Über ENDLICH ГЕОМЕТРИЯХ Und die Schemas

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ÜBER ENDLICHE GEOMETRIEEN UND U-BAHN-NETZE
S.N. Bogdanov; Pädagogische Universität Samara
S. W. Dvorjaninov; Staatliche Universität Samara
S. Krauter; Pädagogische Hochschule Ludwigsburg.
Der Titel dieses Artikels mag bei manchen Lesern Fragen aufwerfen. Zunächst einmal
die Frage, ob es denn verschiedene Geometrien gibt. In allen Schulen dieser Welt gibt
es ein Schulfach Geometrie – immer in der Einzahl gebraucht und auch im täglichen
Leben kommt das Wort Geometrie nie in der Mehrzahl als „Geometrien“ vor. Wenngleich die Lehrbücher zu diesem Fach verschieden sind, so sind doch die behandelten
Gegenstände überall dieselben: Dreiecke, Kreise und andere Figuren.
Der Titel dieses Artikels deutet die Möglichkeit an, als ob es verschiedene Geometrien
gäbe und man zwischen ihnen wählen könne. Davon hat man im Schulunterricht nie
etwas erfahren, wenngleich in höheren Klassen der Name „Nichteuklidische Geometrie“
aufgetaucht sein könnte.
Eine zweite Frage mag aufkommen: Welche Verbindung gibt es zwischen Geometrie
und U-Bahn-Netzen? Dort steigt man in seinen Wagen und wartet, bis er das Ziel erreicht. Im Gegensatz zur Eisenbahnfahrt ist die dunkle Tunnelfahrt in der U-Bahn ja
reichlich uninteressant. Bei der Eisenbahn sieht man Flüsse, Landschaften, Häuser am
Fenster vorbeiziehen – in Wirklichkeit fährt jedoch der Zug daran vorüber. Die U-Bahn
zeigt nichts als kahle Tunnelwände, an denen man vorbeifährt. Außer dem Netzplan mit
den Linien und Stationen ist dort nichts zu sehen. Aber gerade der Netzplan ist unser
Anknüpfungspunkt für die Endliche Geometrie.
Zuerst richten wir das Augenmerk auf die verschiedenen Stationen oder Haltestellen.
Dann betrachten wir die verschiedenen U-Bahn-Linien, die im Netz häufig mit verschiedenen Farben dargestellt sind. Jede solche Linie nenne wir eine „Gerade“ – auch wenn
sie krumm oder geknickt verläuft – und jede Station, die an einer dieser „Geraden“ liegt,
nennen wir einen „Punkt“. Sicher verlaufen die U-Bahn-Linien unter der Erde nicht wirklich geradlinig, aber das ist für die Orientierung der Fahrgäste nicht wirklich von Bedeutung und deshalb reicht es aus, wenn man die U-Bahn-Linien als „Geraden“ und die
Stationen als „Punkte“ bezeichnet.
Welche Forderungen muss man nun an diese Punkte und Geraden stellen?
Forderung A1:
Zu jeder Gerade gehören mindestens zwei Punkte.
B
A
Abb. 1
Sicher ist diese Forderung vernünftig. In Abb. 1 ist ein U-Bahn-Netz dargestellt, bei dem
das ganze System aus einer einzigen Linie mit genau zwei Stationen besteht. Großstadtbewohner mögen angesichts dieses
sehr einfachen Netzes nachsichtig schmunzeln, aber es gibt durchaus auch solche einfachen Netze. Die Seilbahn vom Fuß zum
B
A
Gipfel eines Berges etwa ist ein Beispiel
dafür.
Abb. 2
Man kann nun die U-Bahn-Linie von Abb. 1 fortsetzen und an ihr weitere Stationen
2
bauen. So erhält man eine gerade Linie mit mehreren Stationen. Einen solchen Fall bezeichnen die Mathematiker als eine Gerade, auf der mehrere Punkte liegen.
Auch das spezielle Ringschema der Abb. 3 ist ein Sonderfall dieses allgemeinen Sachverhalts. Das Ringschema in Abb. 3 stellt eine spezielle Geometrie dar, die aus einer
Gerade mit fünf auf ihr liegenden Punkten besteht.
Wir werden nun interessantere U-Bahn-Netze kennenlernen,
bei denen außer A1 noch eine weitere neue Bedingung erfüllt ist:
Abb.3
Forderung A2:
Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf ein- und
derselben Gerade liegen.
