Üben8C

1. Eine 27m lange Rakete erscheint unter einem Sehwinkel von 2,78°, der
Höhenwinkel bis zu ihrem unteren Ende beträgt 46,06°.
(a) Fertige eine Skizze an und berechne wie hoch die Rakete über der Erde
und wie weit der Beobachter von ihr entfernt ist?
(b) Definiere „Sinus“, „Cosinus“ und „Tangens“ anhand eines Einheitskreises.
Welchen Wert hat der Tangens eines Winkels β aus dem 4. Quadranten,
wenn cos β = 0,4226 gilt? Berechne das Bogenmaß des Winkels β.
2. Eine Funktion 2. Grades hat den Scheitel S(0/6) und geht durch den Punkt
A(3/4,5).
(a) Zeige, dass die Funktionsgleichung f(x) = 
1 2
x  6 lautet.
6
(b) Das oberhalb der x-Achse liegende Segment rotiert um die y-Achse.
Diesem Körper wird ein Drehkegel mit maximalem Volumen so
eingeschrieben, sodass seine Spitze im Ursprung liegt. Berechne die Höhe
und den Radius des Kegels.
(c) Beschreibe das mathematische Verfahren, das du in (b) angewendet hast.
Was bedeuten die 1. und die 2. Ableitung einer Funktion?
2
  
