Vertiefungsfach Mathematik, Modul P

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Modul P
Parabelwerkstatt
Vertiefungsfach Mathematik –
Schwerpunkt „Parabelwerkstatt“
Modul P „ Parabeln in Anwendungen“
Stundenvolumen
Fachbezogene
Kompetenzen
Inhaltlicher
Schwerpunkt
Arbeitsformen
und Materialien
Arbeitsschritte
6 Stunden
Argumentieren und Kommunizieren
SuS beschaffen sich Informationen für
mathematische Argumentationen und
bewerten diese
Probleme erfassen, erkunden und
lösen
SuS interpretieren die Modellierung
und untersuchen den
Anwendungsbezug kritisch,
reflektieren die Annahmen aus der
Realsituation und variieren diese
gegebenenfalls
Modelle erstellen und nutzen
SuS modellieren Sachsituationen durch
quadratische Funktionen, übersetzen
Realsituationen in einfache
mathematische Modelle
Graphische Darstellung
quadratischer Funktionen
SuS
1) wiederholen
Scheitelpunktsform und
Normalform von Parabeln
2) verwenden Terme
3) stellen quadratische
Funktionen mit eigenen
Worten, in Wertetabellen,
Grafen und in Termen
dar, wechseln zwischen
diesen Darstellungen und
benennen ihre Vor- und
Nachteile (arbeitsteilige
Gruppenarbeit möglich)
4) bestimmen die
Funktionsgleichung von
quadratischen
Funktionen
geogebra (Einführung)

Müngstener-Brücke (u.ä.)
Expertenrunde zu
Parabelpassung nach
„Modellieren in der SI “ ()

http://www.harderweb.de/hj/down
loads/Fortbildung/2006Pfingsttag
ung/21_Parabelb%9Agen_2006.
pdf
2
Medien und Werkzeuge verwenden
Optimierung mit Parabeln
SuS vertiefen den Umgang mit
Werkzeugen
6 Stunden
Mit Zahlen und Symbolen umgehen
SuS verwenden Terme, untersuchen
Muster und Beziehungen
Beziehungen
beschreiben
und
Veränderungen
SuS verwenden den Funktionsbegriff
SuS
1) identifizieren
quadratische
Abhängigkeiten
2) erkunden wirtschaftliche
Zusammenhänge
(Internetrecherche)
3) stellen Datenpaare
grafisch dar und
führen eine quadratische
Anpassung unter
Verwendung des PC
durch und nutzen die
Ergebnisse für
Prognosen
4) nutzen den eingeführten
Taschenrechner zur
Kontrolle und
5) vertiefen den Umgang
mit Werkzeugen
(Taschenrechner,
Tabellenkalkulationsprogramme)

Roller-Skates [vgl.
Aufgabensammlung der
Arbeitsgruppe Mathematik des
Netzwerkes im Regierungsbezirk
Düsseldorf, NRW im BLKProgramm SINUS]

Break-Even-Point
SuS
1) stellen
Parabelgleichungen auf
2) erkennen den zulässigen
Bereich
3) bestimmen den
günstigsten
Wertebereich
4) vertiefen den Umgang
mit den Werkzeugen

