Lösungen - Universität Konstanz

Übungsblatt 1
1. Bei einem Gedächtnisexperiment werden 40 Probanden 30 Gegenstände vorgelegt,
die sie hinterher auswendig niederzuschreiben haben. Die folgende Aufzählung
listet auf, an wie viele der Gegenstände sich jeder einzelne Proband erinnert hat:
12 20 23 0 14 16 12 10 30 12
14 9 6 22 14 29 1 10 11 22
15 16 12 13 15 17 2 14 22 9
11 14 18 19 20 6 8 10 12 14
a) Welches Skalenniveau liegt vor (Anzahl erinnerte Gegenstände)?
b) Erstelle die Verteilung (Tabelle).
c) Wie viel Prozent der Probanden haben sich an 20 oder weniger Gegenstände
erinnert?
d) Stelle die Verteilung (d.h. die Prozentanteile) in einem Stabdiagramm dar.
e) Stelle die kumulierte Verteilung in einem geeigneten Diagramm dar. Wie
heißt dieses Diagramm?
2. Studenten werden nach dem Mensabesuch gefragt, welches Essen sie gewählt
haben. 12 Befragte haben Stammessen genommen, 6 Wahlessen, 6 Salat und 3
Eintopf.
a) Welches Skalenniveau liegt vor (gewähltes Essen)?
b) Erstelle die Verteilung (Tabelle).
c) Ist es sinnvoll, in dieser Verteilung kumulierte Anteile auszuweisen? (kurze
Begründung)
d) Stelle die Verteilung in einem Kreisdiagramm dar.
e) Stelle die Verteilung in einem Staffeldiagramm dar.
3. Es wird eine Untersuchung vorgenommen, wie viel Liter alkoholische Getränke
pro Woche getrunken werden. Die Daten werden in folgender Tabelle
zusammengefasst:
0 bis 1 Liter
6 Personen
1 bis 2 Liter
10 Personen
2 bis 5 Liter
17 Personen
5 bis 10 Liter 5 Personen
10 bis 20 Liter 1 Person
20 bis 30 Liter 1 Person
a) Erstelle eine statistisch korrekte Tabelle, die Angaben über die xi, die ni, die pi
und die kumulierten Anteile enthält.
b) Handelt es sich hierbei um stetige oder diskrete Daten?
c) Wie groß ist der Anteil der Personen, die 10 Liter und weniger trinken?
d) Stelle sowohl die Verteilung (d.h. die Prozentanteile) als auch die kumulierte
Verteilung graphisch dar.
e) Erläutere (kurz) an einer deiner Zeichnungen, was unter dem Prinzip der
„Flächentreue“ verstanden wird.
Lösungen
1. a) Absolutskala
b)
Index
Wert
Häufigkeit
relat. Häuf.
kumulierter Anteil
i
xi
ni
pi=ni/n
F(xi)=Σpi
1
0
1
0,025
0,025
2
1
1
0,025
0,05
3
2
1
0,025
0,075
4
6
2
0,05
0,125
5
8
1
0,025
0,15
6
9
2
0,05
0,2
7
10
3
0,075
0,275
8
11
2
0,05
0,325
9
12
5
0,125
0,45
10
13
1
0,025
0,475
11
14
6
0,15
0,625
12
15
2
0,05
0,675
13
16
2
0,05
0,725
14
17
1
0,025
0,75
15
18
1
0,025
0,775
16
19
1
0,025
0,8
17
20
2
0,05
0,85
18
22
3
0,075
0,925
19
23
1
0,025
0,95
20
29
1
0,025
0,975
21
30
1
0,025
1
c) F(20)=0,85 → 85%
e) Verteilungsfunktion für diskrete Daten: Treppenfunktion!
2. a) Nominalskala
b)
i
xi
ni
pi
1
1
3
1/9
2
2
6
2/9
3
3
6
2/9
4
4
12
4/9
c) Nein, denn wegen der Nominalskala ist die Reihenfolge beliebig.
3. a)
i
oi xi
ui
ni
pi
F(xi)
1
[0;1]
6
0,15
0,15
2
[1;2]
10
0,25
0,4
3
[2;5]
17
0,425
0,825
4
[5;10]
5
0,125
0,95
5
[10;20]
1
0,025
0,975
6
[20;30]
1
0,025
1
b) stetige, da die Literanzahl jeden beliebigen Wert annehmen kann.
c) F(10)=0,95
e) Flächentreue: der Anteil (p) wird als Fläche unterm Summenpolygon dargestellt.
Übungsblatt 2
Paul Illg
1. Es wird eine Untersuchung vorgenommen, wie viel Liter alkoholische Getränke
pro Woche getrunken werden. Die Daten werden in folgender Tabelle
zusammengefasst:
0 bis 1 Liter
6 Personen
1 bis 2 Liter
10 Personen
2 bis 5 Liter
17 Personen
5 bis 10 Liter 5 Personen
10 bis 20 Liter 1 Person
20 bis 30 Liter 1 Person
f) Erstelle eine statistisch korrekte Tabelle, die Angaben über die xi, die ni, die pi
und die kumulierten Anteile enthält.
g) Handelt es sich hierbei um stetige oder diskrete Daten?
h) Wie groß ist der Anteil der Personen, die 10 Liter und weniger trinken?
i) Stelle sowohl die Verteilung (d.h. die Prozentanteile) als auch die kumulierte
Verteilung graphisch dar.
j) Erläutere (kurz) an einer deiner Zeichnungen, was unter dem Prinzip der
„Flächentreue“ verstanden wird.
2. Bei sechs Schulkindern wird erhoben, wie viele Fernsehsendungen sie pro Woche
ansehen. Es kommt zu folgenden Ergebnissen (pro Schulkind eine Angabe für die
Anzahl von Sendungen):
20
40
5
40
20
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Berechne das arithmetische Mittel.
Berechne getrimmtes und winsorisiertes Mittel für q=0,2
Berechne die Spannweite.
Berechne die mittlere Quartilsdistanz.
Berechne den H-spread
Berechne die Standardabweichung. Beachte: Es handelt sich um eine
Stichprobe!
g) Jemand kommt auf die Idee, als Streuungsmaß die mittlere Abweichung vom
Median zu berechnen. Auf welches Ergebnis kommt er?
3. 20 Studenten werden nach ihrer derzeitigen Wohnsituation befragt.
10 Befragte wohnen in WG`s
4 im Wohnheim
4 mit ihrem Partner zusammen
2 zuhause bei ihren Eltern
a) Erstelle die Häufigkeitsverteilung
b) ist es sinnvoll in dieser Verteilung kumulierte Anteile anzugeben? (Begründung!)
c) stelle die Verteilung in einem Kreisdiagramm dar.
d) stelle die Verteilung in einem Staffeldiagramm dar.
e) stelle die Verteilung in einem Netzdiagramm dar.
4. Mittelwert/Median
a) Gegeben seien 10 Werte. Berechnet werden sowohl ein arithmetisches Mittel
als auch der Median.
A1) Muss das arithmetische Mittel zwingend identisch mit einem der 10
Werte sein? Kann es identisch mit einem der 10 Werte sein?
A2) Muss der Median zwingend identisch mit einem der 10 Werte sein? Kann
er identisch mit einem der 10 Werte sein?
b) Gegeben seien 9 Werte. Berechnet werden sowohl ein arithmetisches Mittel als
auch der Median.
B1) Muss das arithmetische Mittel zwingend identisch mit einem der 9 Werte
sein? Kann es identisch mit einem der 9 Werte sein?
B2) Muss der Median zwingend identisch mit einem der 9 Werte sein? Kann
er identisch mit einem der 9 Werte sein?
Lösungen
1. a)
i
oi
xi
ni
pi
F(xi)
ui
1
[0;1]
6
0,15
0,15
2
[1;2]
10
0,25
0,4
3
[2;5]
17
0,425 0,825
4
[5;10]
5
0,125
0,95
5
[10;20]
1
0,025 0,975
6
[20;30]
1
0,025
1
b) stetige, da die Literanzahl jeden beliebigen Wert annehmen kann.
c) F(10)=0,95
e) Flächentreue: der Anteil (p) wird als Fläche unterm Summenpolygon dargestellt.
