LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2015/2016 Hausaufgaben zu: Komplexe Zahlen 1) Zeige: Für alle komplexen Zahlen z und w gilt 2 a) z w z w ; b) z w z w ; c) z z z ; d) z w z w . Hinweis: Setze z a b i und w c d i . Berechne zunächst die linke Seite der Gleichung und anschließend die rechte Seite. 2) Gegeben ist die komplexe Zahl z1 2 2 i . Berechne die Zahlen z2 z1 i , z3 z2 i und z4 z3 i und stelle alle Zahlen in der komplexen Zahlenebene dar. 3) Gegeben ist die komplexe Zahl b) z 1 i . a) z 1 i ; Berechne die Potenzen z 2 , z 3 und z 4 und stelle alle Zahlen in der komplexen Zahlenebene dar. 4) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 b): n Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n z . 5) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 d): n Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n z . 6) Berechne. 4 5i a) 6 8i b) 4 5i 6 8i c) 4 5i 6 8i d) 4 5i 6 8i 7) Gegeben sind die Zahlen z 4 3 i und w 6 8 i . Bestimme die Polarform von z und von w. Berechne z w und bestimme die Polarform von z w . 8) Wie entsteht z i (als Punkt in der komplexen Zahlenebene) aus z? Begründe. Gib ein Beispiel an und zeichne. 9) Berechne 6 8 i auf zwei verschiedene Arten. 3 10) Berechne die beiden Quadratwurzeln der Zahl. a) i b) 5 12 i c) 5 12 i 11) Berechne eine dritte Wurzel der Zahl. a) i b) 2 11i c) 2 11i 12) Bestimme alle dritten Wurzeln der Zahl. a) 8 b) 8 Stelle jeweils alle Wurzeln in der komplexen Zahlenebene dar. 13) Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung. a) x3 24 x 72 0 b) x3 24 x 32 0 3a_auf_komplexezahlen 1/2 LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2015/2016 Standardaufgabe: Berechne eine n-te Wurzel w einer komplexen Zahl z a b i . Lösung: 1. Berechne z a 2 b 2 . 2. Berechne tan arg z b a arg z Achtung: Im Fall a 0 und b 0 muss man 180° zum GTR-Ergebnis addieren, und im Fall a 0 und b 0 muss man 180° vom GTR-Ergebnis subtrahieren! arg z arg z 3. Berechne Re w n z cos und Im w n z sin . n n Standardaufgabe: Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung x3 px q 0 . Lösung: 3 2 p q 1. Berechne D . 3 2 2. Fall D 0 : Berechne x 3 q q D3 D. 2 2 Fall D 0 : 3. Berechne z q D mit 2 D 4. Berechne den Realteil Re w 5. Berechne x 2 Re w . 3a_auf_komplexezahlen 3 D i. arg z z cos einer dritten Wurzel w von z. 3 2/2