Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen

7. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2017
Hilfsmittel aus der Kombinatorik,
Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen
Dr. Markus Herrich
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
1
Hilfsmittel aus der Kombinatorik
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
2
Problemstellungen in der Kombinatorik
Gegeben seien n Objekte (z.B. n Kugeln, n Geräte, n Personen). In
der (abzählenden) Kombinatorik werden unter anderem folgende
Problemstellungen untersucht:
1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese
Objekte anzuordnen?
Zur Beantwortung dieser Frage kommt es unter anderem
darauf an, ob alle Objekte voneinander verschieden oder ob
einige Objekte untereinander gleich sind.
2. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den n
Objekten nacheinander k Objekte zu entnehmen?
Hier kommt es unter anderem darauf an, ob die Reihenfolge, in
der die k Objekte entnommen werden, relevant ist oder nicht.
Außerdem kommt es in beiden Fällen auch noch darauf an, ob
die Objekte jeweils mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen
entnommen werden.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
3
Problemstellungen in der Kombinatorik
Drei Fälle/Probleme werden wir im Folgenden etwas genauer
diskutieren.
Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen, wenn diese
alle voneinander verschieden sind
→ Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung
Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen, wenn von
diesen einige untereinander gleich sind
→ Anzahl der Permutationen mit Wiederholung
Anzahl der Möglichkeiten, von n Objekten k Objekte ohne
Zurücklegen zu entnehmen, wenn die Reihenfolge der
entnommenen Objekte bedeutungslos ist
→ Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung ohne
Wiederholung
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
4
Permutationen ohne Wiederholung
Gegeben seien n Objekte. Auf wie viele verschiedene Arten lassen
sie sich anordnen, wenn alle Objekte voneinander verschieden sind?
Antwort: Die Anzahl aller möglichen Anordnungen ist
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
(n! wird als „n Fakultät“ gesprochen).
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
5
Permutationen ohne Wiederholung
Beispiel: Bei einer Leichtathletik-EM starten im Finale des
100-Meter-Laufs acht Läufer. Wie viele verschiedene Reihenfolgen
für den Zieleinlauf gibt es?
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
6
Permutationen mit Wiederholung
Gegeben seien wiederum n Objekte. Auf wie viele verschiedene
Arten lassen sie sich anordnen, wenn unter den n Objekten einige
untereinander gleich sind?
Einführendes Beispiel: Gegeben seien sechs Kugeln: drei rote,
zwei blaue und eine gelbe.
Um diese 6 Kugeln auf 6 Plätze zu verteilen, gibt es zunächst
6! Möglichkeiten.
Wenn aber bei einer gewissen Anordnung die beiden blauen
Kugeln miteinander vertauscht werden, dann entsteht in
Wirklichkeit keine neue Anordnung.
→ Halbierung der Anzahl der Anordnungen
Entsprechend entsteht keine neue Anordnung, wenn die 3
roten Kugeln untereinander vertauscht werden.
→ weitere Reduzierung der Anzahl um den Faktor 3!
Insgesamt gibt es also nur
6!
3!·2!
= 60 mögliche Anordnungen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
7
Permutationen mit Wiederholung
Zurück zum allgemeinen Fall. Angenommen, unter den n Objekten
gibt es k Sorten, wobei n1 Kugeln zur ersten Sorte gehören, n2
Kugeln zur zweiten usw.
Im einführenden Beispiel gab es unter den n = 6 Kugeln drei Sorten:
drei rote (n1 = 3), zwei blaue (n2 = 2) und eine gelbe (n3 = 1).
Die Anzahl aller möglichen Anordnungen ist dann
n!
n1 !·n2 !·...·nk !
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
8
Permutationen mit Wiederholung
Beispiel: Bei einer Leichtathletik-EM starten im Finale des
100-Meter-Laufs acht Läufer. Davon kommen drei aus
Großbritannien, zwei aus Deutschland, zwei aus Frankreich und
einer aus Polen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen für den
Zieleinlauf gibt es, wenn man sich nicht für die Läufer selbst,
sondern nur für die Nationen interessiert?
