Parameterfreie Verfahren – Übungsaufgaben zu
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Parameterfreie Verfahren – Übungsaufgaben zu: Kendall’s S, Vorzeichentest, Vorzeichenrangtest, Wilcoxons Rangsummenfahren Claudius Wagemann, Juli 2001 Am 11.7.2001 finden zwei Übungsstunden statt: Von 12 – 14 Uhr in R 513, und von 16 – 18 Uhr in R 512. Für die Übungsstunde von 16 – 18 Uhr sind die folgenden Aufgaben vorzubereiten. Ich werde sie teilweise vorrechnen, bzw. für ähnliche Aufgaben die Ergebnisse anschreiben. Es wäre ganz gut, wenn sich jeder vorher schon mit den Aufgaben beschäftigt hätte. Wenn nichts anderes angegeben ist, ist bei allen Tests ein Signifikanzniveau von 0,05 zu verwenden. A. Aufgaben zu Kendall’s S 1. a) b) c) d) e) f) g) Es werden folgende Meßwertpaare erhoben: (1,3), (4,9), (2,4), (5,6), (3,5), (7,7), (9,11). Berechne Kendalls S und Kendalls . Berechne Goodman-Kruskals . Gib mithilfe der Tabelle an, wie groß der kritische Bereich bei einem linksseitigen, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test ist. Entscheide mithilfe der Tabelle, ob für die obigen Meßwertpaare ein signifikanter Zusammenhang besteht (linksseitig, rechtsseitig bzw. zweiseitig). Gib Erwartungswert und Varianz unter Geltung der Nullhypothese an. Wie groß ist der kritische Bereich bei einem linksseitigen, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test, wenn Kendalls S durch eine Normalverteilung approximiert wird ? Entscheide mithilfe dieser Normalverteilungsapproximation, ob für die obigen Meßwertpaare ein signifikanter Zusammenhang besteht (linksseitig, rechtsseitig bzw. zweiseitig). 2. a) b) c) d) Gegeben seien die Meßwerte (3,1), (4,1), (5,1), (6,2), (8,2) und (9,3). Berechne Kendalls S und Kendalls . Berechne Goodman-Kruskals . Gib Erwartungswert und Varianz unter Geltung der Nullhypothese an. Wie groß ist der kritische Bereich bei einem linksseitigen, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test, wenn Kendalls S durch eine Normalverteilung approximiert wird ? e) Entscheide mithilfe dieser Normalverteilungsapproximation, ob für die obigen Meßwertpaare ein signifikanter Zusammenhang besteht (linksseitig, rechtsseitig bzw. zweiseitig). 3. a) b) c) d) e) f) g) h) i) Gegeben seien die Meßwertpaare (1,1), (1,2), (1,3) und (2,3). Berechne Kendalls S und Kendalls . Berechne Goodman-Kruskals . Erstelle die Verteilung unter Geltung der Nullhypothese. Wie groß ist bei dieser Verteilung der kritische Bereich bei einem linksseitig, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test, wenn als Signifikanzniveau 0,01 angegeben wird ? Teste mithilfe dieser selbstgefundenen Verteilung, ob obige Meßwertpaare einen Zusammenhang zwischen x und y aufweisen (linksseitig, rechtsseitig, zweiseitig). Welches ist das kleinstmögliche Signifikanzniveau, auf dem bei dieser Verteilungskonstellation die Nullhypothese im Rahmen eines zweiseitigen Tests verworfen werden könnte ? Gib Erwartungswert und Varianz unter Geltung der Nullhypothese an. Wie groß ist der kritische Bereich bei einem linksseitigen, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test, wenn Kendalls S durch eine Normalverteilung approximiert wird ? Entscheide mithilfe dieser Normalverteilungsapproximation, ob für die obigen Meßwertpaare ein signifikanter Zusammenhang besteht (linksseitig, rechtsseitig bzw. zweiseitig). 