Modul P Parabelwerkstatt Vertiefungsfach Mathematik – Schwerpunkt „Parabelwerkstatt“ Modul P „ Parabeln in Anwendungen“ Stundenvolumen Fachbezogene Kompetenzen Inhaltlicher Schwerpunkt Arbeitsformen und Materialien Arbeitsschritte 6 Stunden Argumentieren und Kommunizieren SuS beschaffen sich Informationen für mathematische Argumentationen und bewerten diese Probleme erfassen, erkunden und lösen SuS interpretieren die Modellierung und untersuchen den Anwendungsbezug kritisch, reflektieren die Annahmen aus der Realsituation und variieren diese gegebenenfalls Modelle erstellen und nutzen SuS modellieren Sachsituationen durch quadratische Funktionen, übersetzen Realsituationen in einfache mathematische Modelle Graphische Darstellung quadratischer Funktionen SuS 1) wiederholen Scheitelpunktsform und Normalform von Parabeln 2) verwenden Terme 3) stellen quadratische Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Grafen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile (arbeitsteilige Gruppenarbeit möglich) 4) bestimmen die Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen geogebra (Einführung) Müngstener-Brücke (u.ä.) Expertenrunde zu Parabelpassung nach „Modellieren in der SI “ () http://www.harderweb.de/hj/down loads/Fortbildung/2006Pfingsttag ung/21_Parabelb%9Agen_2006. pdf 2 Medien und Werkzeuge verwenden Optimierung mit Parabeln SuS vertiefen den Umgang mit Werkzeugen 6 Stunden Mit Zahlen und Symbolen umgehen SuS verwenden Terme, untersuchen Muster und Beziehungen Beziehungen beschreiben und Veränderungen SuS verwenden den Funktionsbegriff SuS 1) identifizieren quadratische Abhängigkeiten 2) erkunden wirtschaftliche Zusammenhänge (Internetrecherche) 3) stellen Datenpaare grafisch dar und führen eine quadratische Anpassung unter Verwendung des PC durch und nutzen die Ergebnisse für Prognosen 4) nutzen den eingeführten Taschenrechner zur Kontrolle und 5) vertiefen den Umgang mit Werkzeugen (Taschenrechner, Tabellenkalkulationsprogramme) Roller-Skates [vgl. Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW im BLKProgramm SINUS] Break-Even-Point SuS 1) stellen Parabelgleichungen auf 2) erkennen den zulässigen Bereich 3) bestimmen den günstigsten Wertebereich 4) vertiefen den Umgang mit den Werkzeugen Parabelgesichter Kette an der Wandtafel Gartenschlauch Hochsprung Parabelflug Kölnarena Gateway Arch PC (Gruppenarbeit) 4 Stunden ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen Parabeln in verschiedenen Darstellungen 3 4.1. Rahmenbedingungen Modul P Am Vertiefungskurs Mathematik nehmen auf freiwilliger Basis Schülerinnen und Schüler (10w, 2 m) teil. Der Kurs besteht vorwiegend aus Seiteneinsteigerinnen aus der Realschule (9), die sehr motiviert sind, ihre Noten zu verbessern. 4.2. Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite Alle Teilnehmer haben im Regelunterricht Mathematik Defizite in der Sonstigen Mitarbeit (4 minus und schlechter) Argumentieren/Kommunizieren alle Teilnehmer kommunizieren miteinander und mit mir, sie erleben das Reden über Mathematik als stressfrei (in einer Umfrage zu Beginn des Kurses äußerte ein größerer Teil der Gruppe, sie würden sich im Regelunterricht selten oder nie beteiligen [siehe Somi-Noten]) reihum präsentieren die TN ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im Vortrag und an der Tafel Sie argumentieren zunächst eher unbeholfen und nicht immer fehlerfrei Problemlösen TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese Lösung gelingt erst dann, wenn bekannte Rechenverfahren genutzt werden können Modellieren Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle (Funktionenklassen, Rechenwege) wird eine Lösung erreicht Werkzeuge Der Umgang mit dem TR TI 30 ist prinzipiell bekannt, der neu eingeführte TR Casio fx-991 muss in seiner vielfältigen Funktionalität in mehreren Stunden noch erklärt werden (Speichern, Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, Statistikfunktionen...) Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern (hier Geogebra, MuPad) ist unbekannt und teilweise „unbeliebt“ Lehr- und Lernprogramme (KL-Soft o.ä.) sind unbekannt Arithmetik/Algebra Der Umgang mit Zahlen ist geläufig, die Zahlenbereiche N,Z,Q, R sind nicht bekannt Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen möglichst vermieden Funktionen Begriffsdefinition unpräzise vorhanden Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden Lineare und quadratische Funktionen sind als Funktionenklassen bekannt, wenn auch Begrifflichkeiten (Steigung der Parabel statt Streckfaktor, Achsenabschnitt und Nullstellen häufig verwechselt werden) Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bei diesen Funktionen bekannt Extremwertbestimmung bei quadratischen Funktionen über die Scheitelpunktsform ist teilweise bekannt, aber sehr Rechenfehler anfällig Schnittpunktbestimmung zweier Funktionen (LGS bzw. quadratische Gleichung [p-q-Formel]) bereitet Schwierigkeiten Geometrie ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen Einfache Konstruktionen bekannt Pythagoras in der Form a² + b² = c² bekannt 5 Modul P: „Parabelwerkstatt“ 1. Stundenvolumen ca. 12 Doppelstunden 2. Kompetenzerwartung Die TN können am Ende der Reihe - den Funktionsbegriff sicher anwenden - die quadratische Funktionen sicher beherrschen - quadratische Gleichungen lösen - den Funktionsplotter anwenden 3. Inhaltlicher Schwerpunkt (siehe Modul L) 4. Arbeitsformen und Materialien Expertenrunde, arbeitsteilige GA, Einzelarbeit , siehe auch Modul L (a. Anhang) 5. Arbeitsschritte Die TN erstellen eine Mind Map zu quadratischen Funktionen. Die Lehrkraft stellt einige Stichworte zur Verfügung (Parabelgleichung, Nullstellen......). Die grundlegenden Kenntnisse über den Funktionsbegriff werden aufgegriffen. 6. Transparenz/Reflexion der Zielerreichung Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in dieses Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte Materialien der Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes (Fachinhaltliches, Dokumentation des eigenen Lernprozesses). Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das Vertiefungsfach hinaus ist möglich 7. Lernprozess- und Ergebnisevaluation Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche mit Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des Regelkurses ein. 8. Kursevaluation Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen, Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Rückmeldungen der Schulleitung. 6 Anhang: Materialien P 1 Müngstener Brücke mit geogebra P 2 Roller-Skates P 3 Test zu Parabeln P 4 Break-Even-Point P 5 Parabelgesichter P 6 Kette an der Wandtafel P 7 Gartenschlauch P 8 Hochsprung P 9 Parabelflug P10 Kölnarena P11 Gateway.Arch 7 Brücken und Parabeln o Müngstener Brücke o Passung mit Geogebra o Internetrecherche zu weiteren „Parabelbildern“ [Wembleystadion, Gate Away Arch, Köln Arena] Optimierung mit Parabeln (evt. 2 Doppelstunden) o Roller-Skates [vgl. Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW im BLKProgramm SINUS] o Break-Even-Point Parabelgesichter 8 Material Modul P Parabelwerkstatt 9 Müngsten mit Geogebra Veröffentlichung mit freundlicher Genehmigung der RS Gesellschaft für Informationstechnik mbH & Co. KG rga. Datentechnik, Remscheid © J.F. Ziegler KG Druckerei und Verlag 10 Roller-Skates Ein Sportgeschäft bietet Roller - Skates zum Preis von 144 € an. Innerhalb eines Monats verkauft der Händler 995 Stück. Laut eines Marktforschungsberichts würde das Sportgeschäft nur 815 Stück verkaufen können, wenn die Roller - Skates 189 € kosten würden. Ferner vermutet der Bericht einen linearen Zusammenhang zwischen der Zahl der verkauften Skates und dem Stückpreis 1. Ermittle den Term der Nachfragefunktion, die jedem Stückpreis die Zahl der verkauften Skates (den Absatz) zuordnet. 