Die minimale Menge von Punkten, die diese Forderung erfüllen, sind drei verschiedene Punkte. Das Schema der Abb.
4 zeigt ein solches Netz aus genau drei Punkten und genau
drei Geraden. Wir betonen besonders, dass es genau drei
Punkte sein müssen. Auf jeder der drei Geraden AB, BC
und CA liegen genau zwei Punkte. Außer diesen genannten
A
gibt es keine weiteren Punkte auf den Geraden. Wenn wir
die Abb. 4 als U-Bahn-Liniennetz interpretieren, dann wird
es besonders klar.
C
B
Abb. 4
Ein Fahrgast kann sich nicht irgendwo zwischen den Stationen A und B, B und C, C und
A aufhalten, sondern nur an den Stationen. Man darf z.B. nicht einen Treffpunkt zwischen A und B ausmachen. Also existiert ein solcher Punkt für die Fahrgäste nicht.
Das Schema der Abb. 5 enthält drei Geraden und 9 Punkte. Für dieses gelten die Bedingungen A1 und A2.
Woher haben wir unsere beiden Bedingungen A1 und A2 genommen? Sie sind nichts
anderes als die beiden ersten Axiome aus einem Schul-Lehrbuch [1].
Im Folgenden wollen wir zeigen, dass diese Axiome nicht nur in der uns vertrauten
Ebene mit unendlich vielen Punkten und Geraden gelten, sondern auch für Geometrien
mit nur endlich vielen Punkten und Geraden.
Abb.5
Das dritte Axiom lautet wie folgt:
Forderung A 3:
Durch zwei beliebige Punkte gibt es stets eine und nur eine einzige Gerade.
3
Natürlich ist dies eine theoretische Situation wie sie in der Mathematik vorliegt und in
der Regel nicht der Wirklichkeit entspricht. Aber gerade mit solchen idealen, abstrakten
Situationen arbeitet die Mathematik, auch wenn sie in der Realität nur annähernd oder
mit einzelnen Abweichungen vorkommen. So werden sich z. B. in jedem real gezeichneten regulären d. h. gleichseitigen Dreieck die drei Seitenlängen ein wenig voneinander unterscheiden, wenn auch nur äußerst minimal. Die Mathematik dagegen geht von
unbedingter Gleichseitigkeit aus. Genau so verhält es sich mit der Bedingung A3.
In der Ebene, die wir aus der Schulgeometrie kennen, ist die Forderung A3 erfüllt. Ob
sie jedoch für ein bestimmtes U-Bahn-Netz gilt, durch das wir eine endliche Geometrie
deuten, ist sicher nicht zu erwarten. Die Bewohner großer Städte träumen geradezu
davon, dass sie von jeder Station aus jede andere Station mit einer Linie ohne Umsteigen erreichen können. Genau das aber ist der Inhalt der dritten Forderung. Im täglichen
Leben eines U-Bahn-Netzes wird sie sicher nicht erfüllbar sein. Die Netze in Abb. 5 erfüllen die dritte Forderung nicht.
Im Folgenden werden wir voraussetzen, dass für unser U-Bahn-Netz die Forderung 3
erfüllt ist: Es gibt stets genau eine U-Bahn-Linie, die zwei verschiedene Stationen direkt
miteinander verbindet.
Wir wollen Beispiele für Geometrien untersuchen, bei denen alle drei Forderungen erfüllt sind. Der Fall für 3 Punkte ist in Abb. 4 dargestellt.
Abb.6
Abb.7
Abb.8
Gegeben seien nun vier Punkte (Stationen). In Abb. 6 gibt es eine Gerade mit drei
Punkten und drei Geraden mit je zwei Punkten. In Abb. 7 gibt es sechs Geraden und
auf jeder dieser sechs Geraden liegen exakt zwei Punkte. In diesen beiden Abbildungen
wird unsere Geometrie in der Ebene dargestellt. Aber man kann die Geometrie der Abb.
7 auch auf andere Weise durch ein Modell realisieren.
So sind in der Abb. 8 die Geraden als Seiten und Diagonalen eines Viereckes dargestellt, wobei aber der Kreuzung der Diagonalen kein Punkt aus unserer Geometrie entspricht. Man kann sich dies als U-Bahn-Linien vorstellen, die unter der Erde auf verschiedenen Tiefen aneinander vorbeilaufen, ohne dass dort eine Station liegt. In Abb. 9
ist eine der Geraden als Kurve dargestellt.