4. Gegeben seien die folgenden Meßwertpaare: (1000, 1000), (1000, 1005), (1005, 1005). a) Erstelle die Verteilung unter Geltung der Nullhypothese. b) Teste mithilfe dieser selbstgefundenen Verteilung, ob obige Meßwertpaare einen Zusammenhang zwischen x und y aufweisen (linksseitig, rechtsseitig, zweiseitig). c) Welches ist das kleinstmögliche Signifikanzniveau, auf dem bei dieser Verteilungskonstellation die Nullhypothese im Rahmen eines linksseitigen Tests verworfen werden könnte ? d) Gib Erwartungswert und Varianz unter Geltung der Nullhypothese an. e) Wie groß ist der kritische Bereich bei einem linksseitigen, rechtsseitigen bzw. zweiseitigen Test, wenn Kendalls S durch eine Normalverteilung approximiert wird ? f) Entscheide mithilfe dieser Normalverteilungsapproximation, ob für die obigen Meßwertpaare ein signifikanter Zusammenhang besteht (linksseitig, rechtsseitig bzw. zweiseitig). B. Vorzeichentest, Vorzeichenrangtest 5. Es soll untersucht werden, ob durch eine Therapie eine Verhaltensänderung erreicht werden kann. Die Nullhypothese lautet: Es kann keine Veränderung erreicht werden. Alternativ: Es kann eine Veränderung erreicht werden. Gegeben seien folgende Verhaltenswerte: Person vor der Therapie nach der Therapie 1 10 20 2 11 22 3 14 16 4 12 11 5 15 19 6 13 18 7 16 19 a) Führe mithilfe der Tabelle einen Vorzeichentest für die oben angegebenen Hypothesen durch und gib den kritischen Bereich an. b) Führe mithilfe der Tabelle einen Vorzeichenrangtest für die oben angegebenen Hypothesen durch und gib den kritischen Bereich an. c) Führe mithilfe einer Normalverteilungsapproximation einen Vorzeichentest für die oben angegebene Hypothese durch und gib den kritischen Bereich an. d) Führe mithilfe einer Normalverteilungsapproximation einen Vorzeichenrangtest für die oben angegebene Hypothese durch und gib den kritischen Bereich an. 6. Universitätsausbildung hat einen Einfluß auf den Intelligenzquotienten. Die Nullhypothese lautet: Der IQ ist vor und nach dem Studium gleich groß. Alternativ: Er nimmt zu. Gegeben sind folgende IQ-Werte: Person vor Studium nach Studium 1 100 105 2 110 115 3 110 108 a) Führe mithilfe der Tabelle einen Vorzeichentest für die oben angegebenen Hypothesen durch. b) Warum kann der Vorzeichenrangtest nicht mit Tabelle durchgeführt werden ? c) Erstelle eine exakte Verteilung für die Teststatistik des Vorzeichenrangtests für die gegebene tieKonstellation. d) Welches ist bei dieser Verteilung das kleinstmögliche Signifikanzniveau, das bei obiger Null- bzw. Alternativhypothese bedient werden könnte ? e) Gib den kritischen Bereich eines durch Normalverteilung approximierten Vorzeichenrangstests für alle denkbaren Alternativhypothesen an. C. Wilcoxons Rangsummenverfahren 7. Es werden Angstwerte (Skala von 0 bis 10) in einer Experimental- und einer Kontrollgruppe erhoben. Experimentalgruppe: 6 7 9 Kontrollgruppe: 1 3 4 8 a) Warum wird der entsprechende Test als unabhängiger Zweistichprobentest bezeichnet ? b) Führe mithilfe der Tabelle einen Wilcoxon-Rangsummentest für linksseitige, rechtsseitige und zweiseitige Fragestellung (mit Formulierung der jeweiligen Alternativhypothese) durch, gib jeweils den kritischen Bereich an und entscheide jeweils für die vorliegenden Daten, ob die Nullhypothese, wonach kein Unterschied zwischen Experimental- und Kontrollgruppe vorliegt, verworfen werden muß oder nicht. c) Führe einen zweiseitigen Test mithilfe der