2. Wie groß ist der zu erwartende Absatz bei einem Stückpreis von 100 € bzw. 200 €? 3. Bei welchem Stückpreis bleibt das Sportgeschäft auf seiner Ware sitzen? 4. Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion und löse Aufgabenteil 1 und 3 zeichnerisch. 5. Der Einkaufspreis pro Roller-Skate beträgt 100 €. Bestimme eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gewinn pro Stück zuordnet, und eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gesamtgewinn zuordnet. 6. Zeichne den Graphen der Gesamtgewinnfunktion. Lies aus dem Graphen ab, bei welcher Stückzahl der Gesamtgewinn maximal ist. Wie groß muss dann der Verkaufspreis sein? 11 TEST 1a) Wandle die angegebene Scheitelpunktform in die Normalform um. y1 = (x + 3)2 + 2 b) Gib den Scheitelpunkt an! c) Zeichne den Graph der Funktion in das untenstehende KOS ein! (5P) 2a) Wandle die angegebene Normalform in die Scheitelpunktform um. y2 = x2 - 7·x + 7,75 b) Gib den Scheitelpunkt an! c) Zeichne den Graph der Funktion in das untenstehende KOS ein! (5P) (2P) (3P) (2P) (3P) 3.) Lies die Scheitelpunkte der Funktionen y3 und y4 aus dem KOS ab und gib (4P) die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktform und in der (4P) Normalform an! (4P) 4) Löse die quadratischen Gleichungen mit der p-q-Formel! a) 0 = x2 – 8·x – 33 b) 0 = x2 - 4·x – 16,25 (4P) (4P) 5) Löse die quadratischen Gleichungen: a) 0 = 3·x2 + 48·x - 108 b) x2 - 3·x – 10,5 = 0,2·x + 3,3425 (5P) (5P) 6.) Sachaufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete, die um 2,5cm länger ist als die andere Kathete aber um 2,5 cm kürzer als die Hypotenuse! Berechne alle (5P) Dreiecksseiten! (Hinweis: eine Skizze kann nützlich sein!) Z) Überprüfe die Lösungen aus Aufgabe 4) mit dem Satz von Viëta! (+2) 12 Geogebra Break Even Point 13 Geist mit Geogebra 14 Kette an der Wandtafel An der Wandtafel wird eine Kette aufgehängt. Benötigt werden: 2 Magnethaken, 1 Kette und ein vorgefertigtes KOS. Untersuche, ob es sich um eine Parabel handelt. (Idee: Sibylle Stachniss-Carp Parabelwerkstatt) Mathematisch gesehen handelt es sich natürlich um eine „Kettenlinie“ (wie der Name schon sagt) Foto: S. Neuhann 15 Gartenschlauch Wir erzeugen eine Parabel mit dem Gartenschlauch http://www.gfb-neu.de/blog/196/springbrunnen.png Veröffentlichung mit freundlicher Genehmigung von Herrn Armin Brög, Gymnasium in den Filder Benden, Moers 16 Hochsprung (Diese Aufgabe wurde im Rahmen des Modellprojektes SINUS NRW auf der Grundlage der mathematischen Überlegungen zu den leichtathletischen Sprungdisziplinen von Reiner Liese entwickelt. Vgl. hierzu Liese, Reiner: Immer höher, immer weiter; Mathematik lehren (4), S. 5457, Friedrich Verlag, Seelze 1984.) In der Leichtathletik kann man die Flugkurven untersuchen, die beim Hochsprung zu beobachten sind. Dabei untersucht man die Bahn des Körperschwerpunktes des Athleten. Die Flugbahn des Körperschwerpunktes lässt sich durch eine Parabel beschreiben. Bei einem gestreckten Körper liegt der Körperschwerpunkt 0,6xKörpergröße von den Fußsohlen entfernt. Bei den unterschiedlichen Sprungstilen liegt der Scheitelpunkt der Bahn verschieden hoch über oder sogar durch die Krümmung des Körpers bedingt unterhalb der Latte. Bei einem guten Sprung des Fosbury-Flop sollten die Sportler folgendes anstreben: Der Scheitelpunkt liegt genau 5 cm oberhalb der Latte. Der Sportler springt eine Armlänge vor dem Hochsprunggerüst ab. 1. 