2. a) mean(x)=(Σxi)/n=20,833
b) q=0,2
z=n*q=1,2
[z]=1 xgetr.=21,25
c) sp=xn-x1=40
d) q1=0,25
z1=n*q1=1,5 [z1]=1 x1=5
q2=0,75
z2=n*q2=4,5 [z2]=4
x2=4
d0,25=x0,75-x0,25=35 dq/2=17,5
e) dh=d0,25=35
f) sn-1=√(1/(n-1) Σxi²-n*xarith.²)=16,85
g) med(x)= 20 dx=1/nΣ│xi-x0,5│=12,5
xwin.=21,667
3. a)
i
xi
ni
pi
1
1
10 0,5
2
2
4
0,2
3
3
4
0,2
4
4
2
0,1
b) Da es bei qualitativen Daten keine Reihenfolge gibt, sind kumulierte Anteile wenig
sinnvoll !
4. a) A1) Muss nicht, kann aber.
A2) Muss nicht, kann aber (nur wenn 5.& 6. Wert gleich sind).
b) B1) Muss nicht, kann aber.
B2) Muss mit dem fünften Wert identisch sein.
Übungsblatt 3
1. Bei sechs Schulkindern wird erhoben, wie viele Fernsehsendungen sie pro Woche
ansehen. Es kommt zu folgenden Ergebnissen (pro Schulkind eine Angabe für die
Anzahl von Sendungen):
20 40 5 40 20 0
h) Berechne das arithmetische Mittel.
i) Berechne getrimmtes und winsorisiertes Mittel für q=0,2
j) Berechne die Spannweite.
k) Berechne die mittlere Quartilsdistanz.
l) Berechne den H-spread
m) Berechne die Standardabweichung. Beachte: Es handelt sich um eine
Stichprobe!
n) Jemand kommt auf die Idee, als Streuungsmaß die mittlere Abweichung vom
Median zu berechnen. Auf welches Ergebnis kommt er?
2. Mittelwert/Median
c) Gegeben seien 10 Werte. Berechnet werden sowohl ein arithmetisches Mittel
als auch der Median.
A1) Muss das arithmetische Mittel zwingend identisch mit einem der 10
Werte sein? Kann es identisch mit einem der 10 Werte sein?
A2) Muss der Median zwingend identisch mit einem der 10 Werte sein? Kann
er identisch mit einem der 10 Werte sein?
d) Gegeben seien 9 Werte. Berechnet werden sowohl ein arithmetisches Mittel als
auch der Median.
B1) Muss das arithmetische Mittel zwingend identisch mit einem der 9 Werte
sein? Kann es identisch mit einem der 9 Werte sein?
B2) Muss der Median zwingend identisch mit einem der 9 Werte sein? Kann
er identisch mit einem der 9 Werte sein?
3. Dracula sagt: „Die Verteilung der Länge meiner Zähne ist rechtsschief.“ Die
sichtbare Zahnlänge in mm gibt Draculas Dentist wie folgt an:
7,6 7,7 7.8 7.8 7.9 34,6 10,1 10,2 10,2 10,0 35,5 7,9 7,8 7,7 7,6 7,6
7,8 7,8 7,9 8,1 8,2 31,7 10,0 10,0 10,0 10,1 32,1 8,1 8,1 7,8 7,8 7,7
a) Zeichne den Boxplot sowie ein Stamm und Blatt Diagramm für die Zahnlänge.
b) Berechne die Schiefe.
4. Elf zufällig vorbeikommende Personen werden gefragt, wie viele
Weihnachtsgeschenke sie denn schon eingekauft hätten. Die einzelnen Antworten
(bereits in sortierter Reihenfolge) sind:
0 1 1 5 5 6 7 7 10 10 52
a)Berechne das 1. Quartil.
b)Berechne den unteren Hinge.
c)Berechne die Schiefe. Ist die Verteilung rechtsschief, linksschief oder symmetrisch?
d)Berechne die Entropie.
e)Zeichne den Boxplot.
5. Transformationen
a) Die xi einer Verteilung werden um den Wert 2 erhöht. Wie verändert sich
- der Median?
- das arithmetische Mittel?
- die Varianz?
- die Entropie?
b) Die xi einer Verteilung werden verdoppelt. Wie verändert sich
- der Median?
- das arithmetische Mittel?
- die Varianz?
- die Entropie?
Lösungen
1. a) mean(x)=(Σxi)/n=20,833
b) q=0,2
z=n*q=1,2
[z]=1 xgetr.=21,25
c) sp=xn-x1=40
d) q1=0,25
z1=n*q1=1,5 [z1]=1 x1=5
q2=0,75
z2=n*q2=4,5 [z2]=4
x2=4
d0,25=x0,75-x0,25=35 dq/2=17,5
e) dh=d0,25=35
f) sn-1=√(1/(n-1) Σxi²-n*xarith.²)=16,85
g) med(x)= 20 dx=1/nΣ│xi-x0,5│=12,5
xwin.=21,667
2. a) A1) Muss nicht, kann aber.
A2) Muss nicht, kann aber (nur wenn 5.& 6. Wert gleich sind).
b) B1) Muss nicht, kann aber.
B2) Muss mit dem fünften Wert identisch sein.
3. a) med(x)=(xn/2+x(n/2+1))/2=8
q=1/4
z=n*q=8
hu=xq=(xz+xz+1)/2=7,8
q=3/4
z=n*q=24
ho=xq=(xz+xz+1)/2=10,05
dh=ho-hu=2,25
unterer innerer Zaun: hu-1,5*dh=4,425
oberer innerer Zaun: ho+1,5*dh=13,425
unterer äußerer Zaun: hu-3*dh=1,05
oberer äußerer Zaun: ho-3*dh=16,8
b) mean(x)=(Σxi)/n=11,6
sn-1=√(1/(n-1) Σxi²-n*xarith.²)=8,476
schiefe(x)=(mean(x)-med(x))/sn-1=0,425>0 =>rechtsschief
4. a) med(x)`=med(x)+2
b) med(x)`=med(x)*2
mean(x)`=mean(x)+2
mean(x)`=mean(x)*2
var(x)`=var(x)
var(x)`=2²*var(x)
5. a) A1) Muss nicht, kann aber.
A2) Muss nicht, kann aber (nur wenn 5.& 6. Wert gleich sind).
b) B1) Muss nicht, kann aber.
B2) Muss mit dem fünften Wert identisch sein.
h(x)`=h(x)
h(x)`=h(x)
Übungsblatt 4
Paul Illg
Originalaufgabe aus der Klausur „Statistik für Soziologen“ WS 1993/94
13. Der Weg der Radfahrer von zu Hause zur Arbeitsstätte wurde untersucht:
Distanz Anzahl
0-1 km
5
1-10 km 5
a) Berechne die Dichten.
b) Zeichne Histogramm und kumulierte Verteilung.
c) Berechne kumulierte Anteile.
d) Berechne Mittelwert und Varianz.
e) Berechne Median und 1. Quartil.
18. Bekannt sei, dass sich 10% der Menschen über Schneeeinbruch freuen, 50% dem
Schnee indifferent gegenüber stehen und 40% sich nicht freuen, wenn es schneit.
a) Berechne die Entropie.
b) Jemand versucht mithilfe einer Modalregel vorherzusagen, ob sich eine
beliebig ausgewählte Versuchsperson über den Schneeeinbruch freut oder
nicht. Wie groß ist der Fehler, den er bei modaler Prädiktion macht? Mit
welchem Dispersionsmaß ist der Fehlerwert gleichzusetzen?
c) Jemand versucht mithilfe einer probabilistischen Regel vorherzusagen, ob sich
eine beliebig ausgewählte Versuchsperson über den Schneeeinbruch freut
oder nicht. Wie groß ist der Fehler, den er bei probabilistischer Prädiktion
macht? Mit welchem Dispersionsmaß ist der Fehlerwert gleichzusetzen?
d) Stelle die angegebenen Prozentwerte in einem Staffeldiagramm dar.
e) Stelle die angegebenen Prozentwerte in einem Netzdiagramm dar.
