Mathematische Grundlagen für die Informatik

Kurt-Ulrich Witt
Mathematische Grundlagen
für die Informatik
Mengen, Logik, Rekursion
~ Springer Vieweg
Inhaltsverzeichnis
VII
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
v
1 Mengen und Logik
1.1 Definition und Darstellung von Mengen
1.1.1 Ein Mengenbegriff . . . . . .
1.1.2 Darstellung von Mengen . . .
1.1.3 Bezeichner für Zahlenmengen
1.1.4 Russellsche Antinomie
1.1.5 Zusammenfassung . . . . .
1.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Alphabet der Aussagenlogik
1.2.2 Syntax aussagenlogischer Formeln .
1.2.3 Semantik aussagenlogischer Formeln
1.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . .
1.3 Logische Folgerungen und Implikationen
1.3.1 Logische Folgerung
1.3.2 Implikation
1.3.3 Kalküle......
1.3.4 Theorien . . . . .
1.3.5 Zusammenfassung
1.4 Äquivalenzen, Basen und Normalformen .
1.4.1 Aussagenlogische Äquivalenzen .
1.4.2 Aussagenlogische Basen . . . . .
J .4.3
Disjunktive und konjunktive Normalform
1.4.4 Zusammenfassung
1.5 Resolutionskalkül . . . . . . . .
1.5.1 Klauselmengen . . . . .
1.5.2 Der Resolutionsoperator
1.5.3 Das Resolutionsverfahren
1.5.4 Zusammenfassung . . . .
1.6 Hornlogik . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Hornformeln und Hornklausein
1.6.2 Erfüllbarkeit von Hornformeln
1.6.3 Kleinste Modelle .
1.6.4 Zusammenfassung . . . . . .
1.7 Prädikatenlogik
.
1.7.1 Alphabet der Prädikatenlogik
1.7.2 Syntax prädikaten10gischer Formeln
1.7.3 Semantik prädikatenlogischer Formeln
1.7.4 Weitere Logiken .
1.7.5 Zusammenfassung
1.8 Beweismethoden . . . .
1.8.1 Direkter Beweis
1
2
3
5
8
9
11
11
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59
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60
62
65
66
66
67
viii
Vorwort
2
1.8.2 Indirekter Beweis
.
1.8.3 Beweis durch Widerspruch .
1.8.4 Ringschluss . . . .
1.8.5 Zusammenfassung
1.9 Operationen auf Mengen
1.9.1 Teilmengen . . . .
1.9.2 Potenzmengen ..
1.9.3 Verknüpfung von Mengen
1.9.4 Elementare Eigenschaften
1.9.5 Zusammenfassung . . . .
1.10 Boolesche Algebra . . . . . . . .
1.10.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften .
1.10.2 Isomorphie Boolescher Algebren
1.10.3 Zusammenfassung . .
.
68
69
Relationen und Funktionen
87
2.1
88
89
90
94
2.2
2.3
3
Relationen......................
2.1.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Relationen: Definitionen und Eigenschaften
2.1.3 Ordnungen . . . . .
2.1.4 Äquivalenzrelationen . . . .
2.1.5 Umkehrrelationen
2.1.6 Komposition von Relationen
2.1.7 Reflexiv-transitive Hüllen
2.1.8 Zusammenfassung . . . . .
Funktionen . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Begriffe und Eigenschaften.
2.2.2 Operationen und Prädikate
2.2.3 Zusammenfassung ..
Mächtigkeit von Mengen . . . . .
2.3.1 Definitionen und Beispiele
2.3.2 Zusammenfassung
70
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110
110
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Zahlenmengen
117
3.1
117
3.2
3.3
Die Menge der natürlichen Zahlen
.
3.1.1 Einführung der Menge der natürlichen Zahlen.
3.1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen
3.1.3 Rechenregeln in No
.
3.1.4 Zusammenfassung
.
Vollständige Induktion und verallgemeinertes
Rekursionsschema
.
3.2.1 Vollständige Induktion . . . . . . . .
3.2.2 Verallgemeinertes Rekursionsschema
3.2.3 Zusammenfassung
Fibonacci-Zahlen
.
117
120
121
123
124
124
128
130
131
Inhaltsverzeichnis
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
..
Ackennannfunktion .
·.
Abzählbarkeit von Mengen .
· .
3.5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften .
3.5.2 Beispiele und Diagonalisierung
· . . .
3.5.3 Abschlusseigenschaften abzählbarer Mengen
3.5.4 Zusammenfassung
· .
Die Menge der ganzen Zahlen
3.6.1
Konstruktion der ganzen Zahlen
3.6.2 Rechenregeln in Z
· .
3.6.3 Zusammenfassung
· .
Die Menge der rationalen Zahlen .
3.7.1 Konstruktion der rationalen Zahlen
3.7.2 Rechenrcgcln in Q
3.7.3 Zusammenfassung
· .
.. · . · .
Rechenstrukturen
3.8.1 Gruppen, Ringe, Körper
3.8.2 Köpererweiterungen · .
3.8.3 Zusammenfassung
·.
Die Mengen der reellen und der komplexen Zahlen
3.9.1 Reelle Zahlen . · .
· .
· .
3.Y.2 Komplexe Zahlen .
· .
·.
3.9.3 Algebraische und transzendente Zahlen
3.9.4 Zusammenfassung
4 Berechenbarkeit
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Primitiv-rekursive Funktionen
p,- Rekursion .
Churchsche These .
· . ·.
utm- und smn-Theorem . . · .
4.4.1
Nummerierung der berechenbaren Funktionen
4.4.2 Das utm-Theorem · . · . . . · . · .
4.4.3 Das smll-Theorem · . · . . . · . · .
4.4.4 Rekursionssatz und Selbstreproduktionssatz .
Aufzählbare und entscheidbare Mengen
· .
4.5.1 Entscheidbare und semi-entscheidbare Mengen
4.5.2 Aufzählbare Mengen
4.5.3 Reduzierbarkeit von Mengen .
Unentscheidbare Mengen .
4.6.1 Das Halteproblem
4.6.2 Der Satz von Rice
4.6.3 Das Korrektheitsproblem ,
4.6.4 Das Äquivalenzproblem
Zusammenfassung
· .
ix
134
137
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138
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x
Lösungen zu den Aufgaben
201
Literatur
215
Stichwortverzeichnis
217