2. Recherchiere im Internet nach „Hochsprungtechniken“. Fertige eine Planskizze an, die den Sachverhalt beschreibt 3. Begründe, dass sich die Flugbahn in einem geeignet gewählten Koordinatensystem in der Form y = -ax2 +c mit a >0 beschreiben lässt. 4. Ulrike Meyfarth gewann bei den Olympischen Spielen im München 1972 mit 16 Jahren völlig überraschend die Goldmedaille im Hochsprung. Sie gewann damals mit einer Höhe von 1,92 m mit Fosbury-Stil. Ihre Körpergröße betrug 1,88 m, ihre Armlänge 90 cm. a) b) c) 5. Gib die Koordinaten von Absprung- und Scheitelpunkt an. Bestimme damit die Gleichung der Flugparabel bei dem Siegsprung in München. Zeichne den Graphen der Flugbahn des Körperschwerpunktes in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere Absprung- und Scheitelpunkt und die übersprungene Höhe. Der Absprungpunkt muss von den Springern genau getroffen werden, um die optimale Höhe über der Latte zu erreichen. a) Welche Gleichung ergibt sich, wenn Ulrike Meyfarth den Absprung um eine Fußlänge (ca. 25cm) zu früh beginnt? b) Zeichne diese Flugbahn in das vorhandene Koordinatensystem ein und markiere die wichtigen Punkte. c) Welche Höhe hätte sie damit erzielt? 17 Lösungshinweise Aufgabe 10.3 Hochsprung 1. 2. individuelle Lösung Skizze: 3. 4. SP auf Scheitelpunkt, Parabel nach unten geöffnet a) für A: x = -90; y= 0,6∙188 = 112,9 ; also A=(-90/113) für SP: x = 0; y = 192 + 5 = 197; also SP = (0/197) 2 b) Ansatz y = -ax + c führt mit den Koordinaten von A und SP auf a= 4. c) a) b) c) 84 0,0104 und c = 197 8100 s. unten y = -0,0104(x-25)2+197 = -0,0104x2-0,52x+190,5 s. unten x = 0 liefert y = 190,5 wegen der Differenz SP zu Latte ( -5cm) gilt h = 185,5cm Anmerkung: Der Unterschied beträgt 192 185,5 100% 3,39% 192 18 19 Parabelflug Wieso nennt man einen derartigen Flug „Parabelflug“? Gibt es eine Parabelgleichung? Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Parabelflug Dieses Bild ist lizenziert unter der GNU General Public License. 20 Die Kölnarena Das Dach der Kölnarena, einer Veranstaltungshalle in Köln-Deutz, wird von einem Stahlbogen getragen, der die Form einer quadratischen Parabel hat. Der Bogen ist über dem ebenen Erdboden an der höchsten Stelle 73 m hoch und hat eine Spannweite von ca. 180 m. a) Bestimme eine Gleichung derjenigen Funktion f, die die Parabel beschreibt. Das Dach der Kölnarena ist leicht geneigt. Zur Vereinfachung nehmen wir zunächst an, dass es waagerecht verläuft. Für den Parabelbogen sollst du im Folgenden mit f(x) - 73 x 2 73 8100 weiterrechnen. b) Wie lang kann das Dach maximal sein, wenn die Halle (über dem Erdboden) 30 Meter hoch sein soll? c) Der Bauherr möchte, dass die Halle mit diesem Parabelbogen 160 m lang sein soll. Was würdest du entgegenhalten? d) Kann man bei gleicher Höhe (73 m) einen Parabelbogen so konstruieren, dass ein 140 m langes Dach in 40 m Höhe aufgehängt werden kann? Begründe rechnerisch! Begründe auch nicht-rechnerisch, d.h. inhaltlich bzw. anschaulich! e) Die Abspannseile sind in gleichen Abständen von 10 m auf dem Dach befestigt. Sie treffen im Winkel von 45° auf die Dachfläche. Wie lang sind die Seile bei den x-Werten x = - 60 und x = - 50 ? f) Das Dach der Kölnarena ist tatsächlich leicht geneigt. Auf der tieferen Seite ist es in 30 m Höhe an den Parabelbogen angehängt und steigt dann alle 10 m um 30 cm an. Wie lang ist das Dach und wie hoch ist es auf der anderen Seite? g) Finde andere Gebäude oder Hochbauten, deren Dachkonstruktion durch eine Parabel beschrieben werden kann (Internetrecherche möglich). 