21. Stichprobenauswahlen
a) Für die Teilnahme an einem psychologischen Experiment haben sich 30
Personen gemeldet, obwohl nur zehn von ihnen berücksichtigt werden
können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 10er – Gruppe
zusammenzustellen?
b) Ein Photograph wird beauftragt, zehn Menschen zu fotografieren, die in einer
Reihe nebeneinander stehen. 30 Personen melden sich für dieses Foto, aus
denen er nun zehn auswählen muss: der erste, den er auswählt, soll auf dem
Photo ganz links stehen, der zweite daneben usw. Wie viele mögliche Fotos
können entstehen?
c) Aus 10 Kugeln werden 4 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Anzahl möglicher Stichproben?
24. Berechnen sie für die Messwerte 25 19 28 25 31 folgende Maßzahlen:
a) Mittelwert und Varianz.
b) 1. Quintil und 1. Quartil.
c) Quartilsdistanz und 2. Qartil.
Lösungen
1. a)+c) Dichte=hi=pi/bi
i
ui xi oi
bi
xi
ni
pi
F(xi)
hi
1
[0 ; 1]
1
0,5
5
0,5
0,5
0,5
2
[1 ; 10]
9
5,5
5
0,5
1
0,05
d) xarith.=Σxipi=3
sn-1²=1/(n-1) Σxi²-n*xarith.²=6,9444
e) med(x)= om+um+1/2=1
q=1/4
xq= um+((q-F(um))bm)/F(om)-F(um)=0,5
2. a) h(x)b=-1/ln2Σpi*ln(pi)=1,36
b) Modaldispersion md=1-max(pi)=0,5
c)qualitative Varianz qv=1-Σpi²=0,58
3. a) N=30
n=10 N =30045015 Möglichkeiten
n
b) N(N-1)(N-2)∆(N-n+1)=1,09*1014
c) N=10
n=4 Nn=10.000
4. a) xarith.=25,6
s²=1/n-1Σxi²-nxarith.²=19,8
b) q=1/5
z=n*q=1
xq=(x(z)+x(z+1))/2=22
q=1/4
z=1,25
[z]=1
xq=x([z]+1)=25
c) q=1/2
z=2,5
[z]=2
xq=25
q=3/4
z=3,75
[z]=3
xq=28
d0,25=x0,75-x0,25=3
Übungsblatt 5
1. Student M. steht morgens voll verpennt vor dem Kleiderschrank und angelt sich
mit geschlossenen Augen 2 Socken aus dem ungeordneten Fach (die Socken sind
nicht zu Paaren geordnet, sondern liegen einzeln im Fach).
M. besitzt 20 weiße und 30 schwarze Socken.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 weiße hervorzieht?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 schwarze erwischt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit 2 verschiedenen Socken zur
Uni geht?
2. Aufgrund der amtlichen Universitätsstatistik, die Aussagen über die Gesamtheit
aller an der Universität immatrikulierten Studenten macht, kann folgende Verteilung
der Studenten nach Semesterzahlen festgemacht werden:
POPULATIONSDATEN
Semesteranzahl Prozentsatz
1.-4.Semester
40%
5.-8. Semester
30%
9.-12. Semester 20%
13.-20. Semester 10%
a) Wie viel Prozent aller Studierenden befinden sich im 8. Semester oder
darunter?
b) Berechne das 7. Dezil.
c) Zufällig werden in einer Stichprobe einzelne Studenten ausgewählt und nach
ihrer Semesteranzahl befragt. Berechne für die Variable „Semesteranzahl“ den
Erwartungswert und die Varianz.
d) Angenommen, es würden von verschiedenen Befragern jeweils vier Studenten
ausgewählt und nach
ihrer Semesteranzahl befragt. Die Befrager notieren
sich nur die durchschnittliche Semesteranzahl der vier Probanden. Wie groß
sind Erwartungswert und Varianz für die Variable „durchschnittliche
Semesteranzahl bei vier Befragten“?
Originalaufgabe aus der Klausur „Statistik I für Soziologen“, WS 1993/94
3. Gegeben sei eine Urne mit 3 Kugeln (a, b, c). Auf a und b steht die Zahl 1, auf der
c-Kugel eine 0. Die
Zahlen auf den Kugeln sind die Werte der x-Variablen.
- Berechnen Sie für die x-Variable der Grundgesamtheit
a. die Verteilung (Werte und Anteile):
b. arithmetisches Mittel und Varianz.
- Sie ziehen zufällig eine Stichprobe (MIT Zurücklegen) der Größe 2 (n=2).
Berechnen Sie für die
Zufallsvariable des arithmetischen Mittels:
c. die Verteilung (Werte und Wahrscheinlichkeiten):
d. den Erwartungswert und die Varianz
4. Gegeben sei ein Würfel mit 4 Seiten (analog zum Beispiel im Skript)
a) Erstelle die Verteilung; berechne Erwartungswert und Varianz von X.
Man würfle mit diesem Würfel 2 Mal und berechne darüber die durchschnittliche
Augenzahl.
b) Erstelle die Verteilung. Berechne Erwartungswert und Varianz über den
Durchschnitt.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 mal Werfen mit diesem Würfel die
gleiche Augenzahl zu erhalten?
Lösungen
1. a) P(A)=20/50*19/49=15,5%
b) P(A)=30/50*29/49=35,5%
c) P(A)=20/50*30/49+20/49*30/50=49%
2. a) F(8)=0,7 =>70%
b) q=7/10
xq=(um+om+1)/2=8,5
c) xarith.=Σxipi=6,7
s² =n/n Σ(xi-xarith.)²*pi=19,56
d) n=4
E(xarith.)=E(x)=6,7
Var(xarith.)=Var(x)/n=4,89
3. a)
I
xi
ni
лi
1
1
2 2/3
2
0
1 1/3
b) xarith.=Σxiлi=0,667
Var(x)= л(1-л)=2/9
c)
i
xi P(xarith.=xi)
1
0
1/9
2
0,5
4/9
3
1
4/9
d) E(xarith.)=л=2/3 Var(xarith.)=Var(x)/2=1/9
4. a)
I=xi
Pi
1
0,25
2
0,25
3
0,25
4
0,25
E(x)=Σxipi=2,5
Var(x)= Σ(xi-E(xi))²*pi=1,25
b)
i
xi P(xarith.=xi)
1
1
1/16
2
1,5
1/16
3
2
1/16
4
2,5
1/16
5
3
1/16
6
3,5
1/16
7
4
1/16
E(xarith.)=E(x)=2,5 Var(xarith.)=Var(x)/2=0,625
c) P(A)=1/4
Übungsblatt 6 - Aufgaben
Paul Illg
1. Es sei bekannt, dass in einer Gesellschaft 80% der Bevölkerung über Stress in der
Vorweihnachtszeit klagt. Diesem Umstand will ein psychologisches Forscherteam
nachgehen und wählt dafür zufällig eine Stichprobe von 20 Personen aus.
a) Berechne den Erwartungswert für die Variable „Anzahl der Personen in der
Stichprobe, die über Stress in der Vorweihnachtszeit klagen“ (=
Stresspersonen).
b) Welcher Anteil an Stresspersonen ist zu erwarten?
c) Berechne für Anzahl und Anteil der Stresspersonen die jeweilige Varianz (also
eine Varianz für „Anzahl“ und eine Varianz für „Anteil“)
d) Angenommen, es würden innerhalb der Stichprobe Vierergrüppchen gebildet:
Wie groß wären jetzt Erwartungswert und Varianz für durchschnittlichen
Anteil bzw. durchschnittliche Anzahl an Stresspersonen?
e) Innerhalb der 20köpfigen Stichprobe befinden sich nun 20 Stresspersonen.
Wie wahrscheinlich war es, dass alle zufällig ausgewählten Personen
Stresspersonen sind?
f) Der Projektleiter des Forscherteams will die Stichprobe dann nicht zulassen,
wenn sich lediglich 10 oder weniger Stresspersonen in der Stichprobe
befinden. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Projektleiter die Stichprobe
ablehnt?
Ein anderer Projektleiter besteht darauf, dass mindesten 16 Stresspersonen in der
Gruppe sein müssen. Wie wahrscheinlich ist es, dass ihm dieser Wunsch erfüllt
wird?
