Zahlentheorie - PH Ludwigsburg
Werbung
Zahlentheorie
Barbara Schmidt-Thieme
22. Februar 2006
Inhaltsverzeichnis
1
Ganze Zahlen
1
1.1
Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
1
1.2
2
1.1.2
Konstruktion von
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3
Der Ring der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Besondere ganze Zahlen
Z
aus
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Fibonaccizahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2
Polygonalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3
Vollkommene und befreundete Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Teilbarkeitsrelation
3
2.1
3
2.2
3
Entdeckung der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Prime Zahlen
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Lineare diophantische Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.2
Zahlentheoretische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Kongruenzen
3.1
3.2
3.3
Grundlagen
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Kongruenzen und Restklassen
3.1.2
Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
. . . . . . . . . . . . . .
4
Lineare Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.1
Restklassen
Eulersche Phi-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.2
Fermat und Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
1
GANZE ZAHLEN
1
2
Ganze Zahlen
1.1
Zahlbereiche
1.1.1
Entdeckung der ganzen Zahlen
Gebrauch und Entwicklung eines Rechenkalküls.
1.1.2
Konstruktion von
Z
aus
N
N × N, geordnete Paare natürlicher Zahlen.
Äquivalenzrelation durch (n1 , m1 ) ∼ (m2 , n2 ) =⇒ n1 + m2 = n2 + m1 .
Äquivalenzklassen (1, 0) = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . . } = 1Z
Kartesisches Produkt von
1.1.3
Der Ring der ganzen Zahlen
Kommutative Gruppe mit der Addition; abgeschlossen, assoziativ, kommutativ bzgl. der
Mutliplikation; nullteilerfreier Ring mit Eins
1.2
Besondere ganze Zahlen
1.2.1
Fibonaccizahlen
Leonardo von Pisa, gen. Fibonacci (11751250) lernte als Kaufmann die indisch-arabische
Rechenweise kennen. Sein Liber Abbaci 1202 war Lehrbuch an norditalienischen Handelsschulen bis ins 14. Jh. Er stellt dort die Frage: Quot paria caniculorum in uno anno ex uno
patia germinetur?, d. h. wieviel Kaninchen hat man nach einem Jahr, wenn ein Paar jeden
Monat einen Nachwuchs bekommt und die Kaninchin ab dem zweiten Monat gebärfähig
ist?
Denition. Fibonacci-Zahlen sind Elemente der Fibonacci-Folge:
F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
Die ersten 14 Fibonacci-Zahlen:
n
Fn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
Verhältnis zu Goldener Schnitt: Zeichne die Folge von Rechtecken:
2 × 3, 3 × 5, 5 × 8, 8 × 13, . . . .
Geht eine Gerade durch alle Ecken? Nein, denn
Die
2
3
5
8
13
21
≈ 0, 667; = 0, 6; = 0, 625;
≈ 0, 615;
≈ 0, 613;
≈ 0, 618; . . . .
3
5
8
13
21
34
Werte bilden allerdings eine alternierende Folge mit Grenzwert 0, 618 . . ..
Diese Zahl ist aus dem Goldenen Schnitt bekannt
a−b
b
= ;
b
a
√
für
a=1
erhält man hier
b=
5−1
2
= 0, 618 . . ..
1
GANZE ZAHLEN
1.2.2
3
Polygonalzahlen
s. Skript
1.2.3
Vollkommene und befreundete Zahlen
Denition.
a∈N
heiÿt
vollkommen, wenn
σ(a) = 2a.
Vollkommene Zahlen sind z. B. 6, 28. Ungerade vollkommene Zahlen haben mindestens 8
50
Primteiler und sind gröÿer als 10 ; bisher kennt man keine. Man konnte aber auch noch
nicht beweisen, dass es solche vielleicht gar nicht gibt. Für gerade vollkommene Zahlen
kennt man immerhin folgende Aussage:
Satz. Sei
a∈N
a = 2s−1 b
b = 2s − 1.
gerade,
(i) b ist prim mit
mit
s≥2
und b ungerade, dann ist äquivalent:
(ii) a ist vollkommen.
∈ P, b 6= 2 hat a die Primfaktorzerlegung a = 2s−1 b = 2s−1 ·(2s −1).
Also ist σ(a) =
· b−1 = (2s − 1)(b + 1). Nach Voraussetzung ist b + 1 = 2s = 2 · 2s−1 .
2−1
s
s
s−1
Dann ist σ(a) = (2 − 1)(b + 1) = (2 − 1) · 2 · 2
= 2a.
(ii) ⇒ (i) Übung.
Beweis. (i) ⇒ (ii): Da b
2s −1
Satz.
2s − 1
b2 −1
ist höchstens dann prim, wenn s prim.
Beweis. (Widerspruch) Angenommen
s
sei
s = u · v, u > 1, v > 1,
dann ist
2s − 1 = (2u )v − 1 = (2u − 1) (1 + 2u + (2u )2 + . . . + (2u )v−1 ) .
{z
}
| {z } |
>1
Also ist
Falls
b
>1
nicht prim.
b = 2s − 1 ∈ P,
nennt man
b
Mersennesche Primzahl. Für die ersten fünf Primzahlen
s−1 s
ergibt sich folgender Befund (siehe Tabelle). a = 2
(2 − 1) lässt sich auch schreiben als
M ·(M +1)
s
für M = 2 . Übung: Was hat das mit den Trigonalzahlen zu tun?
2
Denition.
m, n ∈ N
heiÿen
s
2s − 1 = b
2
3
a = 2s−1 b
6
3
7
5
31
496
7
127
762
11
23 · 89
befreundet, wenn
28
σ(m) = m + n = σ(n).
220 = 28 ·5·11 und 284 = 22 ·71. Euler entdeckte ein Paar ungerader befreundeter
2
Zahlen: 3 · 7 · 13 · 5 · 17 und 3 · 7 · 13 · 107. Heute kennt man über 1000 befreundete Zahlen.
Beispiel:
2
2
TEILBARKEITSRELATION
2
2.1
2.1.1
Teilbarkeitsrelation
Grundlagen
Teilbarkeit
Division mit Rest, Teilermenge, Hassediagramm, Restklassen
2.1.2
Prime Zahlen
Primzahlen, unzerlegbar etc in Ringen, Anzahl, Verteilung, Hauptsatz
2.2
Folgerungen
2.2.1
Lineare diophantische Gleichungen
2.2.2
Zahlentheoretische Funktionen
3
3.1
Kongruenzen
Grundlagen
3.1.1
Kongruenzen und Restklassen
3.1.2
Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
3.2
Lineare Kongruenzen
Chinesischer Restsatz
Diophantische Gleichungen
3.3
Restklassen
3.3.1
Eulersche Phi-Funktion
3.3.2
Euler und Fermat
4