3. Gegeben sind die Geraden g: [A(-1/1/1), g    1 ] und h: [B(0/3/3); C(2/2/5)].
2
 
(a) Ermittle die Gleichung einer Ebene E, die von g und h gebildet wird.
Gib Parameter- und Normalform an.
(b) Vom Punkt S (11/5/4) wird das Lot auf die Ebene E gefällt, es trifft die Ebene im Punkt F.
Berechne die Koordinaten von F.
(c) Definiere die Begriffe „Einheitsvektor“ und „Skalarprodukt“.
4. Ein Geschäft veranstaltet ein Gewinnspiel:
In einer Urne befinden sich 3 rote und 7 weiße Kugeln.
(a) Jemand zieht 2 mal ohne zurücklegen.
Stelle das Spiel in einem Baumdiagramm dar und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
er 2 gleichfarbige Kugeln zieht.
(b) Jemand zieht 3 mal mit Zurücklegen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 rote Kugeln zieht?
(c) Jemand zieht 1500 mal eine Kugel.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 460mal eine rote Kugel zieht?
Welcher Verteilung liegt dieses Beispiel zugrunde?
Beschreibe diese in Eigenschaften und Anwendung.
(d) Jemand zieht so lange ohne Zurücklegen, bis er das erste mal eine weiße Kugel zieht.
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Zufallsexperiments an und berechne den
Erwartungswert.
5. Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-8/2); B(-3/7); C(0/-2)].
a) Ermittle die Kreisgleichung des Umkreises des Dreiecks ABC!
(Zwischenlösung: M(-3/2))
b) Ermittle die Hauptform der zur Geraden g: 4x – 3y = 25 parallelen Tangenten an den Kreis k
und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an.
6. Von einem Deltoid ABCD mit der Symmetriediagonalen AC kennt man
A(-5/2), B(3/-4) und C(7/-2)
(a) Bestimme die Koordinaten von D. Welcher Punkt der Strecke BC hat von B
den Abstand 2?
(b) Berechne den Flächeninhalt des Deltoids, indem du es in zwei Dreiecke
teilst und die Flächeninhalte über die trigonometrischen Formel
für Flächeninhalte berechnest.
7. Die nebenstehende abgebildete „Schlangenlinie“ entsteht durch fortlaufendes, endloses
Aneinanderfügen von Halbquadraten, wobei die Seitenlänge der Quadrate bei jedem
Schritt um 40% abnimmt.
Die Seitenlänge des ersten Quadrats beträgt 8 cm.
(a) Wie lang ist die Schlangenlinie?
(b) Die Linie nähert sich unbegrenzt dem Punkt E.
Wie weit ist E von A entfernt?
(c) Um welche Folgenart handelt es sich in diesem Beispiel?
Wie groß ist die Seitenlänge des 10. Quadrats?
Wie lang ist die Schlangenlinie mit Ende des 10. Quadrats?
(Skizze Buch 6. Klasse, S. 145)
8. Herr Moser hat die letzten 10 Jahre jährlich 7000€ gespart (p=2,1%, KEST unberücksichtigt).
Nun möchte er sich eine Wohnung um 180000€ anschaffen.
Für den Restwert möchte er einen Kredit mit Laufdauer von 10 Jahren aufnehmen, den ihm
die Bank mit einem Zinssatz von 7,4% gewährt. Welche Jahresraten muss Herr Moser
leisten, wenn er in 2 Jahren mit der Rückzahlung beginnt?
9. Die Funktion f(x) = x  e
kx
hat bei x = 2 einen Extremwert.
(a) Bestimme die Gleichung der Funktion und berechne alle Nullstellen,
Extremwerte und Wendepunkte.
(b) Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x) im Ursprung.
10. Einer Halbkugel mit R=12cm wird ein Drehkegel so eingeschrieben, dass seine Spitze
im Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel liegt.
Wie sind Höhe und Radius des Zylinders zu wählen, dass seine Oberfläche maximal wird?
11. Gegeben ist die Funktion f(x)=(9-2x). x .
(a) Berechne Null- und Extremwerte.
(b) Berechne die Fläche, die die Kurve zwischen Ursprung und Nullstelle
mit der x-Achse einschließt.
12. Von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche kennt man folgende
Bestimmungsstücke: das Grundflächenquadrat besitzt die Eckpunkte A(7/2/13) und
B(-5/-1/10) sowie den Schnittpunkt F(3/-2/6) seiner Diagonalen; die Höhe h der
Pyramide beträgt 9E.
(a) Bestimme die Koordinaten aller Eckpunkte der Pyramide und ziehe dabei alle
möglichen Lösungen in betracht.
(b) Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
13. Gegeben ist die Funktion f(x) =2+0,25x2.
(a) Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0;4] festgelegten Fläche durch
Ober- und Untersummen ab, wobei das Intervall in 8 gleich lange
Teilintervalle zerlegt wird.
(b) Berechne den Inhalt dieser Fläche exakt mit Hilfe des Integrals.
(c) In wie viele Teilintervalle müsste man das Intervall [0;4] zerlegen, damit
die Differenz zwischen Unter- und Obersumme kleiner als 0,01 wird?
14. Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschussanteil von 3%.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 20 Stück
i)
ii)
iii)
genau 3 Stück Ausschuss
höchstens 2 Stück Ausschuss
höchstens 18 Stück Ausschuss sind?
(b) Wie viel Stück Ausschuss muss man unter 20 Stück erwarten und wie hoch
ist die Streuung um diesen Wert?
(c) Es werden 10000 Werkstücke kontrolliert.
Wie viele Ausschussstücke muss man mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% mindestens
erwarten?
Gib ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert an, in dem die Anzahl an
Ausschussstücken mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 70% liegt.
(d) Jemand vermutet, dass die Maschine mehr Ausschuss produziert.
Wie viel Ausschussstücke muss man unter 10000 mindestens finden, damit man die
Nullhypothese mit einer Signifikanz von 4% verwerfen darf?
15. In einer Kommune leben 2000 Menschen. Es wird ein Grippevirus eingeschleppt und die
Anzahl der Bewohner, die sich nach t Tagen angesteckt haben sei gegeben durch:
K  N (0)  a t
N(t) =
N (0)  a t  K  N (0) 
(a) Nach 5 Tagen haben sich 150 Menschen angesteckt, nach 10 Tagen sind es 380.
Berechne a!
(b) Wie viele Menschen haben den Virus eingeschleppt?
(c) Wann haben sich 70% der Bevölkerung angesteckt?
(d) Angenommen, der Virus verbreitet sich nach N  N 0  a , wann haben sich dann 70%
n
angesteckt?
16. Der Graph der Funktion f(x) =
x
xa
2
a

2
hat die Definitionsmenge D={-2; 2}.
Ermittle den Funktionsterm von f(x), die Nullstellen und Wendepunkte von f(x).
17. In einen Behälter der Form einer quadratischen Pyramide (deren Spitze in den Boden ragt)
von der Grundkantenlänge 6 m und der Tiefe 12 m fließt Regenwasser mit der konstanten
Geschwindigkeit von 90 l pro Minute.
a) Stelle eine Formel auf, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) zuordnet.
b) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 8 m hoch steht?