Parabelgesichter

Kette an der Wandtafel

Gartenschlauch

Hochsprung

Parabelflug

Kölnarena

Gateway Arch
PC (Gruppenarbeit)
4 Stunden
ebene und räumliche Strukturen
nach Maß und Form erfassen
Parabeln in verschiedenen
Darstellungen
3
4.1. Rahmenbedingungen Modul P
Am Vertiefungskurs Mathematik nehmen auf freiwilliger Basis Schülerinnen und
Schüler (10w, 2 m) teil. Der Kurs besteht vorwiegend aus Seiteneinsteigerinnen aus
der Realschule (9), die sehr motiviert sind, ihre Noten zu verbessern.
4.2. Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite
Alle Teilnehmer haben im Regelunterricht Mathematik Defizite in der Sonstigen
Mitarbeit (4 minus und schlechter)
Argumentieren/Kommunizieren
 alle Teilnehmer kommunizieren miteinander und mit mir, sie erleben das
Reden über Mathematik als stressfrei (in einer Umfrage zu Beginn des Kurses
äußerte ein größerer Teil der Gruppe, sie würden sich im Regelunterricht
selten oder nie beteiligen [siehe Somi-Noten])
 reihum präsentieren die TN ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im
Vortrag und an der Tafel
 Sie argumentieren zunächst eher unbeholfen und nicht immer fehlerfrei
Problemlösen
 TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese
 Lösung gelingt erst dann, wenn bekannte Rechenverfahren genutzt werden
können
Modellieren
 Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle (Funktionenklassen,
Rechenwege) wird eine Lösung erreicht
Werkzeuge
 Der Umgang mit dem TR TI 30 ist prinzipiell bekannt, der neu eingeführte TR
Casio fx-991 muss in seiner vielfältigen Funktionalität in mehreren Stunden
noch erklärt werden (Speichern, Lösen von Gleichungen und
Gleichungssystemen, Statistikfunktionen...)
 Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern (hier Geogebra, MuPad) ist
unbekannt und teilweise „unbeliebt“
 Lehr- und Lernprogramme (KL-Soft o.ä.) sind unbekannt
Arithmetik/Algebra
 Der Umgang mit Zahlen ist geläufig, die Zahlenbereiche N,Z,Q, R sind nicht
bekannt
 Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen
möglichst vermieden
Funktionen
 Begriffsdefinition unpräzise vorhanden
 Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden
 Lineare und quadratische Funktionen sind als Funktionenklassen bekannt,
wenn auch Begrifflichkeiten (Steigung der Parabel statt Streckfaktor,
Achsenabschnitt und Nullstellen häufig verwechselt werden)
 Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bei diesen Funktionen
bekannt
 Extremwertbestimmung bei quadratischen Funktionen über die
Scheitelpunktsform ist teilweise bekannt, aber sehr Rechenfehler anfällig
 Schnittpunktbestimmung zweier Funktionen (LGS bzw. quadratische
Gleichung [p-q-Formel]) bereitet Schwierigkeiten
Geometrie
 ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen
 Einfache Konstruktionen bekannt
 Pythagoras in der Form a² + b² = c² bekannt
5
Modul P:
„Parabelwerkstatt“
1. Stundenvolumen
ca. 12 Doppelstunden
2. Kompetenzerwartung
Die TN können am Ende der Reihe
- den Funktionsbegriff sicher anwenden
- die quadratische Funktionen sicher beherrschen
- quadratische Gleichungen lösen
- den Funktionsplotter anwenden
3. Inhaltlicher Schwerpunkt (siehe Modul L)
4. Arbeitsformen und Materialien
Expertenrunde, arbeitsteilige GA, Einzelarbeit , siehe auch Modul L
(a. Anhang)
5. Arbeitsschritte
Die TN erstellen eine Mind Map zu quadratischen Funktionen. Die Lehrkraft stellt
einige Stichworte zur Verfügung (Parabelgleichung, Nullstellen......). Die
grundlegenden Kenntnisse über den Funktionsbegriff werden aufgegriffen.
6.
Transparenz/Reflexion der Zielerreichung
Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem
Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in dieses
Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte Materialien der
Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes (Fachinhaltliches,
Dokumentation des eigenen Lernprozesses).
Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das
Vertiefungsfach hinaus ist möglich
7.
Lernprozess- und Ergebnisevaluation
Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche mit
Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des Regelkurses
ein.
8.
Kursevaluation
Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen,
Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Rückmeldungen der
Schulleitung.
6
Anhang:
Materialien
P 1 Müngstener Brücke mit geogebra
P 2 Roller-Skates
P 3 Test zu Parabeln
P 4 Break-Even-Point
P 5 Parabelgesichter
P 6 Kette an der Wandtafel
P 7 Gartenschlauch
P 8 Hochsprung
P 9 Parabelflug
P10 Kölnarena
P11 Gateway.Arch
7
Brücken und Parabeln
o Müngstener Brücke
o Passung mit Geogebra
o Internetrecherche zu weiteren „Parabelbildern“ [Wembleystadion, Gate
Away Arch, Köln Arena]