2. Der Intelligenzquotient ist normalverteilt mit  = 100 und σ² = 16² (Schreibweise:
NV(100/16²). Es werden Stichproben von 9 Personen gezogen, über die der
Mittelwert des IQ gebildet wird.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Wie groß ist der Anteil derjenigen Mittelwerte, die größer als 103 sind?
Wie groß ist der Anteil derjenigen Mittelwerte, die kleiner als 97 sind?
Wie groß ist der Anteil derjenigen Mittelwerte, die größer als 97 sind?
Wie groß ist der Anteil derjenigen Mittelwerte, die größer als 100 sind?
Wie groß ist der Anteil derjenigen Mittelwerte, die kleiner als 150 sind?
Ab welchem IQ-Mittelwert liegen die 5% intelligentesten Gruppen?
Ab welchem IQ-Mittelwert liegen die 5% am wenigsten intelligenten
Gruppen?
h) Ab welchem IQ-Mittelwert liegen die 2,5% intelligentesten Gruppen, ab
welchem die 2,5% am wenigsten intelligenten Gruppen? Wie groß ist der
Prozentanteil der Mittelwerte, die zwischen diesen beiden Gruppen liegen?
3. Es wird angenommen, dass 20% aller Weinachtgeschenke nach Weihnachten
umgetauscht werden. Linda kauft 20 Geschenke.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Geschenke
umgetauscht wird?
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass max. 5 Geschenke umgetauscht werden?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der
Geschenke umgetauscht werden?
4. Bei einem unbedingten Reflex, etwa dem Patellarsehnen-Reflex, tritt im
Durchschnitt nach 0,04 Sekunden eine Reaktion auf. Angenommen, die Reaktionszeit
sei NV(0,04; 0,6²), wie wahrscheinlich ist es dann, dass eine Reaktion erst nach 1
Sekunde oder später auftritt?
Übungsblatt 6 - Lösungen
Tutorium bei Niklas
1. a) E(x)Anz.=n* л=16
b) E(x)Ant.= л=0,8
c) Var(x)=n л(1-л)=3,2
Var(x)= л(1-л)=0,16
d) E(xarith.4)Ant.= л=0,8
E(xarith.4)Anz.=n* л=3,2
Var(xarith.4)Anz.=n л(1-л)=0,64
e) P(A)=лk(1-л)(n-k)(n)=0,0115 →1,15% Tabelle A
k
f) P(k≤10)=0,0026
P(k≥16)=0,6296
Var(xarith.4)Ant.=Var(x)/4=0,04
2. a) Std(xarith.n)=√(s²/n)=5,33
z=x-µ/Std(xarith.n)=0,5625
Tabelle E z=0,56
Φ(-z)=0,2877 → 28,77%
b) z=-0,5625 →28,77%
c) z=-0,5625 →71,23%
d) z=0
→50%
e) z=9,375 →100%
f) Tabelle E →z=1,645
xarith.=µ+z*Std(xarith.n)=108,77
g) z=-1,645 →xarith.=91,3
h) z=±1,96 →xarith.=110,45 ; 89,546
D(z)=0,95 →95%
3. a) n=20
л=0,2
k=0
b) P(k≤5)=0,8042
c) P(k≥10)=1-P(k≤9)=0,0026
4. µ=0,04
δ²=0,6²
P(k=0)=0,0115
z=(x-µ)/δ=1,6
P(z≥1,6)=0,0548→5,48%
Tab. E
Übungsblatt 7
Paul Illg
1. Zur Erinnerung: Kugelbeispiel: 4 Kugeln a,b,c,d. a,b,c=0, d=1.
Dreimal ziehen OHNE Zurücklegen.
a) Erstelle die Verteilung der Mittelwerte.
b) Berechne Erwartungswert und Varianz dieser Mittelwertsverteilung.
2. Gegeben sei ein Würfel mit 4 Seiten (analog zum Beispiel im Skript)
a) Erstelle die Verteilung; berechne Erwartungswert und Varianz von X.
Man würfle mit diesem Würfel 2 Mal und berechne darüber die durchschnittliche
Augenzahl.
b) Erstelle die Verteilung. Berechne Erwartungswert und Varianz über den
Durchschnitt.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 mal Werfen mit diesem Würfel die
gleiche Augenzahl zu erhalten?
3. Bei einem unbedingten Reflex, etwa dem Patellarsehnen-Reflex, tritt im
Durchschnitt nach 0,04 Sekunden eine Reaktion auf. Angenommen, die Reaktionszeit
sei NV(0,04; 0,6²), wie wahrscheinlich ist es dann, dass eine Reaktion erst nach 1
Sekunde oder später auftritt?
4. Ein Student hofft bei jedem Telefonklingeln, dass seine Freundin ihn anruft. Aus
Erfahrung weiß er, dass die Chance jeweils 0,3 beträgt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit
a) kommen fünf von den nächsten zehn Anrufen von seiner Freundin?
b) sind höchstens vier von den nächsten zehn Anrufen von seiner Freundin?
c) kommt in einer Folge von 10 Anrufen der Anruf der Freundin erst ganz am
Schluss?
Originalaufgabe aus der Klausur „Statistik II für Soziologen“, SS 1999
5. Die Frauen werden in einem Land durchschnittlich 76 Jahre alt, die Männer 70.
Das Alter sei normalverteilt (Standardabweichung = 20).
a) Wie viel Prozent der Frauen werden älter als 95% der Männer?
b) Man ziehe nun „unendlich“ viele Zufallsstichproben von jeweils 9 Männern und
ebenso „unendlich“ viele Zufallsstichproben von jeweils 9 Frauen. Wie viel Prozent
der Frauenstichproben-Mittelwerte sind größer als 95% der MännerstichprobenMittelwerte?
Lösungen
1.
I
1
2
xi
0
1
лi
¾
¼
E(X) =л= ¼
Var(X) =л(1-л)= 0,1875
2. a)
I=xi
Pi
1
0,25
2
0,25
3
0,25
4
0,25
E(x)=Σxipi=2,5
Var(x)= Σ(xi-E(xi))²*pi=1,25
b)
i
xi P(xarith.=xi)
1
1
1/16
2
1,5
1/16
3
2
1/16
4
2,5
1/16
5
3
1/16
6
3,5
1/16
7
4
1/16
E(xarith.)=E(x)=2,5 Var(xarith.)=Var(x)/2=0,625
c) P(A)=1/4
3. µ=0,04
δ²=0,6²
z=(x-µ)/δ=1,6
P(z≥1,6)=0,0548→5,48%
4. a) P(5von10)=pk(1-p)(n-k) n =0,1029 →10,3%
k
b) P(k≤4)=0,8497 →84,97%
Tab. B
c) P(k=0)=0,0404
P(k=1)=0,3 P(k=0)*P(k=1)=0,01212
→1,21%
Tab. E
Tab. A
5. a) z=1,645 x=µ+z*Std(x)=102,9
z= x-µ/δ =1,345
P(z≥1,345)=0,0893
b) Std(x9)=Std(x)/√n=6,667
xarith.=µ+z*Std(xarith.n)=80,96
z= x-µ/δ =0,745
P(z≥0,745)=0,2281→22,81%
Übungslatt 8
1. Für x aus einer dichotomen Population wurde eine einfache Zufallsstichprobe
gezogen (n=10): 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1.
