pruefung-Januar2014

Prüfung
MA S410: Lineare Algebra + Geometrie
J. Schönenberger-Deuel
12. Januar 2014
Aufgabe 1
a) Welche einfachen Isometrien können durch die Verknüpfung von 4 Geradenspiegelungen entstehen?
b) Konstruieren Sie mittels Achsentransformation die folgende Abbildung
ϕ = S a ◦ S c ◦ S b ◦ S a,
wobei die Geraden a, b, c die verlängerten Seiten des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ABC
sind mit rechtem Winkel bei C und Kathetenlänge 5 cm.
Aufgabe 2
Konstruieren Sie alle Dreiecke ABC mit gegebener Ecke A = (0, 0), wenn weiter gelten muss:
i) Die Ecke B liegt auf der Gerade p, die durch die Punkte P1 (10, 0) und P2 (10, 4) geht.
ii) Die Ecke C liegt auf der Gerade q, die durch die Punkte Q1 (1, 0) und Q2 (−3, 6) geht.
iii) Der Winkel α = ∠BAC = 60◦ .
iv) Die Seite c = |AB| ist doppelt so lang wie die Seite b = |AC|.
Aufgabe 3
√
a) Konstruieren Sie
14 sowohl mit dem Höhensatz als auch mit dem Sekantentangentensatz.
b) Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen c=5cm, a=3cm und wβ = 2cm.
1
Aufgabe 4
√
√
Gegeben sind die Punkte P(− 2, − 21 , 12 ) und Q(2 2, −1, 1) und die Ebene



 
 0
 1 
 x 



 
E :  y  = λ  0  + µ  1



 
1
0
z




a) Geben sie die Ebenengleichung von E an. Welches ist der Normalenvektor?
b) Zeigen Sie, dass die Punkte P und Q auf derselben Seite von E liegen.
c) Ein von P ausgehender Lichtstrahl wird am Spiegel E so reflektiert, dass der reflektierte Strahl durch
Q geht. Wie lauten die Koordinaten des Reflexionspunktes S ∈ E?
Aufgabe 5
a) Bestimmen Sie die Matrix A, deren Elemente definiert sind durch
ai j = (−1)i + (−2) j ,
i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3.
b) Gegeben ist die Matrix A

 1
 0
A = 
 0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
−3 0
2 0
0 1
0 0
4
3
−4
0






Lösen Sie zuerst das homogene Gleichungssystem Ax = 0.


 b1 
 b 
Für welche b =  2  ∈ R4 ist das inhomogene System Ax = b lösbar?
 b3 
b4
2
Aufgabe 6
Die untenstehende Figur stellt den Verkehrsfluss durch ein Netz von Einbahnstrassen dar. Die Zahlen über
den Strassenpfeilen nach einer Kreuzung geben den Anteil des Verkehrs an, der von der Kreuzung her in
die Strasse eintritt.
Von links her fahren x1 und x2 Autos ins Strassennetz.
Über die Ausgänge rechts verlassen w1 und w2 Autos das Strassennetz.
Zerlegen Sie das Problem in drei Teilprobleme und berechnen Sie jedesmal die zugehörige Matrix.
Welches Matrizenprodukt bestimmt den direkten Übergang? (Produkt nicht berechnen!)
Aufgabe 7
a) f : R2 → R2 sei eine lineare Abbildung mit folgenden Werten:
!
!
!
2
5
0
f :
→
und f :
→
−1
6
2
2
4
!
Geben sie die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis an.
b) Berechnen Sie Kern und Bild der beiden Matrizen A, B.
!
13 −39
A=
, B=
−7 21
3
1
2
10
5
!
.
Aufgabe 8
Invertieren Sie die schraffierte Figur am Kreis k. (kurze Beschreibung samt Begründung der Konstruktion
notwendig!)
4
Aufgabe 9
a) Poincarésches Modell in der oberen Halbebene
Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck ABC sowie 2 parallele Geraden zur Seite a = BC. (auf separatem
Blatt!)
b) Kleinsches Modell einer Nichteuklidischen Geometrie
Spiegeln Sie das Dreieck ABC an der Geraden g. (Konstruktion direkt auf diesem Blatt!)
5
Aufgabe 10
10 a) Begründen sie mit Hilfe der Graphentheorie: Ist es möglich, dass sich auf einer Party 9 Personen
befinden, von denen jede genau fünf andere kennt?
10 b) Erzeugen Sie einen minimal aufspannenden Baum für den Graph 10a und berechnen Sie sein Gewicht.
6
10 c) Bestimmen Sie mit dem Dijkstra-Algorithmus die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken.
Ecke
Distanz
A
B
C
D
E
F
7
G
H
I
K
L