Optimierung mit Parabeln (evt. 2 Doppelstunden)
o Roller-Skates [vgl. Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik
des Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW im BLKProgramm SINUS]
o Break-Even-Point

Parabelgesichter
8
Material Modul P
Parabelwerkstatt
9
Müngsten mit Geogebra
Veröffentlichung mit freundlicher Genehmigung der RS Gesellschaft für Informationstechnik mbH &
Co. KG rga. Datentechnik, Remscheid
© J.F. Ziegler KG Druckerei und Verlag
10
Roller-Skates
Ein Sportgeschäft bietet Roller - Skates zum Preis von 144 € an. Innerhalb eines
Monats verkauft der Händler 995 Stück.
Laut eines Marktforschungsberichts würde das Sportgeschäft nur 815 Stück
verkaufen können, wenn die Roller - Skates 189 € kosten würden. Ferner vermutet
der Bericht einen linearen Zusammenhang zwischen der Zahl der verkauften Skates
und dem Stückpreis
1.
Ermittle den Term der Nachfragefunktion, die jedem Stückpreis die Zahl der
verkauften Skates (den Absatz) zuordnet.
2.
Wie groß ist der zu erwartende Absatz bei einem Stückpreis von 100 € bzw.
200 €?
3.
Bei welchem Stückpreis bleibt das Sportgeschäft auf seiner Ware sitzen?
4.
Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion und löse Aufgabenteil 1 und 3
zeichnerisch.
5.
Der Einkaufspreis pro Roller-Skate beträgt 100 €. Bestimme eine Gleichung
der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gewinn pro Stück
zuordnet, und eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften
Skates den Gesamtgewinn zuordnet.
6.
Zeichne den Graphen der Gesamtgewinnfunktion. Lies aus dem Graphen
ab, bei welcher Stückzahl der Gesamtgewinn maximal ist. Wie groß muss
dann der Verkaufspreis sein?
11
TEST
1a) Wandle die angegebene Scheitelpunktform in die Normalform um.
y1 = (x + 3)2 + 2
b) Gib den Scheitelpunkt an!
c) Zeichne den Graph der Funktion in das untenstehende KOS ein!
(5P)
2a) Wandle die angegebene Normalform in die Scheitelpunktform um.
y2 = x2 - 7·x + 7,75
b) Gib den Scheitelpunkt an!
c) Zeichne den Graph der Funktion in das untenstehende KOS ein!
(5P)
(2P)
(3P)
(2P)
(3P)
3.) Lies die Scheitelpunkte der Funktionen y3 und y4 aus dem KOS ab und gib (4P)
die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform und in der (4P)
Normalform an!
(4P)
4) Löse die quadratischen Gleichungen mit der p-q-Formel!
a) 0 = x2 – 8·x – 33
b) 0 = x2 - 4·x – 16,25
(4P)
(4P)
5) Löse die quadratischen Gleichungen:
a) 0 = 3·x2 + 48·x - 108
b) x2 - 3·x – 10,5 = 0,2·x + 3,3425
(5P)
(5P)
6.) Sachaufgabe:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete, die um 2,5cm länger ist als die
andere Kathete aber um 2,5 cm kürzer als die Hypotenuse! Berechne alle
(5P)
Dreiecksseiten!
(Hinweis: eine Skizze kann nützlich sein!)
Z) Überprüfe die Lösungen aus Aufgabe 4) mit dem Satz von Viëta!
(+2)
12
Geogebra Break Even Point
13
Geist mit Geogebra
14
Kette an der Wandtafel
An der Wandtafel wird eine Kette aufgehängt.
Benötigt werden:
2 Magnethaken, 1 Kette und ein vorgefertigtes KOS.
Untersuche, ob es sich um eine Parabel handelt.
