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Bernoulli – Kette III
Bernoulli-Kette mit unbekanntem p
1. Verkehrszählung (Abschlussprüfung 2001)
Bei umfangreichen Verkehrszählungen in einer Großstadt wurde der Anteil von LKWs an
vorbeifahrenden Fahrzeugen gemessen. Die Wahrscheinlichkeit dafür sei p.
Welchen Wert muss die Wahrscheinlichkeit haben, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,99 mindestens eines von 10 vorbeifahrenden Fahrzeugen ein LKW ist?
2. Eine Lieferung von Kleinteilen enthält einen unbekannten Anteil defekter Stücke. Wie groß
ist p, wenn bei einer Stichprobe der Länge 100 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%
mindestens eines der Bauteile defekt ist?
3. Fliesen (Abschlussprüfung 2000)
Aus einer großen Menge von Fliesen werden 2 ausgewählt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Farbfehlers bei einer Fließe, damit die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den beiden mindestens eine einen Farbfehler hat,
höchstens 0,0975 ist.
Bernoulli-Kette mit unbekanntem k
4. Allmächd der Bruce
Bruce würfelt gegen seinen Freund Bodo mit seinem Tetraederwürfel (p = 0,25).
Wenn Bruce eine 1 würfelt, dann hat er das Spiel verloren.
Bruce wirft seinen Würfel 100 mal.
a) Wie viele Einser sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% höchstens zu erwarten?
b) Wie viele Einser sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% höchstens zu erwarten?
c) Wie viele Einser sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens zu erwarten?
5. Traudl trau Dich
Traudl schießt mit ihrer Armbrust auf eine Zielscheibe. Einen Volltreffer erzielt sie mit
einer Wahrscheinlichkeit von 45%. Traudl schießt zweihundertmal.
Wie viele Treffer ins Schwarze sind mit einer Wahrscheinlichkeit von
a) 70% höchstens zu erwarten?
b) 90% höchstens zu erwarten?
c) 50% mindestens zu erwarten?
d) 99% mindestens zu erwarten?
6. Peggy und Pit
In einem Sack befinden sich 20 gleichartige Stiefletten. 10 sind khakifarben, 7 royalblau und drei
kittfarben. Peggy und Pit ziehen nacheinander vier Stiefletten (mit Zurücklegen) aus dem Sack.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
a) die erste Stieflette khakifarben,
b) genau eine Stieflette khakifarben,
c) höchstens eine Stieflette khakifarben, d) mindestens eine Stieflette khakifarben?
7. Eine gezinkte Münze zeigt in 70% aller Fälle Kopf. Dörte wirft die Münze 50-mal. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dabei:
a) mehr als 35 mal,
b) mindestens 40 mal,
c) beim dritten und vierten Wurf,
d) höchstens 25 mal,
e) weniger als 30 mal,
f) genau 35 mal Kopf fällt?
g) genau 37 mal Kopf fällt, davon 19 mal Kopf bei den ersten 25 Würfen.
8. Eine Behandlungsmethode führt in 60% alle Fälle zu guten Erfolgen ohne erkennbare
Nebenwirkungen für den Patienten, in 20% der Fälle treten jedoch schwere Nebenwirkungen auf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Behandlung von 100 Patienten
a) in mehr als der Hälfte der Fälle erfolgreich,
b) bei höchstens 20 Patienten mit schweren Nebenwirkungen,
c) bei weniger als 37 Patienten ohne erkennbare Wirkungen verläuft?
Lösungen
1.
1  (1  p )10  0,99
(1  p )10  0,01
(1  p )  10 0,01
p  0,369
2.
1  (1  p )100  0,9
(1  p )100  0,1
(1  p )  100 0,1
p  0,0227  2,3%
3.
1  B(2; p;0)  0,0975
1  (1  p) 2  0,0975
(1  p) 2  0,9025
1  p  0,95
0,05  p
4a)
4b)
4c)
24
30
20
5a)
5b)
5c)
5d)
93
98
90
74
6a)
b)
c)
d)
0,5
B(4;0,5;1) = 0,25
0,31250
0,93750
7 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
44,68%
7,89%
0,49
0,24%
4,78%
12,24%
B(25;0,7;19)  B(25; 07; 18) = 0,14717  0,17119 = 0,02519
8a)
b)
c)
97,29%
55,95%
99,99%