Normalverteilungsapproximation durch und gib den kritischen Bereich an. 8. An zwei Universitäten werden Intelligenzquotienten der Studenten erhoben. Es ergeben sich die folgenden Ergebnisse: Universität 1: 100 110 110 Universität 2: 100 110 120 125 Nullhypothese sei, es bestehe kein Unterschied zwischen den Universitäten. a) Berechne die Rangsumme (R) für Universität 1. b) Teste die obigen Daten hinsichtlich der Alternativhypothese, der IQ an Universität 2 sei höher als an Universität 1, mithilfe einer Normalverteilungsapproximation. D. Vermischte Aufgaben (aus alten Klausuren) 9. [Klausur 1995, ca. 18 Minuten] Für 6 Personen werde die Angst vor kriminellen Übergriffen (= Kangst) und auch ihre Muskelkraft (MKraft) gemessen. Es soll der Zusammenhang zwischen Kangst und MKraft mithilfe von Kendalls tau bestimmt werden. Die Datenpaare sind: (20, 45), (25, 30), (40, 40), (10, 50), (12, 42), (17, 32). Das Signifikanzniveau sei 5 %. a) Berechnen Sie tau und S. b) Bestimmen Sie den kritischen Bereich (ein- und zweiseitig), mit Tabelle c) Wird die Nullhypothese verworfen ? d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Teststatistik unter Geltung der Nullhypothese. e) Bestimmen Sie den kritischen Bereich (approximativ mithilfe der Normalverteilung, = 5 %) f) Wird die Nullhypothese verworfen ? 10. [Klausur 1996] In einer Untersuchung wurde bei 6 Personen die soziale Isolierung (=SI) gemessen. Drei Personen haben jüngere Geschwister (J-Gruppe), die anderen haben keine jüngeren Geschwister (K-Gruppe). Die Alternativhypothese sei: die Personen der J-Gruppe sind sozial kompetenter. Daten der J-Gruppe: 127 150 130, Daten der K-Gruppe: 100 129 120. a) Zur Überprüfung der Nullhypothese berechnen Sie bitte die entsprechende Teststatistik. b) Wie heißt dieser Test ? c) Wird die Nullhypothese (bei 5 %) verworfen ? (mit Begründung) 11. [Klausur 1996] Die Wirkung einer Therapie auf soziale Kompetenz (= SK) soll untersucht werden. Es wurde bei 5 Personen die SK vor und nach der Therapie gemessen. Die Messpaare sind: (116, 117), (120, 125), (120, 126), (110, 103), (116, 124). Bringt die Therapie eine Verbesserung ? a) Zur Überprüfung der Nullhypothese berechnen Sie bitte die für den Vorzeichenrangtest erforderliche Teststatistik. b) Wird die Nullhypothese (bei 5 %) verworfen ? (mit Begründung) c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Teststatistik unter Geltung der Nullhypothese. 12. [Nachklausur 1998, ca. 15 Minuten] Personen werden nach dem Stundenlohn (in DM) befragt. Laut Nullhypothese (H0) verdienen Personen aus der Unterschicht gleich viel wie Personen aus der Mittelschicht. Alternative: Mittelschichtler verdienen weniger. Die DM-Werte: Unterschicht: 31 30 40, Mittelschicht: 35 36 37 38. a) Zur Überprüfung von H0 berechnen Sie bitte Mann-Whitneys U und Wilcoxons Rangsummen. b) Testen Sie die Nullhypothese (exakt mit Tabelle). Wird die Nullhypothese verworfen ? Warum ? c) Testen Sie die Nullhypothese (approximativ). Wird die Nullhypothese verworfen ? Warum ? 