Abb.9
Abb.10
4
In Abb. 10 ist eine Geometrie mit sieben Punkten und sieben Geraden dargestellt, wobei auf jeder der sieben Geraden genau drei Punkte liegen. Drei der Geraden sind die
Seiten des regulären Dreiecks, drei weitere sind die Seitenhalbierenden des Dreiecks
und eine die Inkreislinie. Wir hoffen, dass wir niemanden verwirrt haben. Gerade erst
haben wir gesagt, dass eine Gerade auch als Kurve dargestellt werden kann und nun
wird eine Gerade eben von einem Kreis dargestellt. Man darf sich dadurch nicht verwirren lassen. Wir erinnern uns daran, dass in der Geometrie der Begriff des Punktes und
der Gerade Grundbegriffe sind, die keiner weiteren Erklärung bedürfen. Allein die in den
Axiomen beschriebenen Beziehungen untereinander sind maßgeblich für die betreffenden Begriffe. Wir erinnern an das bekannte russische Sprichwort: „Du kannst mich nennen wie du willst, sag meinetwegen ruhig „Topf“ zu mir, aber stell mich bitte nicht in den
Ofen!“ So kann man auch in der Geometrie beliebige Objekte „Punkte“ und „Geraden“
nennen, wenn sie nur die aufgezählten Bedingungen erfüllen. Wie sagte doch einst
Goethe: „Name ist Schall und Rauch.“
Es ist hier angebracht sich an das Wort von Henri Poincare zu erinnern, nach dem „Mathematik eine Kunst ist, die verschiedenen Dingen denselben Namen gibt.“ Gerade aus
dieser Eigenschaft ergibt sich die erstaunliche Universalität der Mathematik sowie die
Effektivität ihrer Modelle in den Anwendungen. Der Nobelpreisträger der Physik E.
Wigner hat diese Eigenschaft geradezu unfassbar genannt. W.W. Majakowski hat bemerkt, dass vom Standpunkt der Mathematik die Gleichung „zwei plus zwei gleich vier“
genauso gut auf den Fall von Zigarettenkippen zutrifft wie für Dampflokomotiven anwendbar ist.
Die axiomatische Methode ist gewissermaßen die Methode in der Mathematik. Man
kann sich mit einer bestimmten Methode nur vertraut machen, wenn man mit ihr arbeitet. Deshalb werden wir einige Übungen zu endlichen Geometrien und ihren Axiomen
anbieten.
Für die Geometrie aus vier Punkten und sechs Geraden kann man ein räumliches Modell verwenden. Die Punkte sind die Ecken eines Tetraeders und die Geraden sind die
Kanten des Tetraeders (Abb. 11). Man kann sich ein solches U-Bahn-Netz innerhalb
eines Berges vorstellen.
B
C
A
Abb. 11
D
Abb. 12
E
Es ist leicht zu beweisen, dass eine Geometrie mit vier Punkten höchstens sechs Geraden enthält: Ist nämlich jeder der vier Punkte mit jedem der drei anderen verbunden, so
hat man 4 * 3 = 12 Geraden. Da aber jede Verbindung zweimal gezählt wurde (von
jedem Ende aus), sind es in Wirklichkeit nur 6 Geraden. Also kann es sicher nicht mehr
als 6 Geraden in einer Geometrie mit vier Punkten geben.
Nun seien fünf U-Bahn-Stationen gegeben, d.h. wir untersuchen eine Geometrie mit 5
5
Punkten. In diesem Fall erhält man auf die selbe Weise höchstens 10 Geraden, denn es
5*4
. Außer den beiden Endpunkten liegt kein weiterer Punkt auf einer solchen
ist 10 =
2
Gerade. Ein Beispiel dafür ist in Abb. 12 gezeichnet. Die Punkte sind die Ecken eines
regelmäßigen Fünfecks und die Geraden sind beliebige Verbindungsstrecken zwischen
je zwei der Ecken.
Vom Gesichtspunkt der endlichen Geometrie aus können die Abschnitte gerade sein
aber genau so gut auch Bogenstücke von irgendwelchen Kurven sein. Für die gegebene Geometrie ist dies ganz unbedeutend. Die Verbindung zweier Punkte bringt eben
nur die Tatsache zum Ausdruck, dass durch diese zwei Punkte eine Gerade geht.
