5. ¨Ubung zu Elementarer Sachversicherungsmathematik

Universität Duisburg-Essen
Fakultät für Mathematik
Arbeitsgruppe Angewandte Stochastik
WS 14/15
PD Dr. Volker Krätschmer
5. Übung zu Elementarer Sachversicherungsmathematik
Abgabe: Montag, den 17.11.2014 (vor der Übung)
Aufgabe 18
(6 Punkte)
Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, für dessen Gesamtschaden S
ein kollektives Modell zugrundeliegt mit N B(400, 1/2)−verteilter Schadenzahl und einer
typischen Schadenhöhe, deren Erwartungswert bei 5000 Euro und deren Varianz bei 1000
Euro liegen. Mit welcher Mindestruinwahrscheinlichkeit muß das Versicherungsunternehmen rechnen, wenn Π = 0.9 · E[S] als Gesamtprämie für das Portfolio gewählt wird. Sie
dürfen dabei die Ergebnisse aus Aufgabe 19 benutzen.
Aufgabe 19
(2 + 2 + 3 + 9 + 3 Punkte)
Sei W eine nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariable, deren Verteilung in der PanjerKlasse enthalten ist und dabei die Rekursionsparameter a und b besitzt. Mit pW sei die
Zähldichte von W bezeichnet. Zeigen Sie folgende Aussagen, wobei Sie bitte nur auf die
definitorische Rekursionseigenschaft für die Zähldichte von W zurückgreifen sollen.
1. pW (n) = pW (0)
n
Q
(a + bi ) für alle n ∈ N.
i=1
2. ∃ n0 ∈ N : pW (n0 ) = 0 ⇒ ∀ n ∈ N, n ≥ n0 : pW (n) = 0
3. ∀ n ∈ N : pW (n) > 0 ⇒ a ≥ 0, insbesondere |a| < 1.
4. E[W ] =
a+b
, Var(W )
1−a
=
a+b
(1−a)2
und
E[W ] = Var(W ) ⇔ a = 0
5. Berechnen Sie E[W ], falls
W ∈ {B(m, p) | m ∈ N, p ∈]0, 1[}∪{P oi(λ) | λ > 0}∪{N B(α, p) | α > 0, p ∈]0, 1[}
Aufgabe 20
(10 Punkte)
Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, für dessen Gesamtschaden ein
kollektives Modell zugrundeliegt mit einer Schadenzahl N, für die P({N = n}) = 3/4n+1
(n ∈ N0 ) gilt, und einer typische Schadenhöhe X mit P({X ∈ {k · 100 | k ∈ N}}) = 1.
Wie groß ist die Chance, keine Schadenzahlungen zu leisten, wie groß ist die Gefahr,
mindestens 250 Euro zu zahlen?
Aufgabe 21
Die Zähldichte q einer diskreten univariaten Verteilung sei definiert durch

 Γ(x+10)
, x ∈ N0
x! Γ(10) 2x+10
q(x) :=

0
, sonst.
(5 Punkte)
Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz zu dieser Verteilung.
Aufgabe 22
(8 Punkte)
Ein Versicherungsunternehmen verfügt über ein Portfolio, bei dem ein kollektives Modell
für die Verteilung des Gesamtschadens S unterstellt sei mit Schadenzahl N, deren Verteilung zur Panjer-Klasse gehört, und typischer Schadenhöhe X, für die E[X] = 104 sowie
Var(X) = 109 gelten soll. Weiterhin sei E[S] = 2 · 104 und V ar(S) = 4 · 109 bekannt.
Bestimmen Sie die Verteilung der Schadenzahl.