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
9
Kombinationen ohne Wiederholung
Gegeben seien wiederum n Objekte. Wie viele verschiedene
Möglichkeiten gibt es, von diesen nacheinander k Objekte zu
entnehmen, wenn
die Reihenfolge der entnommenen Objekte keine Rolle spielt,
ohne Zurücklegen gezogen wird, das heißt, ein Objekt nicht
wieder zurückgelegt wird, nachdem es einmal entnommen
wurde?
Einführendes Beispiel: Gegeben seien fünf Kugeln (→ n = 5), und
zwar in den Farben rot, blau, gelb, weiß und schwarz. Es werden
nun nacheinander und ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen (→
k = 2). Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich, wenn die
Reihenfolge der gezogenen Kugeln keine Rolle spielt?
Dieses Problem lässt sich auf das uns mittlerweile bekannte
Problem „Permutationen mit Wiederholung“ zurückführen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
10
Kombinationen ohne Wiederholung
Die insgesamt fünf Kugeln lassen sich in zwei Sorten einteilen:
gezogene Kugeln (1. Sorte, dazu gehören zwei Kugeln) und
nicht gezogene Kugeln (2. Sorte, dazu gehören drei Kugeln).
Unsere Ausgangsfrage könnten wir auch wie folgt formulieren: Wie
viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die fünf Kugeln
anzuordnen, wobei es unerheblich ist, in welcher Reihenfolge die
gezogenen Kugeln angeordnet werden und in welcher Reihenfolge
die nicht gezogenen Kugeln angeordnet werden.
Nach unserer Überlegung bei den Permutationen mit Wiederholung
5!
ergeben sich 2!·3!
= 10 Möglichkeiten.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
11
Kombinationen ohne Wiederholung
Zurück zum allgemeinen Fall. Um aus n Objekten nacheinander und
ohne Zurücklegen k Objekte zu entnehmen, gibt es
n k
=
n!
k!(n−k)!
Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge der entnommenen Objekte
keine Rolle spielt.
n k ist dabei der sogenannte Binomialkoeffizient. Gesprochen
wird dieser Ausdruck als „n über k“.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
12
Kombinationen ohne Wiederholung
Beispiel: Beim Lotto 6 aus 49 werden aus 49 Kugeln
(durchnummeriert von 1 bis 49) nacheinander und ohne
Zurücklegen sechs Kugeln gezogen. Die Reihenfolge, in der die
Kugeln gezogen werden, spielt für das Ergebnis keine Rolle. Wie
viele Möglichkeiten gibt es?
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
13
Ausblick: Anwendung in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit nur endlich vielen
Ergebnissen (möglichen Ausgängen). Falls jedes Ergebnis mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt, spricht man von einem
Laplace-Experiment.
Ein Ereignis eines Zufallsexperimentes ist eine Teilmenge der
Ergebnismenge, das heißt, eine Menge von Ergebnissen.
Bei einem Laplace-Experiment lässt sich die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten eines Ereignisses nach der folgenden Formel
berechnen:
Anzahl der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören
.
Anzahl aller Ergebnisse des Zufallsexperimentes
Die Anzahlen in Zähler und Nenner lassen sich häufig mit
Hilfsmitteln aus der Kombinatorik berechnen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
14
Ausblick: Anwendung in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel: Bei einer Lotto-Ziehung 6 aus 49 handelt es sich um ein
Laplace-Experiment, denn jede Ziehung ist gleichwahrscheinlich.
Die
49 Anzahl aller Ergebnisse dieses Zufallsexperiments beträgt
6 = 13 983 816.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man mit einem Tipp
sechs Richtige?
Zum Ereignis „sechs Richtige“ gehört nur ein Ergebnis (denn
nur eine mögliche Ziehung stimmt mit dem abgegebenen Tipp
überein). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit
1
49 ≈ 7,15 · 10−8 = 0,00000715%.