In Abb. 13 ist die Zugehörigkeit der Punkte
zu der einen oder anderen Gerade in Form
eines Diagramms dargestellt. Jeder horizontalen Zeile der Tabelle entspricht eine Gerade der Geometrie. Bewegt man sich entlang
jeder horizontalen Zeile dieser Tabelle, so
kann man leicht die Punkte bestimmen, die
auf der betreffenden Gerade liegen. Die
Auswahl eines Punktes bedeutet die Auswahl einer senkrechten Spalte der Tabelle.
Bewegt man sich entlang einer Spalte, so
kann man leicht feststellen, welche Geraden
durch den betreffenden Punkt verlaufen.
A
X
X
X
X
AB = L1
AC = L2
AD = L3
AE = L4
BC = L5
BD = L6
BE = L7
CD = L8
CE = L9
DE = L10
B
X
C
D
E
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Abb.13
Wir werden nun die endliche Geometrie mit genau sechs Punkten untersuchen. Zwei
der möglichen Varianten der Anordnung der Punkte auf Geraden sind in Abb. 14 und 15
vorgestellt.
15 Geraden
13 Geraden
Abb. 14
Abb. 15
In der endlichen Geometrie wird wie gewohnt das Sich-Schneiden von Geraden verwendet. Sich schneidende Geraden besitzen einen gemeinsamen Punkt.
Aus den ersten vier Zeilen in Abb.13 folgt, dass sich die Geraden L1, L2, L3 und L4 im
Punkt A schneiden, und weiter erhält man, dass sich L4 und L10 in E schneiden.
6
Übungen:
1.
Zu welchen der zwei Abbildungen 14 oder 15 gehört das Diagramm der Abb. 16?
2.
Welche Punkte liegen bei Abb. 16 auf der Gerade L10?
3.
Welche Geraden bei Abb. 16 gehen durch die Punkte B und D, welche sowohl
durch F als auch durch A?
4.
Zählen Sie für Abb. 16 alle Geraden auf, auf denen genau drei Punkte liegen.
5.
Schneiden sich die Geraden L7 und L11 bzw. L5 und L11? In welchen Punkten?
6.
Ordnen Sie jeder Gerade in der Zeichnung die betreffende im Diagramm zu.
Punkte
A
B
C
X
X
X
D
E
F
Geraden
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
L12
L13
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Abb.16
Die Tabelle in Abb. 17 stellt die Geometrie dar, die Abb. 10 zeigt.
Übungen:
1.
In der Tabelle von Abb. 17 ist die Zeile von L6 nicht ausgefüllt. Welche Punkte liegen auf L6? Füllen Sie die Zeile aus.
2.
Geben Sie aus Diagramm 17 alle Geraden an, die durch den Punkt A verlaufen.
Prüfen Sie Ihre Angaben an der Abb. 10.
3.
Stellen Sie Diagramme für die Geometrien aus Abb. 6 und 7 auf.
7
Punkte
A
B
C
X
X
X
D
E
X
X
F
G
Geraden
L1
L2
X
L3
X
L4
X
L5
X
X
X
X
X
X
X
L6
L7
X
X
X
Abb. 17
Auch in endlichen Geometrien spielt die wohlbekannte Parallelität von Geraden eine
Rolle. Wir nennen zwei Geraden zueinander parallel, falls sie keinen gemeinsamen
Punkt besitzen, sich also nicht schneiden. In der Geometrie von Abb. 4 gibt es keine
Parallelen, weil jede Gerade die beiden anderen in einem Punkt trifft. Auch in den Beispielen von Abb. 5, 6 und 10 gibt es keine Parallelen. (Kontrollfrage: In welchem Punkt
in Abb. 10 schneiden sich die Geraden durch die Punkte F und D und die durch die
Punkte G und C?).
Eine Geometrie, in der es überhaupt keine parallelen Geraden gibt, in der sich also je
zwei verschiedene Geraden in mindestens einem Punkt schneiden, nennen wir projektive Geometrie. In dieser Geometrie gilt das folgende Axiom:
Axiom A4-P:
Zwei Geraden sind entweder gleich oder sie haben genau einen gemeinsamen
Punkt.
Der dem Axiom A4 entsprechende Lehrsatz aus der Schulgeometrie lautet wie folgt:
Axiom A4-A:
Durch einen beliebigen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Gerade liegt, gibt es
genau eine Parallele zu dieser Gerade.
Eine Geometrie, in der dieses gilt, nennen wir affine Geometrie.
Modelle endlicher affiner Geometrien sind in den Abb. 7, 8, 9 und 11 dargestellt.