Es sollen Bootstrap-Konfidenzintervalle erzeugt werden; daher wurden aus dieser
Stichprobe 10 Zufallsstichproben gezogen. Der Anteil der Einsen in diesen
Stichproben war jeweils: 0.3, 0.4, 0.3, 0.1, 0.7, 0.5, 0.4, 0.3, 0.3, 0.5.
a) Berechnen Sie das 80%-Bootstrap-Konfidenzintervall für die Varianz der
dichotomen Variablen:
b) Berechnen Sie das 80%-Bootstrap-Konfidenzintervall für den Mittelwert der
dichotomen Variablen:
2. Mittelwerttests: Bestimme für alle der folgenden Testangaben den kritischen
Bereich. (falls nicht anders angegeben α = 0,05) Wenn möglich, dann gib auch den
Fehler 2.Art und die Macht des Tests an.
a) Ho:=100; Ha:=98 ; σx=10 ; n=16
b) Ho:=100; Ha:=98 ; σx=10 ; n=16 für 1%Signifikanzniveau
c) Ho:=100; Ha:=90 ; σx=10 ; n=16
d) Ho:=0; Ha:=-0,1 ; σx=0,5 ; n=25
e) Ho:=10; Ha:=5 ; σx=1 ; n=2
f) Ho:=100; Ha:=102 ; σx=10 ; n=16
g) Ho:=20; Ha:=22 ; σx=2 ; n=4
h) Ho:=9; Ha:=12 ; σx=0,1 ; n=100
i) Ho:=100; Ha:>100 ; σx=16 ; n=100
j) Ho:=100; Ha:≠100 ; σx=8 ; n=20
k) Ho:=100; Ha:≠100 ; σx=8 ; n=25
Nicht vergessen: jedesmal den Standardfehler berechnen (σ/√n)!
Originalaufgabe aus „Einführung in die Statistik“, WS 00/01
3. Der Anteil der Studenten, die ohne gründliche Vorbereitung zur Klausur antreten
(H0), ist 0.40.
Die Alternativhypothese sei: Dieser Anteil ist 0.20.
Von 50 untersuchten Studenten gaben 30% zu, sich auf die Klausur nicht gründlich
vorzubereiten.
Teststatistik: Anzahl der Studenten, die sich auf die Klausur nicht gründlich
vorbereiten.
Konstruieren Sie einen Test der H0-Hypothese.
a. Welche Verteilung hat die Teststatistik?
b. Kritischer Bereich?
c. Exaktes alpha? Wird H0 verworfen?
d. Macht des Tests?
Originalaufgabe aus „Einführung in die Statistik“, WS 00/01
4. Die jährliche Steuer pro Person in DM sei normalverteilt, mit einer
Standardabweichung = 1000 (in der Population). Der Mittelwert soll auf Grund einer
Stichprobe geschätzt werden.
a. Wie groß sollte n (Stichprobengröße) sein, damit das 95%-Konfidenzintervall nur
100 DM breit ist?
Die jährliche Steuer pro Person in DM sei normalverteilt, mit einer
Standardabweichung = 2000 (in der Population). Der Mittelwert soll auf Grund einer
Stichprobe geschätzt werden.
b. Wie groß sollte n (Stichprobengröße) sein, damit das 95%-Konfidenzintervall nur
100 DM breit ist?
1. a) sortierte Liste der Var(x)=л(1-л)
(i)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
xi
0,09
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
1. Dezil: 0,15 9. Dezil: 0,25
80% bootstrap-Konfidenzintervall (0,15;0,25)
b) sortierte Liste der Mittelwerte
(i)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
xi
0,1
0,3
0,3
0,3
0,3
0,4
0,4
1. Dezil: 0,2
9. Dezil: 0,6
80% bootstrap-Konfidenzintervall (0,2;0,6)
2.
Kritischer Bereich
a) 95,8875 und kleiner
b) 94,175 und kleiner
c) 95,8875 und kleiner
d) -0,1645 und kleiner
e) 8,8368 und kleiner
f) 104,1125 und größer
g) 21,645 und größer
h) 9,01645 und größer
i) 102,638 und größer
j) 103,50622 und größer;
96,493778 und kleiner
k) 103,136 und größer; 96,864
und kleiner
3. a) H0: л0=0,4
Ha: лa=0,2
b) α=0,05 linksseitig
c) exaktes α=0,028 KB:{0,...,13}
d) p=0,2
n=50 Tab. B
(7)
0,24
(8)
0,5
Fehler 2. Art
0,7995
0,9370
0,0094
0,7389
0
0,7995
0,3632
0
nicht möglich
nicht möglich
Macht des Tests
0,2005
0,0630
0,9906
0,2611
1
0,2005
0,6368
1
nicht möglich
nicht möglich
nicht möglich
nicht möglich
Binominalverteilung
л=0,3→x=15 →H0 wird akzeptiert!
MdT: P(x≤13)=0,8894
4. a) o0,95 – u0,95 =µ+1,96*δ/√n–(µ–1,96*δ/√n)= 100
1,96 ∙ 2000/√n = 100 →n=1536,6
1537 Leute sollten in der Stichprobe sein
b) n=(z*2δ/100)²=6146,56 →6147 Leute
(8)
0,24
(9)
0,25
(9)
0,5
(10)
0,7
(10)
0,25
Übungsblatt 9
Paul Illg
1. Zum Millennium - Jahreswechsel wurde eine Aufstellung darüber veröffentlicht,
wie oft jede Zahl bei den Ziehungen der Lottozahlen in den Jahren von 1955 und
1999 gezogen wurde (exakt wurden alle 2803 Ziehungen zwischen dem 9.10.1955
und dem 20.11.1999 berücksichtigt). Folgender Ausschnitt aus dieser Aufstellung
gibt an, wie oft die Zahlen 1 bis 10 gezogen wurden:
Zahl 1: 280 mal Zahl 2: 288 mal Zahl 3: 300 mal Zahl 4: 270mal Zahl 5: 280 mal
Zahl 6: 290 mal Zahl 7: 271 mal Zahl 8: 260 mal Zahl 9: 289 mal Zahl 10: 275
mal
Im folgenden sollen die Ergebnisse für die Zahlen 11 bis 49 vernachlässigt werden, so
als ob sie gar nicht gezogen worden wären.
Zu erwarten wäre, dass jede der Zahlen 1 bis 10 gleich oft gezogen worden ist. Daher
wird als Nullhypothese formuliert: Die Häufigkeit der Ziehung ist unter den Zahlen
1 bis 10 gleichverteilt. Alternativ wird behauptet: Es liegt keine Gleichverteilung vor.
Überprüfe die Hypothese aufgrund der oben angegebenen Daten mithilfe eines Chi²Anpassungstestes, wobei als Teststatistik zu verwenden ist:
a) Likelihood-ratio-chi²
b) Pearsons –chi²
Originalaufgabe aus „Einführung in die Statistik“ WS 00/01
2. Die Dauer des täglichen Zeitungslesens wurde bei 100 Studenten erhoben, das
Ergebnis:
Klasseneinteilung des Zeitungslesens
Häufigkeit
0 bis zu 10 Minuten
40
10 bis zu 30 Minuten
40
30 bis zu 90 Minuten
10
90 bis zu 170 Minuten
10
a. Berechnen Sie die Dichten.
b. Berechnen Sie Median und 2.Quintil.
c. Prüfen Sie die Hypothese, dass der Anteil in allen 4 Klassen in gleich groß ist:
Welcher Test muss hier angewandt werden? Wie heißt die Teststatistik? Wert der
Teststatistik? Kritischer Wert der Teststatistik?
3. H0: Der durchschnittliche IQ von Studenten ist 100, Ha: Er ist ungleich 100.
Es wurde eine Stichprobe gezogen und folgendes 95%-Konfidenzintervall für den
Populationsmittelwert berechnet: [102,3 ; 108,7]. Wird die Nullhypothese verworfen?
Falls ja, warum und zu welchem Signifikanzniveau?
Wie groß war n und das Stichprobenmittel?
Lösungen
1. a) LRχ²=–2nΣpiln(лi/pi)=4,47
b) Pχ²=nΣ(pi-лi)²/лi=4,46
p=1/10
df=9 α=0,05
KB:16,92<
H0 beibehalten!
2. a) Dichte=hi=pi/bi
i
ui xi oi
xi
bi
ni
pi
F(xi)
hi
1
0-10
5
10
40
2/5
2/5
0,04
2
10-30
20
20
40
2/5
4/5
0,02
3
30-90
60
60
10 1/10 9/10 0,001667
4
90-170 130
80
10 1/10
1
0,00125
u
+((q-F(u
))b
)
m
m
m
b) med(x)=
/F(om)-F(um)=15
q=2/5
xq=(ui+oi)/2=10
d) H0:pi=лi Ha:pi≠лi
LRχ²=–2nΣpiln(лi/pi)=38,55
Pχ²=nΣ(pi-лi)²/лi =36
KB:7,81<
df=3 →H0 abgelehnt!