6
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
15
Ausblick: Anwendung in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man mit einem Tipp
genau vier Richtige?
Wir überlegen, wie viele Ergebnisse zum Ereignis „genau vier
Richtige“ gehören.
D.h., wie viele der möglichen Ziehungen bestehen aus genau 4
der getippten und aus genau 2 der nicht getippten Zahlen?
Zunächst gibt es 64 Möglichkeiten dafür, dass eine Ziehung
genau 4 der 6 getippten
enthält. Für jede dieser
43Zahlen
Möglichkeiten gibt es 2 Möglichkeiten für die zwei übrigen,
nicht getippten Zahlen.
6 43
Die gesuchte Anzahl beträgt somit 4 · 2 = 13 545.
Die Wahrscheinlichkeit
6 43dafür, genau vier Richtige zu erzielen,
·
beträgt somit 4 492 ≈ 9,69 · 10−4 = 0,0969%.
6
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
16
Kurzer Einschub: Das Summenzeichen
Es seien a0 , a1 , . . . , an reelle Zahlen. Dann ist
n
ak nichts weiter
k=0
als die Kurzschreibweise für die Summe a0 + a1 + . . . + an .
Statt k kann auch eine andere Bezeichnung für den
Summationsindex verwendet werden. Dieser muss außerdem nicht
bei 0, er kann auch bei einer anderen natürlichen Zahl beginnen.
Beispiele:
4
3k =
k=0
5
k=1
4
k=
(−2)i =
i=1
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
17
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
18
Problemstellung
Gegeben sei eine Aussageform A(n), die von einer natürlichen Zahl
n abhängt. Als Beispiele kann man sich vorstellen:
die Ungleichung 2n > n2 ,
n
n(n + 1)
die Gleichung
k=
,
2
k=1
die Äußerung „Eine Menge mit n Elementen besitzt 2n
Teilmengen.“
Für jede konkrete natürliche Zahl n wird A(n) zur Aussage, das
heißt, für jedes konkrete n ∈ N lässt sich entscheiden, ob A(n) wahr
oder falsch ist.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
19
Problemstellung
Angenommen, es soll bewiesen werden, dass eine Aussage A(n) für
alle natürlichen Zahlen n ab einer gewissen Zahl n0 wahr ist. Dann
kann dafür das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
hilfreich sein.
Wie geht man dabei vor?
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
20
Vorgehen
Schritt 1: Man weist die Gültigkeit der Aussage für die
Zahl n0 nach (Induktionsanfang).
Schritt 2: Man nimmt an, die Gültigkeit der Aussage
wurde bereits für alle natürlichen Zahlen
n = n0 , n0 + 1, . . . , N nachgewiesen
(Induktionsvoraussetzung), und zeigt mit Hilfe dieser
Voraussetzung, dass die Aussage auch für n = N + 1 wahr
ist (Induktionsschritt).
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
21
Beispiel 1
Mittels vollständiger Induktion wollen wir nachweisen, dass für alle
n ≥ 5 die Ungleichung 2n > n2 erfüllt ist.
Induktionsanfang: Wir weisen nach, dass die Ungleichung für
n = 5 erfüllt ist (der Startwert, der immer mit n0 bezeichnet
wurde, ist hier 5). Das geht durch einfaches Nachrechnen:
Induktionsvoraussetzung (IV): Wir nehmen an, die
Gültigkeit der Ungleichung wurde bereits für alle
n = 5, 6, 7, . . . , N nachgewiesen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
22
Beispiel 1
Induktionsschritt: Unter Verwendung der IV weisen wir nach,
dass die Ungleichung auch für n = N + 1 richtig ist, dass also
gilt:
2N+1 > (N + 1)2 .
Zunächst gilt
Aus der IV können wir schlussfolgern, dass 2N > N 2 ist (denn
wir haben ja angenommen, dass die Ungleichung bereits für
n = N nachgewiesen wurde).