In der hyperbolischen Geometrie (oder Lobatschewski-Geometrie) lautet das entsprechende Axiom:
Axiom A4-H:
Durch einen beliebigen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Gerade liegt, gibt es
zu dieser gegebenen Gerade mindestens zwei verschiedene Parallelen.
Modelle dieser Geometrien finden sich in den Abbildungen 12, 14 und 15. In Abb.12
z. B. gibt es zur Gerade AE und dem Punkt C die beiden Parallelen BC und CD.
8
In unseren U-Bahn-Netzen dürfen also drei verschiedene Geometrien vorkommen: Projektive Geometrien, in denen A1, A2, A3 und A4-P erfüllt sind, affine Geometrien, in
denen A1, A2, A3 und A4-A erfüllt sind und hyperbolische Geometrien, in denen A1,
A2, A3 und A4-H gelten.
Bisher haben wir in den verschiedenen Modellen Geraden jeweils als ebene Linien, als
Kanten eines Polyeders oder als Zeilen einer Tabelle dargestellt. Wir wollen nun ein
arithmetisches Modell zur Beschreibung der verschiedenen Geometrien konstruieren.
Dabei werden Punkte durch Zahlen und Geraden durch bestimmte Produkte dieser
Zahlen dargestellt.
In Abb. 4 kann man z.B. die Punkte durch die Zahlen 2, 3 und 5, die Geraden dagegen
durch deren Produkte 6, 10 und 15 deuten.
In Abb. 6 sind die Punkte die Zahlen 2, 3, 5, 7 und die Geraden die Produkte 14, 21, 35
und 30. Auf der zuletzt genannten Gerade mit dem Produkt 30, liegen genau die Punkte
2, 3 und 5, deren Produkt exakt die Zahl 30 ergibt.
Wir wollen nun dieses arithmetische Modell, bei dem ein Punkt durch eine Primzahl a
und eine Gerade durch eine zusammengesetzte Zahl b dargestellt sind, genauer untersuchen. Wir vereinbaren, dass ein Punkt a genau dann auf einer Gerade b liegt,
wenn a ein Teiler von b ist. Es ist klar, dass sich zwei Geraden b und c genau
dann im Punkt a schneiden, falls ggT(b, c) = a ist. Umgekehrt sind zwei Geraden b
und c genau dann zueinander parallel, wenn ihre Zahlen teilerfremd sind, d.h. wenn
ggT(b, c) = 1 ist.
Die in Abb. 12 oder in Tab. 13 dargestellte Geometrie kann durch die Primzahlen 2, 3,
5, 7 und 11 für die 5 Punkte dargestellt werden. Als Geraden kommen die 10 verschiedenen Produkte 2 * 3 = 6, 2 * 5 = 10, 2 * 7 = 14, 2 * 11 = 22, 3 * 5 = 15, 3 * 7 = 21,
3 * 11 = 33, 5 * 7 = 35, 5 * 11 = 55 und 7 * 11 = 77 vor.
Die Geraden 22 und 21 z.B. sind parallel, denn ggT(22, 21) = 1.
Die Geraden 15 und 35 dagegen schneiden sich im Punkt 5, denn ggT(15, 35) = 5.
Übungen:
1.
Die Punkte in Abb. 12 werden durch die Primzahlen 13, 17, 19, 31 und 37 dargestellt. Geben Sie für jede Gerade die zugeordnete Zahl an. Welche Punkte liegen
auf der Gerade mit der Nummer 527?
2.
Schneiden sich die Geraden 527 und 323? Wenn ja, in welchem Punkt?
3.
Beweisen Sie, dass Gerade 527 und Gerade 481 zueinander parallel sind.
4.
Konstruieren Sie zu jeder untersuchten Geometrie ein arithmetisches Modell. Überprüfen Sie die Gültigkeit der Axiome für jedes dieser Modelle.
Wir bemerken zum Abschluss, dass in der Geometrie, die wir in der Schule gelernt haben, die Axiome A1, A2, A3 und A4-A gelten. Die Schulgeometrie ist also eine affine
Geometrie. Sie ist aber keine endliche Geometrie. Ganz analog gibt es auch projektive
und hyperbolische Geometrien, die nicht endlich sind.
Literatur:
[1]
Atanasjan L. S., Butuzov V. F., Kadomcev S. B., Poznjak E. G., Judina I. I.; Geometrie 7 – 9. Moskau. Die Bildung, 1990.