21 Steckbrief der Aufgabe Inhaltliche Kurzbeschreibung In einer anwendungsbezogenen Aufgabe werden verschiedene Aspekte von Parabeln behandelt, z.B. Form, quadratische Gleichungen und Schnitt mit Geraden. Ein Schwerpunkt liegt auf dem Aspekt des Modellierens. Funktion der Aufgabe: Zunächst bietet die Aufgabe die Möglichkeit, Basisfertigkeiten zu Parabeln anzuwenden, nämlich das Lösen quadratischer Gleichungen und den Schnitt einer Parabel mit einer Geraden. Der Schwerpunkt der Aufgabe liegt indes auf dem Modellieren. Zum einen sollen die Schüler die Gleichung eines Parabelbogens aufstellen. Zum anderen müssen sie stets den wechselseitigen Bezug zwischen den Angaben aus der Realität und den Größen im mathematischen Modell herstellen. Schulformen, in denen entwickelt/ erprobt wurde: Gymnasium Erforderliche Vorkenntnisse: Geradengleichungen; Parabelgleichungen; Lösen quadratischer Gleichungen; gleichschenklige Dreiecke; Satz des Pythagoras Bezug zu den Kompetenzen des Kernlehrplans: Modellieren Kernlehrplan Hier speziell: mathemati- übersetzen Realsituationen in Die Schüler stellen die Gleichung der sieren mathematische Modelle Parabel auf (Teil a). Vor allem interpretieren sie die Angaben aus dem Text (Punkte auf dem Parabelbogen) als x- bzw. y-Werte im mathematischen Modell (Graph im Koordinatensystem, Funktionsgleichung) – und umgekehrt. Funktionen anwenden operieren Kernlehrplan wenden quadratische Funktionen zur Lösung außermathematischer Problemstellungen an lösen Gleichungen Hier speziell: Die Schüler benutzen ihre Kenntnisse über Parabelgleichungen und die Bedeutung der Koeffizienten, um Parabelgleichungen aufzustellen (a, d) und die Koeffizienten zu interpretieren (d). quadratische Die Schüler lösen eine einfache und eine schwierigere quadratische Gleichung (b, f). 22 Mögliche Schülerlösungen: a) Legt man das Koordinatensystem so fest, dass die x-Achse auf dem Erdboden und die yAchse durch den höchsten Punkt des Stahlbogens verläuft, so hat die Parabelgleichung die Form y = a x2 + b mit unbekannten Formvariablen a und b. Der höchste Punkt (0 / 73) führt sofort zu b = 73. Aus der Spannweite von 180 m ergeben sich die Punkte P (- 90 / 0) und P’ (90 / 0). Eingesetzt in die Gleichung führt dies auf 0 = a · 902 + 73 <=> - 73 = 8100 a <=> a = - 73 / 8100 ≈ - 0,009 . Demnach wird der Parabelbogen beschrieben durch die Gleichung f(x) = - 73 / 8100 x2 + 73 . 30 = - 73 / 8100 x2 + 73 <=> 73 / 8100 x2 = 43 x2 ≈ 4771 <=> x ≈ ± 69,07 Das Dach bzw. die Halle kann maximal 138,14 m lang sein. b) y = 30: c) Ist die Halle 160 m lang, so ist x = ± 80, woraus y = f(80) ≈ 15,32 folgt. Wenn die Halle 160 m lang sein soll, dann kann sie höchstens 15,32 m hoch sein. Dies kann für einige Zwecke (Sport, Konzerte mit Beleuchtung) zu niedrig sein. Auch mögen sich die Zuschauerplätze, die man in der Länge gewinnt, in der Höhe verlieren. d) Hier wird die Stauchung des Parabelbogens variiert. y = a x2 + 73 und P(70 / 40) sind gegeben. 40 = a · 702 + 73 <=> - 33 = 4900 a<=> a = - 33 / 4900 ≈ - 0,0067 . Die Parabel wäre mit a ≈ - 0,0067 stärker gestaucht als die bestehende Parabel mit a ≈ - 0,009 . Ein derart gestauchter Stahlbogen könnte eine geringere Tragfähigkeit besitzen, oder die Verankerung im Boden (kleinerer Winkel) fällt schwerer. e) Mit dem Winkel α = 45° bilden das Abspannseil, die Höhe (Parabelbogen – Dach) und eine dritte Seite auf dem Dach ein gleichschenkliges Dreieck. Für x = - 60 rechnet man: Höhe = f (- 60) – 30 ≈ 10,56 Pythagoras: 10,562 + 10,562 = Seillänge2 => Seillänge ≈ √2 · 10,56 ≈ 14,93 Für x = - 50 rechnet man: Höhe = f (- 50) – 30 ≈ 20,47 Pythagoras: 20,472 + 20,472 = Seillänge2 => Seillänge ≈ √2 · 20,47 ≈ 28,95 23 f) Das Dach kann beschrieben werden durch eine Gerade mit der Gleichung y = m · x + b mit m = 0,3 m / 10 m = 0,03. Die Gerade verläuft durch P (- 69,07 / 30) : 30 = 0,03 · (- 69,07) + b <=> b ≈ 32,07 . Die Gleichung der Geraden lautet y = 0,03 x + 32,07 . Die Höhe und auch die Länge des Daches ändern sich. Um die veränderten Daten zu erhalten, muss man die Schnittpunkte von Gerade und Parabel ermitteln. 