Damit und unter Beachtung von N ≥ 5 folgt
Damit sind die Schritte abgearbeitet und die Gültigkeit der
Ungleichung 2n > n2 ist für alle n ≥ 5 bewiesen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
23
Beispiel 2
Mittels vollständiger Induktion wollen wir nachweisen, dass für alle
n ≥ 1 die Identität
n
n(n + 1)
(1)
k=
2
k=1
erfüllt ist, dass also die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n
gleich n(n+1)
ist.
2
Induktionsanfang: Wir weisen nach, dass die Gleichung für
n = 1 erfüllt ist.
Induktionsvoraussetzung (IV): Wir nehmen an, die
Gültigkeit der Gleichung (1) wurde bereits für alle
n = 1, 2, 3, . . . , N nachgewiesen.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
24
Beispiel 2
Induktionsschritt: Unter Verwendung der IV weisen wir nach,
dass die Gleichung auch für n = N + 1 richtig ist, dass also gilt:
N+1
k=
k=1
(N + 1)(N + 2)
.
2
Zunächst gilt
N(N+1)
Aus der IV können wir schlussfolgern, dass N
k=1 k =
2
ist (denn wir haben ja angenommen, dass (1) bereits für
n = N nachgewiesen wurde).
Damit folgt
Damit
die Schritte abgearbeitet und die Gültigkeit der Identität
n sind n(n+1)
ist für alle n ≥ 1 bewiesen.
k=1 k =
2
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
25
Reelle Zahlenfolgen
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
26
Definition
Eine reelle Zahlenfolge (an ) ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ N genau eine reelle Zahl an ∈ R zuordnet.
Die Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . heißen Glieder der Folge, an wird als
das n-te Folgenglied bezeichnet.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
27
Bemerkungen
Anstelle von „reelle Zahlenfolge“ werden wir oft auch einfach
nur „Folge“ sagen.
Zu beachten ist der Unterschied zwischen den Ausdrücken (an )
und an : mit an wird ein einzelnes Folgenglied bezeichnet,
wohingegen mit (an ) die gesamte Folge gemeint ist.
Anstelle von (an ) findet man in der Literatur manchmal auch
andere Notationen für Folgen, etwa {an } oder an .
Laut unserer obigen Definition beginnt die Nummerierung der
Folgenglieder jeweils bei n = 0. Tatsächlich kann aber die
Nummerierung auch bei jeder anderen natürlichen Zahl
beginnen, siehe etwa Beispiel 3.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
28
Beispiel 1
Folge der Quadratzahlen, d.h. Folge mit der Bildungsvorschrift
an = n 2
(n ∈ N).
erste Folgenglieder:
a0 = ,
a1 = ,
a2 = ,
a3 = ,
a4 =
,
...
Veranschaulichung:
an
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
Markus Herrich
7
8
9
10
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
29
Beispiel 2
Folge mit der Bildungsvorschrift
n
n+1
(n ∈ N)
a2 = ,
a3 = ,
an =
erste Folgenglieder:
a0 = ,
a1 = ,
a4 = ,
...
Veranschaulichung:
an
1
0
1
2
3
4
Markus Herrich
5
6
7
8
9
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
30
Beispiel 3
Folge mit der Bildungsvorschrift
(−1)n
an =
2n
(n ∈ N, n ≥ 1)
erste Folgenglieder:
a1 =
,
a2 = ,
a3 =
,
a4 = ,
a5 =
,
...
Veranschaulichung:
an
1
2
1
4
0
n
1
-1
4
-1
2
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
31
Beispiel 4
Die Abkühlung von 90◦ C heißem Tee bei Zimmertemperatur
(20◦ C ) genüge dem folgenden Abkühlungsgesetz:
Tn = 20 + 70 · 0.9n
(n ∈ N).