13. [Nachklausur 1998, ca. 15 Minuten] Es soll der Zusammenhang zwischen Schicht und Stundenplan bestimmt werden. Für folgende Auswahl von Datenpaaren: (1, 30), (1, 30), (1, 25), (2, 34), (2, 36), (3, 80) a) Berechnen Sie Kendalls S. b) Berechnen Sie Goodman-Kruskals . c) Varianz der Testverteilung unter Geltung der Nullhypothese ? d) Wird bei den gegebenen Daten die Nullhypothese (zweiseitig) verworfen ? (approximativ, mit Begründung) 14. [Nachklausur 1998, ca. 15 Minuten] Kendalls S: Erzeugen Sie Test-Verteilungen unter Geltung der Nullhypothese für folgende 4 Datenpaare: (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) a) Verteilung b) Erwartungswert und Varianz Parameterfreie Verfahren – Übungsaufgaben zu Rangtests für mehrere Gruppen Claudius Wagemann, Juli 2001 vorzubereiten für Montag, den 16.7.2001, Übungsstunde von 12 – 14 Uhr Wenn nichts anderes angegeben ist, ist bei allen Tests ein Signifikanzniveau von 0,05 zu verwenden. 1. Zufriedenheit wird auf einer Skala von 0 bis 10 gemessen. Für einzelne Studenten wird erhoben, wie viele Klausuren sie schreiben müssen, und wie sich das auf die Zufriedenheit auswirkt. Es ergeben sich folgende Ergebnisse: Gruppe 1: Viele Klausuren: 0 0 7 Gruppe 2: Wenig Klausuren: 4 6 7 Gruppe 3: Keine Klausuren: 7 10 Überprüfe folgende Hypothesen mithilfe geeigneter Tests: a) Die Zufriedenheit in der 2.Gruppe ist gleich groß wie die in der 3.Gruppe. b) Der Unterschied in den Zufriedenheitswerten ist zwischen der 1. und 2.Gruppe genauso groß wie zwischen der 2. und 3.Gruppe. c) Es ist keine lineare Beziehung zwischen den Gruppen vorhanden. d) In allen Gruppen sind die Zufriedenheitswerte gleich. 2. [Nachklausur 1999] Personen wurden nach dem Stundenlohn (in DM) befragt. Es soll untersucht werden, wie stark die Stundenlöhne nach Alter variieren. Drei Altersgruppen seien gegeben: A (20jährige), B (40jährige), C (60jährige). Die DM-Werte für die Gruppen sind: A: 15, 20, 25. B: 20, 25, 30. C: 21, 26, 30. Prüfe folgende Kontrasthypothesen (nur approximativ, aber mit Begründung (z-Wert und kritischen Bereich angeben)): a) Der Lohnunterschied zwischen C und B ist gleich groß wie zwischen B und A. b) Die lineare Zunahme (von A über B nach C) ist null. 3. [Probeklausur 1997] In einer Untersuchung zur Sozialen Isolierung (SI) wurde SI bei drei Gruppen (4 junge, 4 mittelalterliche und 4 alte Menschen) gemessen. Die Messwerte sind: Junge: 100, 120, 130, 140 Mittelalterliche: 90, 100, 120, 130 Alte: 60, 70, 80, 90. a) Prüfen Sie die globale Nullhypothese: die drei Gruppen unterscheiden sich nicht bezüglich der SI-Lage (approximativ). Freiheitsgrade ? Teststatistik ? Name des Tests ? Testverteilung ? b) Wird die Nullhypothese bei dieser Approximation verworfen ? (mit Begründung) c) Prüfen Sie die Hypothese, dass keine lineare Beziehung vorhanden ist. (Teststatistik ? Testverteilung ?) Wird die Nullhypothese verworfen ? d) Prüfen Sie die Hypothese, dass der Unterschied zwischen den Jungen und den Mittelalterlichen gleich groß ist wie zwischen den Mittelalterlichen und den Alten (Teststatistik ? Testverteilung ?). 4. [Nachklausur 1998] 5 Personen bewerben sich nach drei verschiedenen Methoden auf Jobs. Es soll überprüft werden, ob die drei Methoden unterschiedlichen Erfolg bringen. Gemessen wird der angebotene Stundenlohn in DM. Die Nullhypothese soll nichtparametrisch geprüft werden. Personen: 1.Testdurchführung (Meth. 1): 2.Testdurchführung (Meth. 2): 3.Testdurchführung (Meth. 3): 1. 10 9 15 2. 20 21 15 3. 13 13 14 4. 30 31 39 5. 20 21 21 a) Prüfen Sie die Nullhypothese: die drei Methoden sind gleich erfolgreich. ((Approximativ). Freiheitsgrade ? Teststatistik ? Name des Tests ? Testverteilung ?) b) Wird die Nullhypothese verworfen ? (mit Begründung) c) Bezeichnung des Tests ?
