Partneraufgaben MUSTERLÖSUNG

Partneraufgaben
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1. Arbeiten Sie zuerst allein!
2. Erklären Sie einem Partner Ihrer Wahl Ihre Lösungen. Hören Sie gewissenhaft zu, wenn er Ihne seine Lösungen erklärt.
Wenn Sie bei sich Fehler entdecken, berichtigen Sie sie, aber benutzen Sie einen Stift in einer anderen Farbe, damit ich erkennen kann, wer Hilfe braucht!
Kreuzen Sie bei jeder Behauptung an, ob Sie sie für richtig oder falsch halten. Begründen Sie!
1
2
3
4
5
6
Behauptung
Drei Geraden g, h und k sind jeweils paarweise
windschief (d.h. g und h sind windschief, g und k
sind windschief, h und k sind windschief). Dann
sind die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig.
Das LGS
2x + 3y + 4z + t = 3
4x + 6y + 8z + 2t = 4
x + 2y + 6z + 3t = 9
- 2x - 3y - 4z - t = - 3
hat unendlichviele Lösungen.
 2    6   7    16 
   

Die Vektoren  1 ,  2 ,  1 ,  2  sind ein Erzeu 3  4   4  2 
   

richtig
falsch Begründung (benutze gegebenenfalls auch weiteres Papier)
gendensystem aber keine Basis des R3.
 1    2 1
   
3
  2 ,  1 ,  8  sind eine Basis des R .
  3  8  1
   
Wenn zwei Geraden die gleichen Spurpunkte haben, dann sind sie identisch.
A(1/2/1), B(2/-1/-1) und C(1/1/1) liegen auf einer
Geraden.
PA – LA Geraden und Vektoren – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2012
7
Die Geraden g
1 
 1 
1 
  1

 2
2
  2
  
g : x   2     1  und h : x   1     1 
 


 
  1
 2 
 1 
 2 
 
 


 
schneiden sich.
8
9
Das LGS
- 2x - 3y - 4z - t = - 3
4x + 6y + 8z + 2t = 4
2x + 4y + 12z + 6t = 18
2x  3y  4z  t = 3
hat keine Lösung.
 4
1
7
 1
Die Gerade h : x        und g : y  x 
2
1
4
4
 
 
sind identisch.
10 Die Geradenschar ga und die Gerade h
 2  2 
 6    1
   
   
g a : x   3   r  a , a   , h : x  10   s 2 
1   a
0  1 
   
   
schneiden sich für keinen Wert von a.
11 Die Menge aller Funktionen f ( x)  a  sin( x), a  
bilden bezüglich der üblichen Addition eine Gruppe.
12 Alle Lösungen des Gleichungssystems
2x  y = 4z  1
3x  2y - 7z = 1
4x  2z = 3y  7
liegen auf einer Geraden.
PA – LA Geraden und Vektoren – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2012
Partneraufgaben
MUSTERLÖSUNG
Dies sind meine Lösungen der Partneraufgaben, aber ihr wisst, auch ich mache Fehler! Also bitte aufmerksam sein!
Kreuze bei jeder Behauptung an, ob du sie für richtig oder falsch hältst. Begründe!
Behauptung
1
2
richtig
Drei Geraden g, h und k sind jeweils paarweise windschief (d.h. g und h sind windschief, g und k sind windschief, h und k sind windschief). Dann sind die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig.
falsch Begründung (benutze gegebenenfalls auch die Rückseite)
x
Die Geraden sind paarweise windschief aber der Richtungsvektor von k ist die
Summe der Richtungsverktoren von g und h.
Nach dem Teilen der zweiten Zeile durch 2 erhält man zwei widersprüchliche Zeilen:
Das LGS
2x + 3y + 4z + t = 3
4x + 6y + 8z + 2t = 4
2x + 3y + 4z + t = 3
.
2x + 3y + 4z + t = 2
x
x + 2y + 6z + 3t = 9
- 2x - 3y - 4z - t = - 3
Dies ist nicht erfüllbar. Nach Umformen kann das LGS zwar auch eine Nullzeile
haben, aber der erwähnte Widerspruch ist dennoch nicht erfüllbar.
hat unendlichviele Lösungen.
3
1
1
 0
 2
1
 3
 