(Idee: Sibylle Stachniss-Carp Parabelwerkstatt)
Mathematisch gesehen handelt es sich natürlich
um eine „Kettenlinie“
(wie der Name schon sagt)
Foto: S. Neuhann
15
Gartenschlauch
Wir erzeugen eine Parabel mit dem Gartenschlauch
http://www.gfb-neu.de/blog/196/springbrunnen.png
Veröffentlichung mit freundlicher Genehmigung von Herrn Armin Brög, Gymnasium in den
Filder Benden, Moers
16
Hochsprung
(Diese Aufgabe wurde im Rahmen des Modellprojektes SINUS NRW auf der Grundlage der
mathematischen Überlegungen zu den leichtathletischen Sprungdisziplinen von Reiner Liese
entwickelt. Vgl. hierzu Liese, Reiner: Immer höher, immer weiter; Mathematik lehren (4), S. 5457, Friedrich Verlag, Seelze 1984.)
In der Leichtathletik kann man die Flugkurven untersuchen, die beim Hochsprung zu
beobachten sind. Dabei untersucht man die Bahn des Körperschwerpunktes des
Athleten. Die Flugbahn des Körperschwerpunktes lässt sich durch eine Parabel
beschreiben. Bei einem gestreckten Körper liegt der Körperschwerpunkt
0,6xKörpergröße von den Fußsohlen entfernt.
Bei den unterschiedlichen Sprungstilen liegt der Scheitelpunkt der Bahn verschieden
hoch über oder sogar durch die Krümmung des Körpers bedingt unterhalb der Latte.
Bei einem guten Sprung des Fosbury-Flop sollten die Sportler folgendes anstreben:
Der Scheitelpunkt liegt genau 5 cm oberhalb der Latte.
Der Sportler springt eine Armlänge vor dem Hochsprunggerüst ab.
1.
2.
Recherchiere im Internet nach „Hochsprungtechniken“.
Fertige eine Planskizze an, die den Sachverhalt beschreibt
3.
Begründe, dass sich die Flugbahn in einem geeignet gewählten
Koordinatensystem in der Form y = -ax2 +c mit a >0 beschreiben lässt.
4.
Ulrike Meyfarth gewann bei den Olympischen Spielen im München 1972 mit 16
Jahren völlig überraschend die Goldmedaille im Hochsprung. Sie gewann
damals mit einer Höhe von 1,92 m mit Fosbury-Stil. Ihre Körpergröße betrug
1,88 m, ihre Armlänge 90 cm.
a)
b)
c)
5.
Gib die Koordinaten von Absprung- und Scheitelpunkt an.
Bestimme damit die Gleichung der Flugparabel bei dem Siegsprung in
München.
Zeichne den Graphen der Flugbahn des Körperschwerpunktes in ein
geeignetes Koordinatensystem und markiere Absprung- und Scheitelpunkt
und die übersprungene Höhe.
Der Absprungpunkt muss von den Springern genau getroffen werden, um die
optimale Höhe über der Latte zu erreichen.
a) Welche Gleichung ergibt sich, wenn Ulrike Meyfarth den Absprung um
eine Fußlänge (ca. 25cm) zu früh beginnt?
b) Zeichne diese Flugbahn in das vorhandene Koordinatensystem ein und
markiere die wichtigen Punkte.
c)
Welche Höhe hätte sie damit erzielt?
17
Lösungshinweise Aufgabe 10.3 Hochsprung
1.
2.
individuelle Lösung
Skizze:
3.
4.
SP auf Scheitelpunkt, Parabel nach unten geöffnet
a)
für A:
x = -90;
y= 0,6∙188 = 112,9 ;
also A=(-90/113)
für SP:
x = 0;
y = 192 + 5 = 197;
also SP = (0/197)
2
b)
Ansatz y = -ax + c führt mit den Koordinaten von A und SP auf
a=
4.
c)
a)
b)
c)
84
 0,0104 und c = 197
8100
s. unten
y = -0,0104(x-25)2+197 = -0,0104x2-0,52x+190,5
s. unten
