Musterlösungen zu Blatt 1

Musterlösungen zu Blatt 1
1.)
Risikomanagement
a.
Beobachtet man tatsächliche Marktdaten so kann eine höhere Volatilität (= höheres
Risiko) zwar zu einem Gewinn führen, dies muss jedoch nicht der Fall sein. In einem
vollständigen Markt ist der erwartete Gewinn zudem immer gleich null und der
Verlauf eines Aktienpreises wird allein vom Zinssatz bestimmt (sog.
Martingaleigenschaft). Am tatsächlichen Markt gehen Phasen hoher Volatilität eher
mit einem Einbruch des Marktes einher und Gewinne werden in stetigen, ruhigeren
Phasen erzielt.
b.
Risikomanagement besteht im Wesentlichen aus vier Komponenten, die einen Zyklus
bilden. Identifikation der Risiken, Messung der Risiken, Steuerung der Risiken,
Validierung der Methoden. Die Vermeidung von Risiken führt dazu, dass auch
Gewinne nicht realisiert werden könnten, da Risiken und Chancen meistens zusammen
auftreten. Risiken werden daher bewusst eingegangen.
c.
Der faire Preis einer Option muss so gewählt sein, dass der Spread durch die
tatsächliche Martkbewegung des Underlying aufgefangen wird. Der tatsächliche
Kursverlauf des Underlying ist ohnehin unbekannt. Betrachtet man das Black-ScholesModell so ist der Preis einer Option zwar von den historischen Volatilitäten abhängig,
insbesondere bestimmt jedoch der risikofreie Zinssatz den Preis der Option mit.
d.
Der Value-at-Risk ist eher das einfachste Risikomaß, da er eine komplexe Größe durch
eine einzige Zahl abbildet. Der VaR ist in der Praxis deshalb so verbreitet weil er
leicht zu berechnen und leicht zu kommunizieren ist, insbesondere aber weil man sich
„etwas darunter vorstellen“ kann. So ist das Prinzip des VaR auch für Nicht-Statistiker
verständlich. Geeignet das Risiko zu Beschreiben ist er allerdings nur bedingt, da er
beispielsweise keine Rücksicht auf zu erwartende Überschreitungen liefert wie der
Expected Shortfall.
2.)
VaR-Berechnung
a.
VaR(0,95) = 1,645*300.000-40.000 = 453.500
VaR(0,975) = 1,96*300.000-40.000 = 548.000
VaR(0,99) = 2,33*300.000-40.000 = 659.000
b.
Die Abstände zwischen zwei VaRs sind beim VCV-Ansatz nicht gleichwertig, da sie
von den Quantilen der Normalverteilung abhängen, die sich nicht linear verändern.
VaR ()  VaR ()  (    )  (    )
             (      )
( 0,99   0,975 )  ( 0,975   0,95 )
 0,99   0,975   0,975   0,95
2,33  1,96  1,96  1,645
0,37  0,315 falsch
c.
Da Mittelwert und Varianz der Normalverteilung lineare Einflussgrößen sind wird sich
das Risiko halbieren wenn Isiko genau die Hälfte aller Assets gleichmäßig aus dem
Portfolio verkauft.
d.
  1  2  40.000  15.000  55.000
  12   22  21 2  300.000 2  118.000 2  2 * (0,31) * 300.000 *118.000
 81.976.000.000  286.314,51
VaR (0,99)  2,33 * 286.314,51  55.000  612.112,81
Der Value-at-Risk des Portfolios zum Konfidenzniveau 99% beträgt 612.112,81 EUR.
e.
Die Normalverteilung hat zum einen den Vorteil, dass der Value-at-Risk sehr leicht zu
berechnen ist. Zudem können die Parameter μ und σ einfach aus den historischen
Daten abgeleitet werden und gehen linear in das Modell ein.
3.)
Optionspreis und Risiko
a.
c  S0  (d1 )  Ke  rRFt  (d 2 )
2 
S  
ln  0    rRF   t
2 
K 
d1 
, d 2  d1   t
 t
(0,25) 2 
 48  
 * 0,5
ln     0,04 
2 
0,182  (0,04 * 0,036) * 0,5
 40  
d1 

 1,233
0,25 * 0,707
0,25 * 0,5
d 2  1,233  0,25 * 0,707  1,056
c  48 * 0,891  40 * e 0,04*0,5 * 0,855  9,27
Der faire Preis der Option beträgt 9,27 EUR.
b.
 c  (d1 )  (1,233)  0,891
Ä    c * S  0,891* 500  445
Stock muss ca. 445 Anteile des Underlying short gehen um einen perfekten Hedge zu
erhalten und somit das Risiko zu minimieren.
4.)
Interdependenzen
  50.000 * 0,127  40.000 * 0,0602  10.000 * 0,1456  10214
Aufgrund der Symmetrie der Kovarianzmatrix gilt
 