 
 
 
 
 
Ein Gegenbeispiel: g : x   0     0 , h : x   1     0 , k : x   2     0  .
 2
 2
 0
 5
 6
7
 
 
 
 
 
 
Die Vektoren sind gar kein Erzeugendensystem! Es gibt Vektoren in R3,die sich
nicht als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lassen. Zum Beispiel ist der
 2    6   7    16 
   

Die Vektoren  1 ,  2 ,  1 ,  2  sind ein Erzeugen 3  4   4  2 
   

densystem aber keine Basis des R3.
x
1
 
Vektor 1 keine Linearkombination dieser Vektoren.
1
 
2 s  6t  7u  16v  1
1  2    6 
 7    16 
     
  

s  2t  u  2v  1 .
Der Ansatz 1  s 1   t  2   u  1   v 2  liefert
1  3   4 
 4  2 
3s  4t  4u  2v  1
     
  

Anwendung des Gauß-Algorithmus liefert hier aber eine Widerspruchszeile, z.B.
0s  0t  0u  0v  9 . Also ist das System nicht lösbar!
4
 1    2 1
   
  2 ,  1 ,  8  sind eine Basis des R3.
  3  8  1
   
x
 x1 
 
Die Vektoren sind linear unabhängig und jeder Vektor  x 2  lässt sich als LK darx 
 3
stellen.
PA – LA Geraden und Vektoren – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2012
5
Wenn zwei Geraden die gleichen Spurpunkte haben,
dann sind sie identisch.
6
A(1/2/1), B(2/-1/-1), C(1/1/1) liegen auf einer Geraden.
7
1 
 1 
1 
  1

 2
2
  2
  
g : x   2     1  und h : x   1     1 
 


 
  1
 2 
 1 
 2 
 
 


 
x
x
Wenn beide Geraden nur einen Spurpunkt haben, sind es Parallen zu den Achsen,
sie haben also den gleichen Richtungsvektor. Da sie einen gemeinsamen Punkt
haben sind sie identisch.
Wenn die Geraden mehr als zwei gemeinsame Spurpunkte haben, sind sie ebenfalls identisch, da es nur eine Gerade durch zwei Punkte gibt.
Die Verbindungsvektoren AC und BC sind nicht kollinear.
Schnittpunkt ist S(0/3/3).
x
schneiden sich.
8
Das LGS
Siehe Aussage 2, dieses LGS ist äquivalent zu dem aus Aussage 2.
- 2x - 3y - 4z - t = - 3
4x + 6y + 8z + 2t = 4
hat keine Lösung.
2x + 4y + 12z + 6t = 18
2x  3y  4z  t = 3
9

1
 4
x
1
Der zum Stützvektor gehörige Punkt (1/2) erfüllt die Geradengleichung von g,
7
Die Gerade h : x        und g : y  x  sind
4
4
 2
1
identisch.
x
1
7
 1  . Für   1 erhält man den Punkt (5/3), der ebenfalls die Gera4
4
1
7 12
dengleichung von g erfüllt: 3   5  
. Die beiden Geraden haben zwei
4
4 4
denn 2 
Punkte gemeinsam und sind somit identisch.
10
Die Geradenschar ga und die Gerade h
11
schneiden sich für keinen Wert von a.
Die Menge aller Funktionen f ( x)  a  sin( x), a  
 2  2 
 6    1
   
   
g a : x   3   r  a , a   , h : x  10   s 2 
1   a
0  1 
   
   
bilden bezüglich der üblichen Addition eine Gruppe.
12
Alle Lösungen des Gleichungssystems
2x  y = 4z  1
3x  2y - 7z = 1
4x  2z = 3y  7
liegen auf einer Geraden.
x
Alle Axiome der Gruppe sind erfüllt.
L  (c  1;2c  1; c) | c   . Dies kann auch geschriebene werden als:
x
 1  1
   
  1  c 2  Dies ist die Darstellung einer Gerade.
 0  1
   
PA – LA Geraden und Vektoren – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2012