x = 0 liefert y = 190,5
wegen der Differenz SP zu Latte ( -5cm) gilt h = 185,5cm
Anmerkung:
Der Unterschied beträgt
192  185,5
 100%  3,39%
192
18
19
Parabelflug
Wieso nennt man einen derartigen Flug „Parabelflug“?
Gibt es eine Parabelgleichung?
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Parabelflug
Dieses Bild ist lizenziert unter der GNU General Public License.
20
Die Kölnarena
Das Dach der Kölnarena, einer Veranstaltungshalle in Köln-Deutz, wird von einem
Stahlbogen getragen, der die Form einer quadratischen Parabel hat.
Der Bogen ist über dem ebenen Erdboden an der höchsten Stelle 73 m hoch und hat eine
Spannweite von ca. 180 m.
a) Bestimme eine Gleichung derjenigen Funktion f, die die Parabel beschreibt.
Das Dach der Kölnarena ist leicht geneigt. Zur Vereinfachung nehmen wir zunächst an,
dass es waagerecht verläuft.
Für den Parabelbogen sollst du im Folgenden mit
f(x)  -
73
x 2  73
8100
weiterrechnen.
b) Wie lang kann das Dach maximal sein, wenn die Halle (über dem Erdboden) 30 Meter
hoch sein soll?
c) Der Bauherr möchte, dass die Halle mit diesem Parabelbogen 160 m lang sein soll.
Was würdest du entgegenhalten?
d) Kann man bei gleicher Höhe (73 m) einen Parabelbogen so konstruieren, dass ein 140
m langes Dach in 40 m Höhe aufgehängt werden kann?
Begründe rechnerisch! Begründe auch nicht-rechnerisch, d.h. inhaltlich bzw.
anschaulich!
e) Die Abspannseile sind in gleichen Abständen von 10 m auf dem Dach befestigt. Sie
treffen im Winkel von 45° auf die Dachfläche. Wie lang sind die Seile bei den x-Werten
x = - 60 und x = - 50 ?
f) Das Dach der Kölnarena ist tatsächlich leicht geneigt. Auf der tieferen Seite ist es in 30
m Höhe an den Parabelbogen angehängt und steigt dann alle 10 m um 30 cm an.
Wie lang ist das Dach und wie hoch ist es auf der anderen Seite?
g) Finde andere Gebäude oder Hochbauten, deren Dachkonstruktion durch eine Parabel
beschrieben werden kann (Internetrecherche möglich).
21
Steckbrief der Aufgabe
Inhaltliche Kurzbeschreibung
In einer anwendungsbezogenen Aufgabe werden verschiedene Aspekte von Parabeln behandelt, z.B. Form,
quadratische Gleichungen und Schnitt mit Geraden. Ein Schwerpunkt liegt auf dem Aspekt des
Modellierens.
Funktion der Aufgabe:
Zunächst bietet die Aufgabe die Möglichkeit, Basisfertigkeiten zu Parabeln anzuwenden,
nämlich das Lösen quadratischer Gleichungen und den Schnitt einer Parabel mit einer
Geraden.
Der Schwerpunkt der Aufgabe liegt indes auf dem Modellieren. Zum einen sollen die
Schüler die Gleichung eines Parabelbogens aufstellen. Zum anderen müssen sie stets
den wechselseitigen Bezug zwischen den Angaben aus der Realität und den Größen im
mathematischen Modell herstellen.
Schulformen, in denen entwickelt/ erprobt wurde:
Gymnasium
Erforderliche Vorkenntnisse:
Geradengleichungen; Parabelgleichungen; Lösen quadratischer Gleichungen;
gleichschenklige Dreiecke; Satz des Pythagoras
Bezug zu den Kompetenzen des Kernlehrplans:
Modellieren
Kernlehrplan
Hier speziell:
mathemati- übersetzen Realsituationen in Die Schüler stellen die Gleichung der
