Parabeln

Dr. Neidhardt
14.11.03
Thema: Parabeln
[ein Bindeglied zwischen
Geometrie und Algebra ]
Referent: Christian Schuster
Gliederung:
• Anwendungsgebiete und Vorkommen
von „Parabel“ – Erscheinungen in der Natur
• Parabeln: Definition, geometrische und physikalische
Charakterisierung
• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
• Möglichkeiten der geometrischen Konstruktion von Parabeln und
deren Interpretation
– Konstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes
– Konstruktion durch den Höhen- Kathetensatz
– Konstruktion mit dem Sehnensatz
1.
Anwendungsgebiete und natürliche Vorkommen
von „Parabel“ – Erscheinungen
Wie oft die Parabel wird in unserem Alltag auftritt, wird uns meist nicht bewusst.
Zum Beispiel ist die Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel. Der Ball
fällt vom höchsten Punkt in einer Kurve, dem Scheitel, in derselben Form
wieder zurück, wie er nach oben geworfen wurde. Beide Bögen bilden die
Parabel.
senkrechter Wurf (Annäherung)
schiefer Wurf
Auch bei Springbrunnen fliegen die Wassertropfen auf Parabelbahnen
Beim Feuerwerk sieht man ganze Parabelfamilien…
Die Parabel ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört…
Jedoch schneidet die Ebene
hier –
im Gegensatz zur Hyperbel
– nur einen der Kegel
Die Reflexionseigenschaft der Parabel wird in vielen optischen Geräten wie bei
Antennen (Parabolspiegeln) ausgenutzt.
Auch bei Solarkraftwerken wie hier im Death Valley kommt die Parabelform
zum Einsatz
Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen,
der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel
Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen,
der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel
1.Parabeln: Definition, geometrische und physikalische Charakterisierung
Geometrische Charakterisierung einer Parabel:
Eine Parabel besteht definitionsgemäß aus genau allen Punkten P, deren Abstand von
einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen
Geraden L (Leitlinie) gleich ist. Thema 1. Stunde
Physikalische Charakterisierung einer Parabel:
Ein Lichtstrahl, der parallel zur x-Achse einfällt, wird an der Parabel so reflektiert,
dass er durch den Brennpunkt geht.
Die Gleichung einer Parabelrelation:
y 2  2 px
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel
Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel
Die Gleichung einer Parabelrelation:
y 2  2 px
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel
Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel
Die Gleichung einer Parabelrelation:
y 2  2 px
Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel
Die Gerade L heißt Leitlinie der Parabel
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
1. Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis
Möglichkeiten der geometrische Konstruktion von Parabeln
und deren Interpretation
a) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes
Höhensatz:
Pythagoras:
c  a b
2
2
2
daraus hergeleitet –
der Höhensatz:
h  pq
2
und –
der Kathetensatz:
a
2
 cp ,
b  cq
2
h 2  pq
SC  x
AS  y
SB  d
 x  dy
1 2
y x
d
2
x
y
 eine Parabelgleichung
d
x
y
1 2
y x
d