3. Ja: Das Konfidenzintervall des Testwerts überdeckt „mü“ (wo ist das auf dieser
Tastatur!) nicht.
alpha = 0,05
Stichprobenmittel = 105,5
n = 85
Übungsblatt 10
Paul Illg
Heute mal etwas weniger Arbeit, viel Spaß
1. Es soll die Frage untersucht werden, ob Türen auf der "Stoßen-Seite" gleich
abgenutzt werden wie auf der "Ziehen-Seite". Alternativ wird behauptet, dass die
"Stoßen-Seite" stärker beansprucht wird.
Bei acht Türen wurde ein Verschmutzungswert erhoben:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Stoße 41
23
25
20
4
50
7
13
nSeite
Ziehe 40
22
23
19
3
51
5
12
nSeite
Prüfen Sie zuerst die Hypothese, dass die durchschnittliche Abnutzung gleich ist
unter Berücksichtigung der angemessenen Alternativhypothese.
a)
Testwert
b)
Welche Verteilung hat die Teststatistik?
c)
Wird H0 abgelehnt? Begründung
d)
Bestimme den kritischen Bereich !
Prüfen Sie nun die Hypothese, dass der Verschmutzungsunterschied nur zufällig ist,
bei entsprechender Alternative, dass er wohl überzufällig ist (Teststatistik: Anzahl
der Türen, die auf der Stoß-Seite stärker verschmutzt sind).
e)
Wird H0 abgelehnt bei 8 positiven Antworten? Begründung
f)
Bestimme den Kritischen Bereich
g)
Welche Verteilung hat die Teststatistik?
Lösungen
47. a) sd=√((1/n–1)Σdj²–nđ²)=0,9258
TW=đ–µ0/(sd/√n)=3,0553
df=7
b) Student-t-Verteilung
c) H0 wird abgelehnt, 3,0553 im Kb liegt.
d) KB: 1,9<
e) TW=8 liegt im KB
→H0 wird verworfen!
f) α=0,05
exaktes α=0,0352 KB:[7;8]
Tab. A (von hinten aufaddieren)
g) Binominalverteilung
Übungsblatt 11
von Paul Illg
49. Das geschlechtsspezifische Kaufverhalten in Bezug auf Schuhe soll untersucht
werden. Hierzu wurden 20 Männer und 50 Frauen nach der Anzahl der Schuhpaare,
die sie durchschnittlich pro Jahr einkaufen, befragt. Die Stichprobe ergab für die
Männer einen Mittelwert von 3, bei einer Standardabweichung von 2 und für die
Frauen einen Mittelwert von 7, bei einer Standardabweichung von 4.
Nullhypothese: Das Kaufverhalten unterscheidet sich nicht zwischen Männern und
Frauen.
Alternativhypothese: Frauen kaufen mehr Schuhe.
a) erstelle je ein 95%-Konfidenzintervall für die Populationsmittelwerte der
Männer und Frauen.
b) berechne den Determinationskoeffizienten 1. Art.
Test und Konfidenzintervall der Mittelwertdifferenz unter der Annahme: Die
Populationsstandardabweichungen seien gleich.
c) Testverteilung? Freiheitsgrade?
d) Kritischer Bereich?
e) Testwert? Wird Ho abgelehnt?
f) Berechne ein Konfidenzintervall für die Differenz der
Populationsmittelwerte.
g) Welche Differenzhypothesen würden akzeptiert werden?
Test und Konfidenzintervall unter der Annahme: Die
Populationsstandardabweichungen seien verschieden.
h) Testverteilung? Freiheitsgrade?
i) Kritischer Bereich?
j) Testwert? Wird Ho abgelehnt?
k) Welche Differenzhypothesen würden akzeptiert werden?
52. Bei acht Personen mit Schlafstörungen soll mittels einer Therapie die Schlafdauer verlängert werden. Die Patienten werden drei
verschiedenen Therapeuten zugeteilt. Folgende Statistik wird erhoben:
Therapeut A
2
2
5
Schlafdauer
in h vorher
Schlafdauer 4
in h nachher
4
6
Therapeut B
2
4
6
Therapeut C
4
7
4
6
6
6
6
Zu überprüfen sind die folgenden Hypothesentests: (Beachte, dass für keinen der
Tests alle in der Tabelle enthaltenen Informationen verwendet werden müssen. Stelle
fest, um welchen Test es sich jeweils handelt!)
a) H0: Die Therapiegruppen der Therapeuten A, B und C unterscheiden sich im
Durchschnitt nicht hinsichtlich der Schlafdauer, die die jeweiligen Patienten vor
Beginn der Therapie angaben. HA: H0 ist falsch.
b) H0: Die einzelnen Patienten schlafen nach der Therapie im Durchschnitt zwei
Stunden länger. (So wird es von den Therapeuten angepriesen). HA: Die
durchschnittliche Verbesserung des Schlafes beträgt weniger als zwei Stunden.
c) H0: Der Anteil derjenigen Patienten, bei denen sich eine längere Schlafdauer
einstellt, ist 0.5 (d.h. eine Schlafverbesserung ist rein zufällig). HA: Der Anteil
derjenigen Patienten, bei denen sich eine längere Schlafdauer einstellt, ist größer als
0.5 (d.h. eine Schlafverbesserung ist nicht zufällig).
d) H0: Die durchschnittliche Schlafdauer nach Ende der Therapie ist 6 Stunden.
HA: Die durchschnittliche Schlafdauer nach Ende der Therapie beträgt weniger als
6 Stunden.
Lösungen
1. a) m-KI: ўm±t>0,95<(df)*sm/√nm=[2,0653 ; 3,9346]
w-KI: ўw±t>0,95<(df)*sw/√nw=[5,8629 ; 8,1370]
b) ssq(within)=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²=860
ssq(between)=Σniўi²-nў²=228,6065
ssq(total)=ssq(within)+ssq(between)=1088,606
η²=ssq(between)/ssq(total)=0,21
c) Student-t-Verteilung
df=nm+nw-2=68
d) KB<-1,68
e) spool²=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²/n1+n2-2=3,5563 s=ў1-ў2=spool*√(1/n1+1/n2)=0,9409
TW=(ў1-ў2)-µ0/s=ў1-ў2=-4,2512
→ H0 abgelehnt!
f) KI: (ў1-ў2)±t>0,95<(df)* s=ў1-ў2=[-5,8912 ; 2,1087]
g) Alle, deren Testwert im Bereich des KI liegt!
h) Student-t-verteilung
df=(s1²/n1+s2²/n2)²/(s1²/n1)²/(n1-1)+(s2²/n2)²/(n2-1)=64,45
i) KB<-1,68
j) s≠ў1-ў2=√(s1²/n1)+(s2²/n2)=0,7211
TW=(ў1-ў2)-µ0/s≠ў1-ў2=-5,5470
TW im KB → H0 abgelehnt!
k) KI: (ў1-ў2)±t>0,95<*s≠ў1-ў2)=[-5,4494 ; -2,5506]
2. a) Varianzanalyse
H0: µ1=µ2=µ3 Ha: H0 ist falsch.
df1=I-1=2
df2=n-I=5
Σn
ў
²-nў²
η²*df2
i
i
η²=
/ΣΣyij²-nў²=0,2885
TW=F(df1,df2)=
/(1-η²)*df1=1,0136
Tab. F
KB: 5,97<
TW nicht imKB. →H0 wird beibehalten!
b) Vergleich zweier Mittelwerte, bei verbundenen Stichproben
H0: µ1-µ2=-2=µ0
H0: µ1-µ2>-2
df=n-1=7
TW=đ=-1,25
δ unbekannt → Student-t-Verteilung
KB rechtsseitig
sd²=1/n–1Σdi²ni–nđ²=1,357 µ0+t0,95<(df)sd/√n
→KB>-1,22
TW nicht im KB. →H0 wird beibehalten!
c) Binominaltest
H0: л0=0,5
Ha: лa>0,5 TW=6
KB rechtsseitig
Tab. B
exaktes α=0,0352 KB≥7
TW nicht im KB → H0 wird
beibehalten!