73 2 x 73 0,03 x 32,07 8100 73 2 x 0,03 x 40,93 0 8100 x 2 3,33 x - 4541,55 0 x1/2 - x - 69,07 3,33 2 3,33 2 2 4541,55 x 65,75. Das Dach reicht auf der anderen Seite nur bis x ≈ 65,75. Jedoch ist es dort f (65,75) ≈ 34,04 m hoch. Die genaue Dachlänge ermittelt man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: Dachlänge2 = (69,07 + 65,75)2 + (34,04 – 30)2 Dachlänge2 ≈ 18.192,75 Dachlänge ≈ 134,88 Das geneigte Dach ist etwas kürzer, es ist nur 134,88 m lang. 24 Mögliche, ggf. erprobte Unterrichtsorganisation: Zur Bearbeitung benötigen die Schüler in der Regel eine Doppelstunde. Die Aufgabenstellung in Teil a), eine Parabelgleichung aufzustellen, ist kein obligatorischer Inhalt in der Sekundarstufe I; solche „Steckbriefaufgaben“ werden häufig erst in der Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe behandelt. Man kann die Teilaufgabe a) daher auch weglassen und stattdessen mit einem vereinfachten Funktionsterm y = - 0,01 x2 + 73 arbeiten. In diesem Fall kann die erste Aufgabenstellung lauten: „a) Erläutere, wo der Ursprung des Koordinatensystems liegt ?“ Gleichwohl kann man den Schülern auch eine gestufte Hilfe auf „Hilfekärtchen“ anbieten, um Teilaufgabe a) lösen zu können. Denn die Schüler besitzen Wissen über Parabeln und die Form von Parabelgleichungen (Koeffizienten). Die erste Stufe kann lauten: „Überlege dir, wie du das Koordinatensystem möglichst geschickt legen kannst. Welche Form hat dann die Parabelgleichung?“, die zweite Stufe „Wie musst du das Koordinatensystem legen, damit die Parabelgleichung die Form f(x) = a x2 + b hat?“ und die dritte Stufe „Wie kannst du die Angaben über den Parabelbogen ausnutzen, um die Gleichung zu finden?“. In den nachfolgenden Aufgabenteilen b) – f) besteht die Schwierigkeit für die Schüler häufig darin, die Angaben aus der Aufgabe als x- bzw. y-Werte von Punkten der Parabel zu deuten oder für die Ergebnisse der Rechnungen (x- und y-Werte) die Rückinterpretation auf die Kölnarena zu leisten. Eine entscheidende Hilfe ist eine genaue und übersichtliche Skizze, die gleich zu Beginn angefertigt werden sollte. Bei den Aufgabenteilen b, c und f kann anhand der Skizze zunächst eine graphische Lösung erstellt werden, die zu einem Ansatz für eine exakte Lösung führen kann. Mögliche Variationen der Aufgabe und des Aufgabenniveaus: Besitzen die Schüler Kenntnisse in der Trigonometrie, dann kann man in Aufgabe e) einen Winkel verschieden von 45° wählen. Erstellt von: Sinus-Transfer, Projekt 1, Set Süd, Untergruppe Köln 25 Gateway-Arch Der Bogen des Gateway-Arch in St.Louis lässt sich näherungsweise durch folgende Funktionen annähern: (1) f ( x ) -0,02071 x 2 192,15, (2) g( x ) 0,000000522 x 4 - 0,016 x 2 192,15 Mit Mupad kann man beide Funktionsgraphen erzeugen y 175 150 125 100 75 50 25 0 -75 -50 -25 0 25 50 75 x a) Schreibe eine kleine Einführung zum Gateway-Arch. (Geschichte, Bedeutung, technische Daten..) b) Um welche Art von Funktionen handelt es sich ? c) Berechne für beide Funktionsterme Höhe und Breite des Bogens: d) Ein Flugzeug mit der Spannweite 20 m fliegt in 100 m Höhe mitten durch den Bogen. Wie weit sind die Flügelspitzen seitlich vom Bogen entfernt ? e) Berechne für beide Funktionsterme Höhe und Breite des Bogens: 26 The Arch mit Geogebra Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:St_Louis_night_expblend.jpg&file timestamp=20080128173813 Wikimedia Commons, lizenziert unter GNU-Lizenz für freie Dokumentation, eingestellt von Daniel Schwen 27