p
d ( SB) ist die Konstante, welche die Parabelöffnung
festlegt.
x und y werden jeweils durch den Punkt P1 abgetragen,
welcher sich natürlich senkrecht über dem X-Achsenabschnitt befinden muss.
Daher die Hilfskonstruktion des Rechtecks SAP1C
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
1 2
y x
d
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
1 2
y x
d
S (3,1)
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
1 2
y x
d
S (3,1)
1
1
2 d 
d
2
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
1 2
y x
d
S (3,1)
1
1
2 d 
d
2
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Leitlinie L
y  0,75
Aufgabe:
1. Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischen
Funktion, die folgende Gleichung hat:
y  2 x  12 x  19
2
1 2
y x
d
S (3,1)
1
1
2 d 
d
2
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
Leitlinie L
y  0,75
F (3;1,25)
b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Sehnensatzes
Sehnensatz
Schneiden sich zwei Sehnen im
Kreis, dann ist das Produkt der
beiden Abschnitte auf einer Sehne
gleich dem Produkt der beiden
Abschnitte auf der anderen Sehne.
FZ  ZE  DZ  ZC
FZ  ZE  DZ  ZC
In dem Spezialfall nun mit :
FZ  ZE  x
y
x
und
DZ  d
ZC  y
 x2  d  y
1 2
y x 
d
x
d
eine Parabelgleichung
e
1 2
y x
d
Mit Hilfe einer kleinen
Hilfskonstruktion [K1(S,x1); K2(R,y)]
werden nun die jeweiligen X- bzw.
Y-Achsenabschnitte der Sehensatzkonstruktion durch die Spur von
P1, P2 oder P3, P4 ins Koordinatensystem
übertragen.
e
Aufgabe:
1. Was bewirkt eine Veränderung von e?
2. Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?
e
Aufgabe:
1. Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt p,
der die Parabelöffnungskonstante
darstellt.
Verlängert man die Strecke e, wird die
Parabelöffnung größer, da d in der
Parabelformel als Kehrwert eingeht.
1 2
y x
d
2. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des
Brennpunktes F herausfinden ?
Gleichung aus Sehnensatz:
allgemeine Parabelgleichung:
e
Aufgabe:
1. Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt d,
der die Parabelöffnungskonstante
darstellt.
Verlängert man die Strecke e, wird die
Parabelöffnung größer, da d in der
Parabelformel als Kehrwert eingeht.
1 2
y x
d
2. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des
Brennpunktes F herausfinden ?
Gleichung aus Sehnensatz:
1 2
y x
d
allgemeine Parabelgleichung:
y 2  2 px
e
Aufgabe:
1. Was bewirkt eine Veränderung von e?
e entspricht dem Sehnenabschnitt p,
der die Parabelöffnungskonstante
darstellt.
Verlängert man die Strecke e, wird die
Parabelöffnung größer, da d in der
Parabelformel als Kehrwert eingeht.
1 2
y x
d
2. Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. des
Brennpunktes F herausfinden ?
Gleichung aus Sehnensatz:
1 2
y x
d
 d  2p
allgemeine Parabelgleichung:
y 2  2 px
1
 Brennpunkt _ F (0, d )
4
1
 Leitlinie _ y   d
4
b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes
d
Der Strahlensatz:
die Strahlensatzfigur gibt uns zwei Parallelen
[ EG || HD ] wobei D,E so
gewählt wurden, dass sie auf einem Kreis K
um A liegen.
dies ermöglicht uns in der Strahlensatzformel
AG AE mit AG  p, AD  x, AH  y

AD AH
zu sagen, dass
gilt
p x

x y
AE  AD  x und somit
; nach y aufgelöst ergibt sich:
1 2
y  x - eine Parabelgleichung!!
p
A
Nun haben wir einen x- und einen yAchsenabschnitt und können
ebenfalls wieder mit einer
Hilfskonstruktion aus K1(0, AD) um den
Ursprung die
X-Koordinate unserer Parabel
festlegen.
Mit Hilfe zweier weiterer
Kreise K2(+X, AH ) und K3(-X, AH )
um jeweils diese X-Koordinaten haben
wir die Y-Spurlinie und damit den
Graphen unserer
konstruierten Parabel.
Durch bewegen des Punktes D im
Programm GeoNext, werden die
Parabeläste gezeichnet.
Aufgabe:
1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen,
damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?
2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die
Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen
verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?
Aufgabe:
1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen,
damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?
E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung
2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die
Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen
verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?
Aufgabe:
1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen,
damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?
E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung
2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die
Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen
verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?
wenn d durch Bewegen von a geändert wird, verändert sich die
Parabelöffnung
Aufgabe:
3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen,
damit eine Normalparabel entsteht?
4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?
Aufgabe:
3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen,
damit eine Normalparabel entsteht?
1 2
y x
d
yx
2
1
1 d 1
d
4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?
Aufgabe:
3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen,
damit eine Normalparabel entsteht?
1 2
y x
d
yx
2
1
1 d 1
d
4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?
1 2
y x
d
Parabel aus
dem Strahlensatz
y  2 px
2
allgemeine Parabelgleichung
1 2
y x y
x
2p
Aufgabe:
3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen,
damit eine Normalparabel entsteht?
1 2
y x
d
yx
2
1
1 d 1
d
4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?
1 2
y x
d
Parabel aus
dem Strahlensatz
y  2 px
2
1 2
y x y
x
2p
allgemeine Parabelgleichung
1
1
1

 2p  d  p  d
d 2p
2
und F und L liegen jeweils
bei
1
1
p bzw.  p
2
2
auf dem Lot auf x durch S
Diese Konstruktion einer Parabel durch den Strahlensatz ist nur möglich,
indem ich mir geeignete Strecken günstig wähle und gewisse Parameter
(Einschränkungen) in Kauf nehme...
hier:
Die Punkte E,D liegen auf einem Kreis um A, wodurch sich eine
Parabelgleichung aufstellen lässt.