Geometrie und Symmetrie

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Aufgaben zur Vorlesung
Geometrie und Symmetrie
Blatt 2
Wintersemester 09/10
PD Dr. M. Joachim
Abgabe: Montag 2.11.2009
Aufgabe 4: Geben Sie von Null verschiedene reelle Zahlen a, b, c und a′ , b′ , c′ an, so dass einerseits mindestens eine der drei Gleichungen a 6= a′ , b 6= b′ oder c 6= c′ erfüllt ist und andererseits
La,b,c und La′ ,b′ ,c′ dieselben Geraden in R2 sind.
Aufgabe 5: Für zwei Punkte P1 = (x1 , y1 , z1 ) und P2 = (x2 , y2 , z2 ) im R3 ist der Abstand
dR3 (P1 , P2 ) durch die Formel
p
dR3 (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
√
√ √
bestimmt.
Welche
der
beiden
Punkte
(1,
2,
3)
und
(
2, 3, 2) hat den größeren Abstand zu
√
√
(0, 3 + 2, 5)? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6: Gegeben seien zwei Punkte
P1 = {(x1 , y1 , z1 ), (−x1 , −y1 , −z1 )}
und
P2 = {(x2 , y2 , z2 ), (−x2 , −y2 , −z2 )}
in der projektiven Ebene RP2 . Zeigen Sie, dass die beiden Punkte auf der Geraden La,b,c mit
a = y1 z2 − y2 z1 ,
b = z1 x2 − z2 x1 ,
c = x 1 y 2 − x2 y 1
liegen.
Aufgabe 7: In der Poincaréscheibe P2 gibt es zwei Typen von Geraden: die ,,geraden Linien”
und die ,,Kreissegmente”. Zeigen Sie: der Nullpunkt ist der Schnittpunkt zweier verschiedener
Geraden L1 und L2 genau dann, wenn L1 und L2 beide Geraden vom ersten Typ sind.
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