Geometriebausteine

Geometriebausteine
1. Punkt-Punkt; Dreiecksberechnung
Gegeben sind die Punkte A(2|1|4), B(4|-1|7) und C(0|4|6). Berechne die Seitenlängen, die Winkel und den
Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
2. Geraden – Geraden
3
1
6
−1
4
2
Gegeben sind die Geraden : = 5 + ∙ 4 ; ℎ: = −3 + ∙ 2 ; : = 1 + ∙ −4.
10
7
5
−1
4
2
Untersuche die jeweilige Lage zweier Geraden; berechne ggf. den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.
Berechne die Spurpunkte der Geraden h (die Punkte, in denen h die Koordinatenebenen schneidet).
3. Abstand Punkt – Gerade
3
1
Gegeben ist die Gerade : = 5 + ∙ 4 und der Punkt P(-5|-5|-2). Berechne den Abstand von P zu g.
10
7
4. Abstand Punkt – Ebene
1
2
2
Gegeben ist die Ebene : = 1 + ∙ 1 + ∙ 4 und der Punkt P(17|3|-4); berechne den Abstand des
0
3
0
Punktes P von der Ebene E, d(P;E).
5. Gerade – Ebene
3
1
Gegeben ist die Ebene E: x1 + 2x2 + 4x3 = 12 sowie die Geraden : = 3 + ∙ 0 und
4
3
1
2
ℎ: = 1 + ∙ 1 . Untersuche die jeweilige Lage der Geraden zur Ebene, berechne ggf. den Schnittpunkt
1
−1
und den Schnittwinkel.
6. Geradenschar
2
Gegeben ist die Geradenschar : = 1 + ∙ 1 und die Ebene E: x1 + x2 + x3 = 4 sowie P(4|2|5).
3
a) Prüfe, ob P auf einer Geraden der Schar liegt.
b) Prüfe, ob eine Gerade gk parallel zu E ist.
c) Prüfe, ob eine Gerade gk die E orthogonal schneidet.
Lösungen:
1. = ! = √17;! = √42; # = 103,6°, & = ' = 38,2°, )*+ ,2|1,5|, 5., ℎ = )*+ = /6,5
= 8,260
2. g schneidet h in S(2|1|3) im rechten Winkel; g und k sind windschief; h und k sind echt parallel.
Durchstoßpunkte von h sind D2,3(0|9|-1), D1,3(4,5|0|3,5) und D1,2(1|7|0).
3. Lotebene von P auf g ist x1 + 4x2 + 7x3 = -39; g eingesetzt ergibt mit r = -2 den Lotfußpunkt L(1|-3|-4); damit
ist der Abstand 12 = √44 ≈ 6,63.
−12
4. Mit Kreuzprodukt o.ä. Normalenvektor berechnen: 4 = 3 , Koordinatengleichung der Ebene ist
7
8569: ;79< ;=9> ;65
: −125 + 36 + 77 + 21 = 0; Hesse-Form ist E:
= 0 L in Hesse-Form eingesetzt ergibt
√6?6
17
−12
d(P;E)=14,21, alternative Lösung über Lotgerade von P auf E: : = 3 + ∙ 3 er gibt als
−4
7
Schnittpunkt mit der Ebene E den Lotfußpunkt L(5|6|3) und d(P;E) = 12 = √202 ≈ 14,21.
5. g schneidet E in S(2|1|3) unter einem Winkel von 63,78° (Winkel zwischen Normalenvektor von E und
Richtungsvektor von g ist 26,22°); h ist echt parallel zu E.
6. a) P liegt auf der Geraden für k = 2. (Gleichsetzen)
b) für k = -4 ist der Richtungsvektor von gk orthogonal zum Normalenvektor, also g-4 parallel zu E (und nicht in E
enthalten, wie eine Punktprobe ergibt).
c) nein, denn kein Richtungsvektor kann Vielfaches vom Normalenvektor sein.