Dabei bezeichne Tn die Temperatur in ◦ C nach n Minuten. Die
ersten Glieder der dadurch definierten Folge (Tn ) sind:
T0 = 90,
T1 = 83,
T2 = 76,7,
T3 = 71,03,
T4 = 65,927,
...
(Werte in ◦ C ).
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
32
Beispiel 4
Veranschaulichung des Abkühlungsprozesses:
Tn
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2
4
6
8
10
12
14
Markus Herrich
16
18
20
22
24
26
28
30
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
33
Monotonie
Eine Folge (an ) heißt
monoton wachsend, wenn für jedes n ∈ N gilt: an+1 ≥ an ,
streng monoton wachsend, wenn für jedes n ∈ N gilt:
an+1 > an ,
monoton fallend, wenn für jedes n ∈ N gilt: an+1 ≤ an ,
streng monoton fallend, wenn für jedes n ∈ N gilt:
an+1 < an .
Zur Untersuchung von Monotonieeigenschaften ist es
empfehlenswert, die Differenz an+1 − an zu betrachten bzw. zu
untersuchen, ob diese Differenz stets dasselbe Vorzeichen hat (ggf.
zumindest ab einem gewissen n).
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
34
Monotonie: Beispiel 1
Folge der Quadratzahlen, d.h. Folge mit der Bildungsvorschrift
an = n 2
(n ∈ N).
Für jedes n ∈ N gilt
an+1 − an =
Demnach ist die Folge (an )
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
35
Monotonie: Beispiel 2
Folge mit der Bildungsvorschrift
(−1)n
an =
2n
(n ∈ N, n ≥ 1).
Für jedes gerade n gilt
an+1 − an =
Für jedes ungerade n gilt
an+1 − an =
Die Differenz an+1 − an ist also immer
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
36
Beschränktheit
Eine Folge (an ) heißt
nach unten beschränkt, wenn eine Zahl Su ∈ R existiert,
sodass für jedes n ∈ N gilt: an ≥ Su (eine solche Zahl Su heißt
dann untere Schranke der Folge (an )),
nach oben beschränkt, wenn eine Zahl So ∈ R existiert,
sodass für jedes n ∈ N gilt: an ≤ So (eine solche Zahl So heißt
dann obere Schranke der Folge (an )),
beschränkt, wenn die Folge sowohl nach unten als auch nach
oben beschränkt ist, das heißt, wenn Zahlen Su ∈ R und
So ∈ R existieren, sodass für jedes n ∈ N gilt: Su ≤ an ≤ So .
Äquivalent dazu kann man auch sagen: die Folge (an ) ist
beschränkt, wenn eine Zahl S ∈ R existiert, sodass für alle
n ∈ N gilt: |an | ≤ S.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
37
Beschränktheit: Beispiel 1
Folge der Quadratzahlen, d.h. Folge mit der Bildungsvorschrift
an = n 2
(n ∈ N).
Diese Folge ist offensichtlich nach unten beschränkt, denn es gilt
an = n2 ≥ 0 für alle n ∈ N. Su = 0 ist also eine mögliche untere
Schranke (auch jede negative Zahl ist eine untere Schranke der
Folge).
Aber die Folge (an ) ist nicht nach oben beschränkt, denn für jede
Zahl So existiert ein n ∈ N, für das gilt: an = n2 > So .
Somit ist die Folge (an ) auch nicht beschränkt.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
38
Beschränktheit: Beispiel 2
Folge mit der Bildungsvorschrift
(−1)n
an =
(n ∈ N, n ≥ 1).
2n
Wir betrachten die Beträge der Folgenglieder an :
1
1
|an | =
≤
2n
2
für alle n ∈ N mit n ≥ 1.Die Beträge der Folgenglieder an lassen
sich also durch eine (von n unabhängige) Konstante nach oben
abschätzen, woraus die Beschränktheit der Folge (an ) folgt.
an
S = 1
2
1
4
0
n
1
-1
4
−S = − 1
2
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
39
Konvergenz
Eine Folge (an ) heißt konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, wenn es
zu jeder Zahl ε > 0 eine (von ε abhängige) Zahl N ∈ N gibt,
sodass für alle n ≥ N gilt:
|an − a| ≤ ε.
