Die pq-Formel - Lern

Die p-q-Formel
Diese auch Mitternachtsformel genannte Formel dient dem Lösen quadratischer
Gleichungen, also Gleichungen der Form
ax2 + bx + c = d.
Man bringt dazu die quadratische Gleichung in die Normalform. Diese lautet:
x2 + px + q = 0
Dazu packt man das d aus der obigen Gleichung auf die linke Seite und teilt
dann durch a:
ax2 + bx + c = d
ax2 + bx + c − d = 0
b
c−d
x2 + x +
= 0
a
a
Hier ist also p = ab und q = c−d
a .
Nach diesem ersten Schritt kommt die p-q-Formel zur Anwendung. Sie lautet:
x1,2
−p
=
±
2
s
−p
2
2
−q
x1 , 2 drückt aus, dass es in der Regel zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung gibt. Dies sieht man auch am ±-Zeichen in der Formel. Für die erste
Lösung subtrahiert man die Wurzel, für die zweite Lösung addiert man sie. Es
kann auch sein, dass eine quadratische Gleichung nur eine oder gar keine Lösung
besitzt1 . Dies hängt von der Diskriminante ab.
Die Diskriminante
Betrachten wir noch einmal die p-q-Formel:
s
2
−p
−p
−q
x1,2 =
±
2
2
Wenn die Zahl unter der Wurzel (=Radikand) positiv ist, kann ich den Wert
der Wurzel entweder addieren oder subtrahieren (±) und erhalte so die beiden
Lösungen. Ist der Radikand genau Null, gibt es nur eine Lösung, da +0 = −0
gilt. Ist der Radikand dagegen negativ, gibt es überhaupt keine Lösung,
da
√
negative Wurzel im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert sind: −3 ist
„Unsinn“.
Da die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung nur vom Radikand
der Wurzel abhängt, nennt man diesen Wert auch die Diskriminante von lat.
discriminare = unterscheiden. Es ist also
p 2
D=
−q
2
1 Dies gilt nur für die im Unterricht verwendeten reellen Zahlen. Im Bereich der komplexen
Zahlen gibt es immer 2 Lösungen.
Copyright 2002/2003 by Clemens Adolphs. Alle Rechte vorbehalten.
1
• D > 0 ⇒ 2 Lösungen
• D = 0 ⇒ 1 Lösung
• D < 0 ⇒ keine Lösung
Herleitung der p-q-Formel
Für Interessierte gibt es hier die Herleitung der oben benutzten p-q-Formel.
Dazu erinnern wir uns noch einmal an die erste binomische Formel:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Haben wir nun eine quadratische Gleichung so vorliegen, dass wir diese binomische Formel „rückwärts“ anwenden können, so erhalten wir:
x2 + 2qx + q 2 = 0
(x + q)2 = 0
x = −q
Beispiel:
x2 + 6x + 9
x2 + 2 · 3 · x + 32
(x + 3)2
x
= 0
= 0
= 0
= −3
Jetzt liegt die quadratische Gleichung natürlich nicht immer in dieser praktischen Form vor, es ist also nicht immer möglich, einfach die quadratische Ergänzung durchzuführen. Um es trotzdem hinzubekommen, wenden die Mathematiker einen Trick an. Sie addieren eine 0. Das klingt zunächst sinnlos, denn
es ändert ja scheinbar nichts. Fangen wir etwas weiter vorne an: Wir haben also
nun eine Gleichung in der Form
x2 + px + q = 0.
Wir wissen, dass bei einer binomischen Formel in der Mitte 2ab steht. Unser a
soll hier x sein, also muss p = 2b sein, damit 2ab = px gilt. Damit würden wir
zunächst (x + p2 )2 erhalten. Ausmultipliziert ergäbe dies:
p 2
p
(x + )2 = x2 + px +
2
2
Wir formen nun unsere Gleichung x2 + px + q = 0 wie folgt um:
x2 + px +
p 2
2
x2 + px + q
p 2
−
+q
2
=
0
= 0
Wir haben zwar einfach ein ( p2 )2 dazu addiert, ziehen es aber auch gleich wieder
ab, addieren also rein praktisch gesehen 0. Jetzt können wir aber fortschreiten:
p 2 p 2
x+
−
+q = 0
2
2
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2
p 2
2
p
x+
2
x+
p 2
−q
2r
p 2
= ±
−q
2
r p 2
−p
−q
x =
±
2
2
=
Dies ist die oben benutzte p-q-Formel. Übringes: Den verwendeten Trick nennt
man quadratische Ergänzung.
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