sieren
mathematische Modelle
Parabel auf (Teil a).
Vor allem interpretieren sie die Angaben
aus dem Text (Punkte auf dem
Parabelbogen) als x- bzw. y-Werte im
mathematischen Modell (Graph im
Koordinatensystem, Funktionsgleichung)
– und umgekehrt.
Funktionen
anwenden
operieren
Kernlehrplan
wenden
quadratische
Funktionen
zur
Lösung
außermathematischer
Problemstellungen an
lösen
Gleichungen
Hier speziell:
Die Schüler benutzen ihre Kenntnisse
über
Parabelgleichungen
und
die
Bedeutung
der
Koeffizienten,
um
Parabelgleichungen aufzustellen (a, d)
und die Koeffizienten zu interpretieren
(d).
quadratische Die Schüler lösen eine einfache und eine
schwierigere quadratische Gleichung (b,
f).
22
Mögliche Schülerlösungen:
a) Legt man das Koordinatensystem so fest, dass die x-Achse auf dem Erdboden und die yAchse durch den höchsten Punkt des Stahlbogens verläuft, so hat die Parabelgleichung die
Form
y = a x2 + b mit unbekannten Formvariablen a und b.
Der höchste Punkt (0 / 73) führt sofort zu b = 73.
Aus der Spannweite von 180 m ergeben sich die Punkte P (- 90 / 0) und P’ (90 / 0).
Eingesetzt in die Gleichung führt dies auf
0 = a · 902 + 73
<=> - 73 = 8100 a
<=> a = - 73 / 8100 ≈ - 0,009 .
Demnach wird der Parabelbogen beschrieben durch die Gleichung
f(x) = - 73 / 8100 x2 + 73 .
30 = - 73 / 8100 x2 + 73 <=> 73 / 8100 x2 = 43
x2 ≈ 4771
<=> x ≈ ± 69,07
Das Dach bzw. die Halle kann maximal 138,14 m lang sein.
b) y = 30:
c) Ist die Halle 160 m lang, so ist x = ± 80, woraus y = f(80) ≈ 15,32 folgt.
Wenn die Halle 160 m lang sein soll, dann kann sie höchstens 15,32 m hoch sein.
Dies kann für einige Zwecke (Sport, Konzerte mit Beleuchtung) zu niedrig sein.
Auch mögen sich die Zuschauerplätze, die man in der Länge gewinnt, in der Höhe
verlieren.
d) Hier wird die Stauchung des Parabelbogens variiert.
y = a x2 + 73
und P(70 / 40) sind gegeben.
40 = a · 702 + 73 <=> - 33 = 4900 a<=> a = - 33 / 4900 ≈ - 0,0067 .
Die Parabel wäre mit a ≈ - 0,0067 stärker gestaucht als die bestehende Parabel mit a ≈
- 0,009 .
Ein derart gestauchter Stahlbogen könnte eine geringere Tragfähigkeit besitzen, oder
die Verankerung im Boden (kleinerer Winkel) fällt schwerer.
e) Mit dem Winkel α = 45° bilden das Abspannseil, die Höhe (Parabelbogen – Dach) und
eine dritte Seite auf dem Dach ein gleichschenkliges Dreieck.
Für x = - 60 rechnet man:
Höhe = f (- 60) – 30 ≈ 10,56
Pythagoras:
10,562 + 10,562 = Seillänge2 => Seillänge ≈ √2 · 10,56 ≈ 14,93
Für x = - 50 rechnet man:
Höhe = f (- 50) – 30 ≈ 20,47
Pythagoras:
20,472 + 20,472 = Seillänge2 => Seillänge ≈ √2 · 20,47 ≈ 28,95
23
f) Das Dach kann beschrieben werden durch eine Gerade mit der Gleichung
y = m · x + b mit m = 0,3 m / 10 m = 0,03.
Die Gerade verläuft durch P (- 69,07 / 30) :
30 = 0,03 · (- 69,07) + b
<=> b ≈ 32,07 .
Die Gleichung der Geraden lautet y = 0,03 x + 32,07 .
Die Höhe und auch die Länge des Daches ändern sich. Um die veränderten Daten zu
erhalten, muss man die Schnittpunkte von Gerade und Parabel ermitteln.