(In Worten: Zu jeder noch so kleinen Zahl ε muss eine Zahl N ∈ N
existieren, sodass der Abstand sämtlicher Folgenglieder ab dem
N-ten Folgenglied zur Zahl a höchstens ε beträgt.)
Die Zahl a heißt dann Grenzwert der Folge (an ).
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
40
Konvergenz
Veranschaulichung der Konvergenz:
an
a+ε
a
a−ε
0
N
Markus Herrich
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
41
Beispiel für eine konvergente Zahlenfolge
Die Folge (an ) mit der Vorschrift
an =
n
n+1
(n ∈ N)
ist konvergent, ihr Grenzwert beträgt lim an = 1.
n→∞
In der Tat finden wir zu jeder noch so kleinen Zahl ε > 0 eine
natürliche Zahl N ∈ N, sodass für alle natürlichen Zahlen n ≥ N
gilt: |an − 1| ≤ ε.
an
1+ε
1
1−ε
N
Markus Herrich
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
42
Bemerkungen
Charakterisierung der Konvergenz: Eine Folge (an )
konvergiert genau dann gegen eine Zahl a, wenn für jede Zahl
ε > 0 höchstens endlich viele Folgenglieder außerhalb des
Intervalls [a − ε, a + ε] liegen.
Eindeutigkeit des Grenzwertes: Ist eine Folge konvergent,
dann ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt.
Zusammenhänge zur Monotonie und Beschränktheit:
Ist eine Folge (an ) monoton wachsend oder monoton fallend
und außerdem beschränkt, dann ist die Folge auch konvergent.
Allein aus der Monotonie oder allein aus der Beschränktheit
lässt sich im Allgemeinen aber nicht die Konvergenz einer
Folge schlussfolgern (siehe auch nachfolgende Beispiele).
Ist eine Folge (an ) konvergent, dann ist sie auch beschränkt.
Die Monotonie hingegen folgt nicht zwangsläufig aus der
Konvergenz.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
43
Beispiele für nicht konvergente Zahlenfolgen
Die Folge (an ) mit der Vorschrift
an = (−1)n
(n ∈ N)
ist nicht konvergent. In der Tat lässt sich kein Wert a ∈ R finden,
sodass für jedes ε > 0 höchstens endlich viele Folgenglieder
außerhalb des Intervalls [a − ε, a + ε] liegen. Zum Beispiel liegen
stets unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls
[a − 12 , a + 12 ], egal welchen Wert a hat.
an
3
2
1
1
2
n
-1
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
44
Beispiele für nicht konvergente Zahlenfolgen
Die Folge (an ) mit der Vorschrift
an = (−1)n
(n ∈ N)
ist nicht konvergent. In der Tat lässt sich kein Wert a ∈ R finden,
sodass für jedes ε > 0 höchstens endlich viele Folgenglieder
außerhalb des Intervalls [a − ε, a + ε] liegen. Zum Beispiel liegen
stets unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls
[a − 12 , a + 12 ], egal welchen Wert a hat.
an
1
n
-1
2
-1
-3
2
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
45
Beispiele für nicht konvergente Zahlenfolgen
Die Folge (an ) mit der Vorschrift
an = (−1)n
(n ∈ N)
ist nicht konvergent. In der Tat lässt sich kein Wert a ∈ R finden,
sodass für jedes ε > 0 höchstens endlich viele Folgenglieder
außerhalb des Intervalls [a − ε, a + ε] liegen. Zum Beispiel liegen
stets unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls
[a − 12 , a + 12 ], egal welchen Wert a hat.
an
1
1
2
n
-1
2
-1
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
46
Beispiele für nicht konvergente Zahlenfolgen
Die Folge (an ) mit der Vorschrift
an = n 2
(n ∈ N)
ist nicht konvergent. In der Tat lässt sich auch für diese Folge kein
Wert a ∈ R finden, sodass für jedes ε > 0 höchstens endlich viele
Folgenglieder außerhalb des Intervalls [a − ε, a + ε] liegen.
an
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
Markus Herrich
5
6
7
8
9
10
n
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
47
Divergenz
Ist eine Folge (an ) nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man
unterscheidet noch zwischen bestimmter und unbestimmter
Divergenz.
