Theoretische Informatik: Logik
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Theoretische Informatik: Logik WS 2010/2011 Blatt 11 bis Montag, den 31.01.2011, 15.45 Uhr, im Kasten neben den Postfächern (bei Raum 0409, Fachschaft) Es ist grundsätzlich erwünscht, dass die Übungsaufgaben in Gruppen (ca. 3-4 Studenten) bearbeitet werden, jedoch soll jeder seine Lösung selbst aufschreiben. Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihrer Lösung Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, Ihre Übungsgruppe und die Namen Ihrer Kommilitonen, welche an den Lösungen mitgearbeitet haben. Abgabe: AUFGABE 1. Gegeben sind folgende Strukturen A und B über einer Signatur mit einem zweistelligen Relationsymbol E. Eine gerichtete Kante von a nach b symbolisiert, dass (a, b) in der entsprechenden Relation liegt. a) Argumentieren Sie, warum die beiden Strukturen nicht isomorph sind. b) Geben Sie nun einen FO-Satz an, der die beiden Strukturen unterscheidet. AUFGABE 2. Gegeben sind folgende Strukturen A und B über einer Signatur mit einem zweistelligen Relationsymbol E. a) Geben Sie einen maximalen partiellen Isomorphismus zwischen den Strukturen an. b) Geben Sie eine Partie mit 3 Runden an, die Spieler D gewinnt. c) Geben Sie eine Gewinnstrategie für Spieler S für G3A,B an. AUFGABE 3. a) Sei f ein n-stelliges Funktionssymbol. Wir führen ein neues (n + 1)-stelliges Relationssymbol Rf ein. Geben Sie eine FO-Formel an, die besagt, dass sich die Relation Rf funktional verhält, dass es also für jedes n-Tupel (x1 , . . . , xn ) genau ein y gibt, so dass das Tupel (x1 , . . . , xn , y) in der Relation Rf steht. . b) Sei t1 = t2 eine atomare Formel mit beliebigen Termen t1 und t2 . Geben Sie zu dieser . eine äquivalente Formel an, die nur noch atomare Formeln der Form f (y1 , . . . , yn ) = x verwendet, wobei die x, y1 , . . . , yn Variablen sind. c) Erklären Sie, wie man mit a) und b) aus einer beliebigen Formel eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel konstruieren kann, die keine Funktionssymbole mehr enthält. Dabei können Sie davon ausgehen, dass mithilfe der Teilaufgabe b) auch Funktionssymbole innerhalb von atomaren Formeln der Form R(t1 , . . . , tn ) eliminiert wurden. d) Laut der Vorlesung gibt es 1. keinen Algorithmus, der zu einer beliebigen FO-Formel entscheidet, ob diese erfüllbar ist und 2. einen Algorithmus, der zu einer beliebigen, rein relationalen FO∀ -Formel (siehe Aufgabe 3 von Blatt 10) entscheidet, ob diese erfüllbar ist. Außerdem lässt sich jeder FO-Satz durch Skolemisierung in einen erfüllbarkeitsäquvalenten FO∀ -Satz überführen. Laut Aufgabe c) lassen sich beliebige Formeln jedoch erfüllbarkeitserhaltend in relationale Formeln übersetzen. Das würde dann aber 1. und 2. widersprechen. Erklären Sie, wo der Fehler in dieser Argumentation liegt.
