Abstand Punkt/Gerade
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Abstand Punkt/Gerade 1. Berechne den Abstand d des Punktes P (0 | 5 | 6) von der Geraden g: z 2 −4 ~x = 0 + λ 1 1 1 P× Lösung: ·× d Wir legen zunächst eine Ebene durch P , die senkrecht auf g steht. −→ y Als Stützvektor nehmen wir OP , als Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden g. Dann berechnen wir den Schnittpunkt F dieser Ebene mit g. −→ Der gesuchte Abstand d wird dann mit d = | F P | bestimmt. −4 0 E : 1 · ~x − 5 = 0 1 6 oder g x −4 1 · ~x − 11 = 0 1 z Schnittbedingung: P× −4 2 −4 1 0 + λ 1 − 11 = 0 1 1 1 · ×F d y −7 + 18 λ − 11 = 0 g 18 λ = 18 x λ=1 λ = 1 in die Geradengleichung eingesetzt, ergibt den Schnittpunkt F (−2 | 1 | 2). 0 −2 2 FP= 5 − 1 = 4 6 2 4 −→ −→ d = |F P | = 6 2. Berechne den Abstand: a) P (5 | 1 | −2) g: b) P (8 | 0 | 0) g: c Roolfs 1 0 2 ~x = 2 + λ 0 −2 −1 1 −1 ~x = −3 + λ 1 2 0 Abstand Punkt/Gerade Ergebnisse: 2. a) F (4 | 2 | −4), b) F (3 | −5 | 2), √ 6 √ λ = −2, d = 54 λ = 2, d= c Roolfs 2 Abstand Punkt/Gerade GTR × P d g Gegeben sind der Punkt P und die Gerade g: ~x = ~a + λ~u . Gesucht ist der Abstand d von P zu g. × P −→ ~x − OP d g F · ~u ~a × Um den Abstand mit dem GTR zu ermitteln, kann das Minimum der Funktion −→ d(λ) = | ~a + λ~u − OP | bestimmt werden. −→ Empfehlenswert ist, die Vektoren ~a und OP zusammenzufassen. Der Betrag wird wie üblich mit p einer Wurzel aus einer Quadratsumme gebildet, d(λ) = (. . . + λu1 )2 + (. . . + λu2 )2 + (. . . + λu3 )2 Berechne den Fußpunkt und den Abstand: ! a) b) P (5 | 1 | −2) P (8 | 0 | 0) g: g: ~x = 0 2 −2 ~x = 1 −3 2 ! + λ 2 0 −1 ! + λ −1 1 0 ! c Roolfs 3 Abstand Punkt/Gerade Ergebnisse: a) F (4 | 2 | −4), λ = 2, d= √ b) F (3 | −5 | 2), λ = −2, d = 6 √ 54 c Roolfs 4 GTR