Eine Folge (an ) heißt bestimmt divergent gegen +∞, falls
zu jeder Zahl C ∈ R eine (von C abhängige) Zahl N ∈ N
existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: an ≥ C .
Eine Folge (an ) heißt bestimmt divergent gegen −∞, falls
zu jeder Zahl C ∈ R eine (von C abhängige) Zahl N ∈ N
existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: an ≤ C .
Eine Folge (an ) heißt unbestimmt divergent, falls sie weder
konvergent noch bestimmt divergent gegen +∞ oder −∞ ist.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
48
Divergenz
Die Folge (an ) mit der Vorschrift an = (−1)n ist unbestimmt
divergent.
Die Folge (an ) mit der Vorschrift an = n2 ist bestimmt
divergent gegen +∞.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
49
Praktische Berechnung von Grenzwerten
Die praktische Untersuchung einer Folge auf Konvergenz sowie die
Berechnung des Grenzwertes erfolgt meist nicht durch Verwendung
der Definition, sondern mit Hilfe bekannter Grenzwerte und durch
Ausnutzung von Gesetzmäßigkeiten.
Bekannte Grenzwerte (Auswahl):
1
lim
= 0 für jede Zahl p > 0
n→∞ np
lim q n = 0 für jede Zahl −1 < q < 1
n→∞
x n
lim
1+
= ex für jede Zahl x ∈ R
n→∞
n
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
50
Einige Grenzwertsätze
Es seien (an ) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a und (bn )
eine konvergente Folge mit dem Grenzwert b. Dann gelten die
folgenden Aussagen.
Konstante Faktoren: Für jede Zahl c ∈ R gilt
lim c · an = c · lim an = c · a.
n→∞
n→∞
Summe: Es gilt lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b.
Differenz: Es gilt lim (an − bn ) = lim an − lim bn = a − b.
Produkt: Es gilt
lim (an · bn ) = lim an · lim bn = a · b.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
=
n→∞ bn
limn→∞ bn
b
(Voraussetzung: b = 0 und bn = 0 für alle n ∈ N).
Quotient: Es gilt lim
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
51
Einige Grenzwertsätze
Es seien (an ) eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a und
f : Df ⊆ R → R eine stetige Funktion. Dabei gelte a ∈ Df und
an ∈ Df für alle n ∈ N. Dann ist auch die Folge (f (an )) konvergent
und es gilt
lim f (an ) = f lim an = f (a).
n→∞
n→∞
Insbesondere folgen daraus die folgenden Aussagen:
p
p
Potenzen: Für jede Zahl p gilt lim an =
lim an = ap
anp
n→∞
n→∞
ist für alle n ∈ N definiert).
Betrag: Es gilt lim |an | = lim an = |a|.
(Vor.:
ap
ist definiert und
n→∞
Markus Herrich
n→∞
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
52
Berechnung von Grenzwerten: Beispiele
5n
=
n→∞ n + 1
lim
lim
n→∞
3
1+
n
7n
=
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
53
Unbestimmte Ausdrücke
Manchmal liegen unbestimmte Ausdrücke wie „ ∞
∞ “, „0 · ∞“ oder
„∞ − ∞“ vor. In einem solchen Fall kann man nicht sofort
entscheiden, ob und, wenn ja, wogegen die Folge konvergiert.