73 2
x  73  0,03 x  32,07
8100


73 2
x  0,03 x  40,93  0
8100

x 2  3,33 x - 4541,55  0

x1/2  -

x  - 69,07 
3,33

2
 3,33 


 2 
2
 4541,55
x  65,75.
Das Dach reicht auf der anderen Seite nur bis x ≈ 65,75.
Jedoch ist es dort f (65,75) ≈ 34,04 m hoch.
Die genaue Dachlänge ermittelt man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
Dachlänge2 = (69,07 + 65,75)2 + (34,04 – 30)2
Dachlänge2 ≈ 18.192,75
Dachlänge ≈ 134,88
Das geneigte Dach ist etwas kürzer, es ist nur 134,88 m lang.
24
Mögliche, ggf. erprobte Unterrichtsorganisation:
Zur Bearbeitung benötigen die Schüler in der Regel eine Doppelstunde.
Die Aufgabenstellung in Teil a), eine Parabelgleichung aufzustellen, ist kein obligatorischer
Inhalt in der Sekundarstufe I; solche „Steckbriefaufgaben“ werden häufig erst in der
Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe behandelt. Man kann die Teilaufgabe a)
daher auch weglassen und stattdessen mit einem vereinfachten Funktionsterm y = - 0,01
x2 + 73 arbeiten. In diesem Fall kann die erste Aufgabenstellung lauten:
„a) Erläutere, wo der Ursprung des Koordinatensystems liegt ?“
Gleichwohl kann man den Schülern auch eine gestufte Hilfe auf „Hilfekärtchen“ anbieten,
um Teilaufgabe a) lösen zu können. Denn die Schüler besitzen Wissen über Parabeln und
die Form von Parabelgleichungen (Koeffizienten).
Die erste Stufe kann lauten: „Überlege dir, wie du das Koordinatensystem möglichst
geschickt legen kannst. Welche Form hat dann die Parabelgleichung?“,
die zweite Stufe „Wie musst du das Koordinatensystem legen, damit die Parabelgleichung
die Form f(x) = a x2 + b hat?“ und
die dritte Stufe „Wie kannst du die Angaben über den Parabelbogen ausnutzen, um die
Gleichung zu finden?“.
In den nachfolgenden Aufgabenteilen b) – f) besteht die Schwierigkeit für die Schüler
häufig darin, die Angaben aus der Aufgabe als x- bzw. y-Werte von Punkten der Parabel
zu deuten oder für die Ergebnisse der Rechnungen (x- und y-Werte) die
Rückinterpretation auf die Kölnarena zu leisten.
Eine entscheidende Hilfe ist eine genaue und übersichtliche Skizze, die gleich zu Beginn
angefertigt werden sollte. Bei den Aufgabenteilen b, c und f kann anhand der Skizze
zunächst eine graphische Lösung erstellt werden, die zu einem Ansatz für eine exakte
Lösung führen kann.
Mögliche Variationen der Aufgabe und des Aufgabenniveaus:
Besitzen die Schüler Kenntnisse in der Trigonometrie, dann kann man in Aufgabe e) einen
Winkel verschieden von 45° wählen.
Erstellt von: Sinus-Transfer, Projekt 1, Set Süd, Untergruppe Köln
25
Gateway-Arch
Der Bogen des Gateway-Arch in St.Louis lässt sich näherungsweise durch folgende
Funktionen annähern:
(1) f ( x )  -0,02071  x 2  192,15,
(2) g( x )  0,000000522  x 4 - 0,016  x 2  192,15
Mit Mupad kann man beide Funktionsgraphen erzeugen
y
175
150
125
100
75
50
25
0
-75
-50
-25
0
25
50
75
x
a) Schreibe eine kleine Einführung zum Gateway-Arch. (Geschichte, Bedeutung,
technische Daten..)
b) Um welche Art von Funktionen handelt es sich ?
c) Berechne für beide Funktionsterme Höhe und Breite des Bogens:
d) Ein Flugzeug mit der Spannweite 20 m fliegt in 100 m Höhe mitten durch den
Bogen. Wie weit sind die Flügelspitzen seitlich vom Bogen entfernt ?
e) Berechne für beide Funktionsterme Höhe und Breite des Bogens:
26
The Arch mit Geogebra
Quelle:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:St_Louis_night_expblend.jpg&file
timestamp=20080128173813
Wikimedia Commons, lizenziert unter
GNU-Lizenz für freie Dokumentation, eingestellt von Daniel Schwen
27
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