Schlafverbesserung ist rein zufällig!
d) Mittelwerttest H0: µ0=6
Ha: µa<6
df=n-1=7
xarith.=5,25
δ unbekannt → Student-t-Verteilung
KB linksseitig
1
sn-1=√( /n–1Σxi²–nxarith.²)=1,035
µ0+t>0,95(df) sn-1/√n → KB<5,30
TW im KB → H0 wird abgelehnt!
Übungsblatt 12
von Paul Illg
50. Wie viel Kilowatt können durch Energiesparlampen durchschnittlich pro Woche
eingespart werden? Für eine Stichprobe von fünf Haushalten wurden folgende
Ergebnisse erzielt:
Haushalte:
1 2 3
4 5
Kw/Woche mit üblichen Lampen
24 40 10 20 30
Kw/Woche mit Energiesparlampen 20 36 11 16 26
a. Berechnen Sie das 95%Konfidenzintervall für die Differenz der
Populationsmittelwerte.
b. Berechnen Sie das für diesen Fall adäquate PRE-Maß. Wie heißt dieses PRE-Maß?
c. Testen Sie H0: Populationsmittelwerte sind gleich (Alternative: ungleich)
Testwert?
Kritischer Bereich? Wird H0 abgelehnt?
Warum?
51. Die durchschnittliche häusliche Arbeitszeit (in Stunden) für 2 Wohnarten werden
verglichen.
Wohnart
Stichproben:
zu Hause
WG
Mittelwert :
10
20
Standardabweichung: 2
2
Stichprobengröße:
10
20
Die Populationsstandardabweichungen seien gleich.
a. Berechnen Sie das Konfidenzintervall für den Mittelwert jeder Gruppe.
b. Berechnen Sie das Konfidenzintervall für die Differenz der
Populationsmittelwerte.
c. Testen Sie H0: Populationsmittelwerte sind gleich (Alternative: ungleich)
Kritischer Bereich: Wird H0 abgelehnt? Warum?
d. Berechne das PRE-Maß. Charakterisiere die Regel mit und die Regel ohne xMerkmal.
58. Bei Lehrern verschiedener Fächer (=x) wurde erhoben, wie viel Zeit sie für die
Vorbereitung des Unterrichtes in einem Monat benötigen (Normalverteilungs- und
Homoskedastizitätsannahmen seien OK).
Die Daten:
Mathematik Deutsch Englisch
y-Mittelwert
15
30
25
y-Standardabweichung 5
10
8
Anzahl Befragter
25
30
20
Untersuche zur Prädiktion die Mittelwertregel!
a) Berechne das geeignete PRE-Maß, wie heißt es?
b) Charakterisiere genau die Prädiktionsregel (OHNE Fach) und
die Prädiktionsregel (MIT Fach).
c) Wie groß sind die Fehler (OHNE Fach) und Fehler (MIT Fach)?
Teste die Hypothese, dass die Populationsmittelwerte gleich seien:
d) Wert der Teststatistik?
e) Kritischer Bereich, Freiheitsgrade?
f) Wird die Hypothese abgelehnt?
53. In Konstanz werden in vier Buslinien jeweils drei zufällig ausgewählte Personen
nach ihrem Alter befragt. Dabei werden folgende Resultate festgestellt:
Buslinie
Alter der Fahrgäste
Linie 1 (Autofähre)
34
56
75
Linie 6 (PLK Reichenau)
27
45
63
Linie 9 (Uni)
20
25
30
Linie 10 (Friedhof)
65
80
80
a) Führe folgenden Test durch:
H0: Das Alter der Fahrgäste unterscheidet sich nicht für die verschiedenen Buslinien.
HA: H0 ist falsch.
b) Gib insbesondere an: Testverteilung ? Testwert ? Kritischer Bereich ?
c) Berechne ² und interpretiere es.
d) Berechne im Sinne des PRE-Konzepts den Fehler (OHNE). Um welche SSQ
handelt es sich?
Erstelle eine Tabelle, die auch in einem Computerausdruck zu finden sein könnte,
und deren Spalten überschrieben sind mit „source of variance“, „SSQ“, „df“ und
„MSQ“.
Lösungen
50. a) đ=Σdi/nd=3
sd=√(1/n–1Σdj²–nđ²)=2,2361
df=n-1=4
KI: darith.±t>0,95<(df)* Std(đ)=[0,22 ; 5,78]
b) Determinationskoeffizient 1. Art für verbundene Stichproben
ηv²=n*đ²/Σdj²=0,6923
→Fehlerreduktion um 69,23%
c) H0: µ1-µ2=0 µ1=µ2
Ha: µ1-µ2≠0 µ1≠µ2 TW=đ-µ0/Std(đ)=3
→ H0 wird abgelehnt!
Std(đ)=sd/√n=1
51. a) df=n1-1=9
Std(ў1)=s1/√n1=0,6325
1-KI: ў1±t0,975<(df)* Std(ў1)=[8,57 ; 11,43]
df=n2-1=19 Std(ў2)=s2/√n2=0,4472
2-KI: ў2±t0,975<(df)* Std(ў2)=[19,07 ; 20,93]
b) d=-10
df=n1+n2-2=28
spool²=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²/n1+n2-2=4
s=ў1-ў2=spool*√(1/n1+1/n2)=0,7746
KI: d±t0,975<(df)* s=ў1-ў2=[-11,59 ; -8,41]
c) H0: µ1=µ2 Ha: µ1≠µ2
α=0,05
TW=(ў1-ў2)-µ0/s=ў1-ў2=-12,91
KB: beidseitig 2,05
→ H0 wird abgelehnt, da TW im KB!
d) Regel(Mit x): ŷ1:=10
ŷ2:=20
Regel(Ohne x): ŷ:=16,667
ssq(within)=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²=112
ssq(between)=Σniўi²-nў²=663,3
ssq(total)=ssq(within)+ssq(between)=775,3 η²=ssq(between)/ssq(total)=0,8555
→ Fehlerreduktion um 85,55%
58. a) ssq(between)=Σniўi²-nў²=3116,667
ssq(within)=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²=4716
ssq(total)=ssq(between)+ssq(within)=7832,667
Determinationskoeffizient 1. Art η²=ssq(between)/ssq(total)=0,3979
b) Regel(OHNE): ў=23,67
Regel(MIT): ў1=15 ў2=30 ў3=25
c) Fehler(OHNE)=ssq(total)=7832,667
Fehler(MIT)=ssq(within)=4716
ssq(between)*df2
d) TW=F(df1,df2)=
/ssq(within)*df1=24,173
e) df1=I-1=2
df2=n-I=72
KB>3,13
f) H0 wird abgelehnt!
53. a) H0: alle x sind gleich
Ha: H0 ist falsch.
F=6,15
F im KB → H0 wird abgelehnt!
b) F-Verteilung
TW=F(df1,df2)=η²*df2/(1-η²)*df1
KB rechtsseitig
α=0,05
df1=I-1=3
df2=n-I=8 Tab. F
KB>4,07
c) ў1=55
ў2=45
ў3=25
ў4=75
ў=50
Σn
ў
²-nў²
i
i
η²=
/ΣΣyij²-nў²=0,6977
→ Mit x reduziert sich der Fehler um 69,77%
d) Fehler(Ohne x)=ssq(total)=ΣΣyij²-nў²=5590
e)
Variationsquelle SSQ df MSQ
Buslinie
3900 3 1300
Fehler
1690 8 211,25
Total
5590 11 508,18
Übungsblatt 12
von Paul Illg
1. Bei fünf Personen wird untersucht, wie viele Zigaretten sie am Tag rauchen und
wie viel Stunden Sport sie in der Woche treiben. Die Ergebnisse:
Person
1
2
3
4
5
Zigaretten
0
0
5
10
40
Sport
0
1
1
4
0
a) Erstelle die Regressionsgerade y = a + bx für den Zusammenhang
zwischen Zigarettenkonsum und Sport.
b) Sind die Regressionskoeffizienten a und b signifikant ?
c) Erstelle 95 %-Konfidenzintervalle für a und b.