Manchmal helfen aber Termumformungen weiter, um danach
anhand des umgefromten Terms und mit Hilfe von Grenzwertsätzen
eine Entscheidung zu treffen.
Als Beispiel betrachten wir den Fall, dass an der Quotient zweier
Polynome in n ist.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
54
Quotient zweier Polynome
6n2 − 5n + 3
Gegeben sei die Folge (an ) mit der Vorschrift an =
.
2n2 + 9
Wir wollen untersuchen, ob diese Folge konvergiert, und ggf. den
Grenzwert bestimmen.
Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen Unendlich für n → ∞.
Wir haben es also mit dem Fall „ ∞
∞ “ zu tun und können daher nicht
auf Anhieb Aussagen zur Konvergenz der Folge machen.
Wir formen den Quotienten etwas um, indem wir sowohl im Zähler
als auch im Nenner die höchste Potenz des Nenners ausklammern
und anschließend kürzen:
an =
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
55
Quotient zweier Polynome
Nun folgt durch Anwendung von Grenzwertsätzen
lim an =
n→∞
Merke: Wenn an der Quotient zweier Polynome in n ist und das
Verhalten von an für n → ∞ untersucht werden soll, ist es hilfreich,
sowohl im Zähler als auch im Nenner die höchste Potenz des
Nenners auszuklammern.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
56
Quotient zweier Polynome
Ein weiteres Beispiel dieser Art:
6n3 − 5n + 3
.
Gegeben sei die Folge (an ) mit der Vorschrift an =
2n2 + 9
Wir wollen wiederum untersuchen, ob diese Folge konvergiert, und
ggf. den Grenzwert bestimmen.
Klammern wir sowohl im Zähler als auch im Nenner die höchste
Potenz des Nenners aus, ergibt sich
an =
Der Nenner dieses Ausdrucks konvergiert gegen 2 für n → ∞,
während der Zähler gegen +∞ geht. Daraus folgt, dass auch der
Quotient, also an selbst, gegen +∞ geht. Die Folge (an ) ist also
nicht konvergent, sondern bestimmt divergent gegen +∞.
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
57
Einschließungskriterium
Manchmal ist zur Untersuchung auf Konvergenz die folgende
Aussage hilfreich (sog. Einschließungskriterium oder auch
Sandwich-Satz):
Angenommen, zwei Folgen (bn ) und (cn ) konvergieren gegen
denselben Grenzwert g ∈ R, und angenommen, (an ) ist eine weitere
Folge mit der Eigenschaft
bn ≤ an ≤ c n
für alle n ∈ N
(oder zumindest für alle n ab einem gewissen Index N). Dann ist
auch die Folge (an ) konvergent und es gilt lim an = g .
n→∞
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
58
Einschließungskriterium: Beispiel 1
(−1)n
Wir betrachten die Folge (an ) mit der Vorschrift an =
.
2n
Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 gilt
−
1
1
≤ an ≤
.
2n
2n
Wegen
1
1
= 0 und
lim
=0
n→∞ 2n
n→∞ 2n
folgt nach dem Einschließungskriterium auch
lim −
(−1)n
lim an = lim
= 0.
n→∞
n→∞ 2n
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
59
Einschließungskriterium: Beispiel 2
Wir betrachten die Folge (an ) mit der Vorschrift an =
n
.
2n
Einerseits gilt offenbar an ≥ 0 für alle n ∈ N.
Andererseits ist
n
1 n2
1
an = n = · n <
2
n 2
n
für alle n ≥ 5. Dabei haben wir verwendet, dass für n ≥ 5 die
Ungleichung 2n > n2 gilt (Beweis siehe Folien 22–23).
Folglich gilt 0 ≤ an < n1 für alle n ≥ 5. Wegen limn→∞ 0 = 0 und
limn→∞ n1 = 0 folgt nach dem Einschließungskriterium auch
n
= 0.
n→∞ 2n
lim an = lim
n→∞
Markus Herrich
Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
60