 U U 
i
i
j
i, j

j
U12 12,1  U 22  22, 2  U 32  32,3  2 U1 U 2 1, 2  2 U1 U 3 1,3  2 U 2 U 3  2,3
 50.000 2 * 2,3198  40.000 2 0,8010  ...  98.420,88
VaR (0,99)  2,33 * 92.037,55  10214  219.106,65
Der Value-at-Risk des Portfolios zum Konfidenzniveau 99% beträgt 219.106,65 EUR.
5.)
Pseudozufallszahlen
a.
x0=1634
1634² = 02669956 -> 0,6699
6699² = 44876601 -> 0,8766
8766² = 76842756 -> 0,8427
8427² = 71014329 -> 0,0143
143² = 00020449 -> 0,0204
204² = 00041616 -> 0,0416 …
x0=7662
7662² = 58706244 -> 0,7062
7062² = 49871844 -> 0,8718
8718² = 76003524 -> 0,0035
35² = 00001225 -> 0,0012
12² = 00000144 -> 0,0001
1² = 00000001 -> 0
0² = 00000000 -> 0 usw.
b.
x1 = (5*6+3) mod 16 = 33 mod 16 = 1
x2 = (5*1+3) mod 16 = 8 mod 16 = 8
x3 = (5*8+3) mod 16 = 43 mod 16 = 11
x4 = (5*11+3) mod 16 = 58 mod 16 = 10
x5 = (5*10+3) mod 16 = 53 mod 16 = 5
x6 = (5*5+3) mod 16 = 28 mod 16 = 12
x7 = (5*12+3) mod 16 = 63 mod 16 = 15
x8 = (5*15+3) mod 16 = 78 mod 16 = 14
x9 = (5*14+3) mod 16 = 73 mod 16 = 9
x10 = (5*9+3) mod 16 = 48 mod 16 = 0
x11 = (5*0+3) mod 16 = 3 mod 16 = 3
x12 = (5*3+3) mod 16 = 18 mod 16 = 2
x13 = (5*2+3) mod 16 = 13 mod 16 = 13
x14 = (5*13+3) mod 16 = 68 mod 16 = 4
x15 = (5*4+3) mod 16 = 23 mod 16 = 7
x16 = (5*7+3) mod 16 = 38 mod 16 = 6
Der Algorithmus hat also die maximale Periodenlänge von 16.
6.)
a.
b.
i. Modell A liefert 6 Überschreitungen -> gelbe Zone, Multiplikator 0,5
Modell B liefert 8 Überschreitungen -> gelbe Zone, Multiplikator 0,75
 q x (1  q) Nx 
 0,016 * (0,99) 244 


  3,56  3,84
ii. LR PoF (A)  2 ln  x


2
ln
Nx 
6
244 
 q̂ (1  q̂) 
 0,024 * (0,976) 
 q x (1  q) Nx 
 0,018 * (0,99) 242 


  7,73  3,84
LR PoF (B)  2 ln  x


2
ln
Nx 
8
242 
 q̂ (1  q̂) 
 0,032 * (0,968) 
Der PoF-Test akzeptiert Modell A und lehnt Modell B ab.
 q(1  q) 1 
 0,01* (0,99)17 
  2 ln 
  1,83  3,84
iii. LR TUFF (A)  2 ln 
 1 
17 
 q̂(1  q̂) 
 0,056 * (0,944) 
 q(1  q) 1 
 0,01* (0,99) 22 


  1,43  3,84
LR TUFF (B)  2 ln 


2
ln
 1 
22 
 q̂(1  q̂) 
 0,043 * (0,957) 
Der TUFF-Test akzeptiert beide Modelle.
iv. Ci(A) = 1+10²+1+200²+1+125²+1+100²+1+75²+1+5² = 71.381 > 50.000
Ci(B) = 1+30²+1+40²+1+30²+1+45²+1+100²+1+15²+1+75²+1+75²
= 26.908 < 50.000
Die MLF wird Modell A ablehnen und Modell B annehmen.
c.
Für den verallgemeinerten TUFF-Test gilt die Teststatistik
LR TUFF




t i  t i 1 1


0,01* (0,99)
   2 ln 
, t0  0
t i  t i 1 1 
i

 1

1 
 t  t * 1  t  t 

i
i 1 
 i i1 

Die Abstände zwischen den Ausnahmen bei Portfolio A lauten 18, 142, 1, 2, 3, 38. Bei
Portfolio B lauten sie 23, 81, 12, 68, 17, 2, 38, 7. Damit ergibt sich
LR(A) = 1,83 + 0,14 + 9,21 + 6,46 + 5,43 + 0,71 = 23,78 > 12,59
LR(B) = 1,43 + 0,04 + 2,55 + 0,13 + 1,93 + 6,46 + 0,71 + 3,59 = 16,84 > 15,51
Der verbesserte TUFF-Test lehnt nun beide Modelle ab.
d.
Bei der historischen Simulation wird die gesamte Historie gleich stark gewichtet und
reagiert daher langsamer auf eventuelle Schwankungen im Volatilitätenverlauf. Das
Cluster von Überschreitungen bei Portfolio A spricht also dafür, dass dieser VaR mit
einer historischen Simulation berechnet wurde. Portfolio B hat im Gegensatz dazu
eher gleichmäßige Überschreitungen, was für ein schnell reagierendes Modell mit
Gedächtnis wie den GARCH-Prozess spricht. Da Volatiliäten im Zeitverlauf oft
sprunghaft ansteigen ist wohl im allgemeinen ein GARCH-Modell besser zur
Modellierung von Aktienpreisen geeignet.
e.
Da die Ergebnisse der offiziellen Backtests veröffentlicht werden, haben Banken ein
sehr starkes Interesse daran möglichst immer in der grünen Zone zu landen. Der
offizielle VaR wird daher immer sehr konservativ berechnet um Ausnahmen zu
vermeiden. Banken sind jedoch auch am tatsächlichen Risiko interessiert, hierfür
kommen die internen Modelle zum Einsatz.