2. Der Computerausdruck einer Regressionsanalyse weist folgende Werte aus: Cov(X,Y) = 6, (Var(X)) = 2, (Var(Y)) = 10. Ferner ist
bekannt, dass beim t-Test für die Regressionskoeffizienten jeweils 198 Freiheitsgrade festgestellt werden können.
a) Wie groß ist n ?
b) Berechne die Korrelation.
c) Ist diese Korrelation signifikant ?
d) Berechne die obere und die untere Grenze eines 95 %-Konfidenzintervalls für
die Korrelation.
e) Berechne die obere und die untere Grenze eines 99 %-Konfidenzintervalls für
die Korrelation.
3. Es soll untersucht werden, ob bzw. in welchem Maße der Zeitschriftenkonsum von
der Altersgruppe abhängt. Dafür wurden 100 Menschen verschiedener Altersgruppe
befragt, ob sie eine Zeitschriftabonniert haben oder nicht. Hier sind die x-bedingten
Anteile:
Ja
Nein
Randhäufigkeit
Kinder und Jugendliche
0,2
0,8
0,2
Junge Erwachsene
0,6
0,4
0,4
„bestes Alter“
0,3
0,7
0,4
Teste mit alpha = 0,05 die Alternativhypothese: Zeitschriftenkonsum und Lebensalter
sind nicht unabhängig:
a) Berechne die gemeinsamen Anteile.
b) Welcher Anteil aller Befragten hat eine Zeitschrift abonniert?
c) Berechne aus den Randanteilen die gemeinsamen Anteile, die man erwarten
würde, wenn
man Unabhängigkeit annimmt.
d) Teststatistik?
e) Verteilung unter H0?
f) Kritischer Bereich?
g) Testwert? H0 verworfen?
Lösungen
1. a)
I
x
y
x²
y² xy
1
0
0
0
0
0
2
0
1
0
1
0
3
5
1
25
1
5
4 10
4
100 16 40
5 40
0 1600 0
0
Σ 55
6 1725 18 45
n=5 x=11 ў=1,2 Var(x)=280 Var(y)=2,7 Cov(xy)=-5,25
b=-0,01875 a=1,40625
y=1,40625-0,01875x
b) H0: α=β=0
Ha: α≠0≠β s=√((n-1/n-2)(Var(y)-Cov²(xy)/Var(x)))=1,8624
b-TW=β-µ0/se/√((n-1)Var(x))=-0,3369 df=3
KB : ±3,18
a-TW=α-µ0/se*√(1/n+xarith.²/(n-1)*sx²)=1,36
→ α & β sind nicht signifikant!
c) df=3
β±t>0,95<(df)se/√(n-1)sx²=[-0,1957 ; 0,1582]
α±t>0,95<(df)se*(√(1/n+xarith.²/(n-1)*sx²))=[-1,8807 ; 4,6932]
2. a) n=df+2=200
b) rxy=Cov(xy)/√(Var(x)Var(y))=0,3
c) H0: ρ=0
Ha: ρ≠0
Stf(ρ)=0,07125
z(r)=0,31
z(r)-z(ρ)
TW=
/Stf(ρ)=4,35
→ Ja, r ist signifikant!
-1
d) KI: z (z(r)±z>0,95<√(1/n-3))=[0,167 ; 0,42]
e) KI: z-1(z(r)±z>0,99<√(1/n-3))=[0,125 ; 0,456]
3. a)
Kinder
Erwachsene
Alte
Ja
0,04
0,24
0,12
0,4
Nein
0,16
0,16
0,28
0,6
0,2
0,4
0,4
Ja
0,08
0,16
0,16
0,4
Nein
0,12
0,24
0,24
0,6
0,2
0,4
0,4
b) 0,4
c)
Kinder
Erwachsene
Alte
d) Pχ²
e) χ²-Verteilung
f) df=(I-1)*(J-1)=2
KB>5,99
g) TW=Pχ²=n(ΣΣ(pij²/лij)-1)=11,667
→ H0 wird abgelehnt!
Übungsblatt 13 - Aufgaben
1.
Untersucht wird, ob Kochkenntnisse einen Einfluss auf Mensaessen haben.
isst in der Mensa
kann sehr gut kochen
2
kann zur Not schon kochen 6
kann
überhaupt
nicht 10
kochen
isst nicht
Mensa
8
4
0
in
der
a) Erstelle eine Tabelle mit gemeinsamen Anteilen und Randanteilen.
b) Erstelle eine Tabelle mit zeilenbedingten Anteilen.
c) Erstelle eine Tabelle mit spaltenbedingten Anteilen.
d) Wie sähe die Tabelle der gemeinsamen Anteile aus, wenn zwischen
Kochkenntnissen und Mensaessen kein Einfluss bestünde ? (= Tabelle unter
Unabhängigkeit)
e) Führe einen ²-Test durch. (Stelle speziell fest: ²-Wert ? Anzahl df ? Kritischer
Bereich ? Wie lautet bei einem bivariaten ²-Test die Nullhypothese ?)
f) Erstelle ein strukturiertes Staffeldiagramm.
g) Berechne Phi-Quadrat und Cramers v.
h) Gib für jedes der drei PRE-Maße (lambda, tau und PRU) den Fehler(ohne) und
den Fehler(mit) an.
Berechne daraus auch jeweils das PRE-Maß selbst.
Originalaufgabe aus der Nachklausur „Statistik II für Soziologen“ WS 1989/90
2. Bei einer Stichprobe erhielt man folgende Häufigkeitsverteilung für die beiden
Merkmale: Geschlecht und Einkommen:
Einkommen
DM/Woche
100
200
Geschlecht m 10
20
w 30
20
in
300
30
10
Teste die Hypothese: Die beiden Merkmale sind unabhängig.
a) Testwert =
Name des Werts:
Freiheitsgrade =
b) Kritischer Wert =
H0 ablehnen ?
Prüfe zusätzlich die Hypothese, dass die Frauen im Durchschnitt gleich viel
verdienen wie die Männer. (Alternative: Männer verdienen im Schnitt mehr).
(Zusatzbemerkung: Es liegt Homoskedastizität vor.)
c) Testwert =
Name des Werts:
d) Kritischer Wert =
H0 ablehnen ?
Übungsblatt 1 - Lösungen
Tutorium bei Niklas
1. a)
Mensa nicht Mensa
kocht
1/15
4/15
0,33
kocht eher 3/15
2/15
0,33
kocht nicht
1/3
0
0,33
0,6
0,4
1
b)
Mensa nicht Mensa
kocht
0,2
0,8
1
kocht eher
0,6
0,4
1
kocht nicht
1
0
1
0,6
0,4
1
c)
Mensa nicht Mensa
kocht
0,11
0,66
0,33
kocht eher
0,33
0,33
0,33
kocht nicht
0,55
0
0,33
1
1
1
d)
Mensa nicht Mensa
kocht
0,2
0,13
0,33
kocht eher
0,2
0,13
0,33
kocht nicht
0,2
0,13
0,33
0,6
0,4
1
e) H0: лij=лi∙*л∙j
Ha: лij≠лi∙*л∙j df=(I-1)*(J-1)=2
TW=Pχ²=n(ΣΣ(pij²/лij)-1)=13,3
KB>5,99
→ H0 wird abgelehnt!
g) φ²= Pχ²/n=0,44 K=min(I,J)-1=1
υ= √(φ²/K)=0,66
h) λ: F(M)=1-max(pij)=0,2
F(O)=1-max(p∙j)=0,4
λ=1-F(M)/F(O)=0,5
τ: F(M)=Σpi∙*(1-Σpīj²)=0,264
F(O)=1-Σp∙j²=0,48
τ=1-F(M)/F(O)=0,45
PRU: F(M)=Σpi∙*(-Σpījlnpīj)=0,3871
F(O)=-Σp∙jlnp∙j=0,673
PRU=0,425
2. a) TW=Pχ²=n(ΣΣ(pij²/лij)-1)=20
df=(I-1)*(J-1)=2
b) KB>5,99 → H0 wird abgelehnt!
c) s1²=1/n-1(Σxi²-nxarith.²)=5650=s2²
spool²=(n1-1)s1²+(n2-1)s2²/n1+n2-2=75,16
s=ў1-ў2=spool*√(1/n1+1/n2)=13,72
TW=t(df) für unverbundene Stichproben=(ў1-ў2)-µ0/s=ў1-ў2=4,68
d) KB>1,66 → H0 wird abgelehnt!