Kosten- und Preistheorie
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4 ck - menschik ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 Preis – Kosten- Theorie Teil 1: Klassische Modelle 101 k57 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze im Bereich [0 / 100 ] für a. K(x)=3x2+2x+10 12,95 GE/ME b. K(x)=130x+3.000 160 GE/ME 102 k69 Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit K(x)=3x+500 im Bereich [0/200]! 5,5 103 k155 L Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenkurve aus folgenden Angaben: Die Kosten bei 70 %-iger Auslastung betragen 199 GE. Die Grenzkosten bei 80 %-iger Auslastung betragen 116 GE / ME. Der progressive Teil der Kostenfunktion beginnt bei 20 % Beschäftigungsgrad und die Fixkosten sind 10 GE. Rechnen Sie mit 1 ME = 10 % Beschäftigungsgrad. a = 1 b = -6 c = 20 d = 10 104 k159 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenkurve aus folgenden Informationen: Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 20 ME betragen EUR 300.000,--, die Grenzkosten beim gleichen Beschäftigungsgrad sind 5.000,-- EUR/ME. Bei Vollauslastung (100 ME) sind die Grenzkosten 15.000,-EUR/ME. Die Fixkosten betragen EUR 200.000,--. K(x) = 0,447x3 –17,86x2 + 5.178,6x + 200.000 105 k161 Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion aus folgenden Daten: Kapazität des Betriebes: 800 ME Grenzkosten bei 60 % Beschäftigungsgrad 2.885,-- GE/ME Kosten bei 20 % BG 77.700 GE Fixkosten 100 GE (3x2 + 5x + 100) 106 k162 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für K(x) = 0,2x 2 + 40x + 500.000 (672,5) 107 k164 Ermitteln Sie die Break-even für K(x) = x2 + 100 x + 30.000 und einer linearen Nachfragefunktion mit einer Sättigungsmenge von 8.000 ME und einem Prohibitivpreis von 5.000 GE/ME. (6,1 u. 3009) 108 k165 a) Ermitteln Sie eine progressiv verlaufende Kostenfunktion (quadratischer Ansatz) mit folgenden Eigenschaften: Fixkosten 800 GE, die Kosten beim Beschäftigungsgrad 10 betragen 1.500 GE und die Grenzkosten an dieser Stelle sind 120 GE / ME. (5x2 + 20x + 800) b) Ermitteln Sie für K(x) = 7x2 + 30 x + 900 die langfristige Preisuntergrenze (188,75) 109 k166 a) Ermitteln Sie für K(x) = 10x2 + 50x + 150 und p(x) = 200 – 0,2 x den Cournotpunkt! b) Ermitteln Sie für p(x) = Error! die Stelle des maximalen Erlöses! 30,87 © Mag. Wolfgang Streit (7,35 / 198,53) Seite 1 von 8 4 ck - menschik 110 ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 k167 Ein Produkt weist eine progressiv verlaufende Kostenfunktion auf: K(x) = 0,4 x 2 + 6x + 10.000 Die Nachfragefunktion ist linear mit p(x) = 400 – 0,4 x Berechnen Sie die Gewinngrenzen, den Cournotpunkt, den maximalen Erlös und die Elastizität bei einem Preis von 300 GE/ME! 26,84 465,7 (246,25 / 301,5) 100.000 3 111 k168 a) Berechnen Sie den maximalen Gewinn für K(x) = x3 – 9x2 + 15x + 250 bei einem festen Preis von 75 GE/ME. 296,34 b) Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion aus: bei einem Preis von 1.320,-GE/ME pro Stück werden 20 ME abgesetzt. Erhöht man den Preis um 175,2 GE/ME, dann sinkt der Absatz um 10 %. Der Prohipitivpreis beträgt 3.000 GE/ME. –0,2x2–80x+3000 112 k172 a) Berechnen Sie eine lineare Nachfragefunktion aus: die Sättigungsmenge beträgt 15.000 ME und bei einem Preis von 140 GE/ME werden 8.000 ME verkauft. Berechnen Sie weiters den Gleichgewichtspreis, wenn sich das Angebot wie a(x) = 50 + 0,03x verhält! 300 – 0,02x 200 b) Die Elastizität der Nachfrage ist (x) = Error!. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion mit p(7) = 130! Error! 113 k171 a) Eine S-förmige Kostenfunktion hat minimale Grenzkosten von 75 GE/ME beim Beschäftigungsgrad 5 ME. Die Kosten an dieser Stelle sind 1.750 GE. Die Fixkosten betragen 1.000 GE. Berechnen Sie die Gleichung dieser Kostenfunktion! 3x3 – 45x2 + 300x + 1.000 b) Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn für K(x) = 0,2x2 + 4x +100 und einem festen Preis von 30 GE/ME! 3,97 126,03 745 114 k173 Berechnen Sie für K(x) = x3 – 21x2 + 200x +50 und p(x) = Error!: a) den Beschäftigungsgrad, bei dem der Erlös maximal wird b) das Betriebsoptimum 7,32 10,72 115 k176 Berechnen Sie den Cournotpunkt für folgende Funktionen: K(x) = 3x 2 + 15x + 500 und p(x) = 2000 · e–0,2x. 4,72 778 116 k177 Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit einer linearen Kostenfunktion. Die konstanten Grenzkosten betragen 150 € / Stk. und die Fixkosten sind € 20.000,--. Die Kapazität dieses Betriebes ist 1.200 Stk. 166,67 117 k178 Ermitteln Sie die Stelle des maximalen Erlöses für die Nachfragefunktion p(x) = -0,2x2 – 20x + 1000. 19,37 Teil 2: Grafische Verfahren 201 k41 Zeichnen Sie ein p-,K'- und E'-Diagramm für folgende Angaben: © Mag. Wolfgang Streit Seite 2 von 8 4 ck - menschik ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 lineare Nachfragefunktion: bei einem Preis von EUR 5.000,- werden 8.330 Stk. abgesetzt, der mengenmäßige Umsatz erhöht sich bei einer Preisreduktion von 10 % um 60 %. linearer Kostenverlauf: K(15.000)=26 Mio. EUR und K(20.000)=33,5 Mio. EUR Zeichnen Sie den Cournotpunkt ein! Bei welchem Preis läßt sich der maximale Gewinn erzielen? Maßstab: 5.000 Stk. = 1 cm 500 EUR/Stk. = 1 cm C (21.665/3.666,5) 202 k63 Ermitteln Sie graphisch den Cournotpunkt: Kosten progressiv (quadratisch) mit Grenzkosten von EUR 25,- pro Stk. bei Vollauslastung und EUR 15,- pro Stk. bei 35 % BG. Lineare Nachfrage mit einem Prohibitivpreis von EUR 40,- pro Stk. und einer SM bei Vollauslastung. Abszisse: 10 Prozentpunkte BG = 1 cm Ordinate: 10 EUR/Stk. = 1 cm C ( 34 % / 26,4 ) 203 Gegeben sei folgende Tabelle: x K 0 5 1 7,25 2 10 k127 4 17 6 26 8 37 10 50 12 65 ME GE Die Nachfragefunktion ist linear mit MP=10 und SM=12. Zeichnen Sie die Stückkosten-, Grenzkosten- und Preisfunktion in ein Koordinatensystem (x ... 1:1 y ... 1:1). Die Kostenfunktion ist dabei quadratisch. Zeichnen Sie ein: Cournotpunkt, Gewinngrenzen, Betriebsoptimum. Lesen Sie für diese Punkte die x-Koordinaten ab und geben Sie diese an. 204 k135 Graphisches Verfahren: lineare Nachfrage und progressive Kosten Zeichnen Sie für folgende Situation den Grenzkostenverlauf, die Preisfunktion, den Grenzerlös und den Cournotpunkt im Maßstab: Abszisse 1 cm ... 10.000 Stk. Ordinate 1 cm ... 100,- €/Stk. Die Grenzkosten sind linear und sind aus folgenden Zahlen abzulesen: Produktion 20.000 20.100 100.000 100.100 Kosten 7.000.000 7.025.000 72.000.000 72.070.000 Anleitung: Berechnen Sie aus je 2 Paaren von Kosten zwei Grenzkostenwerte! Die Nachfrage ist linear und bei einem Preis von € 700,- pro Stk. kann ein Absatz von 20.000 Stück erzielt werden. Wird der Preis um 20 % gesenkt, dann erhöht sich der Absatz um 90 %. Wie hoch ist der Prohibitivpreis und die Sättigungsmenge? € 856 110.000 Stk. 205 k170 Ermitteln Sie grafisch den Cournotpunkt. Die Kostenfunktion laute: K(x) = 0,002x2 + 200x + 4000 Die Nachfragefunktion ist linear: bei einem Preis von 200 €/Stk. können 30.000 Stk. abgesetzt werden, senkt man den Preis um 50 €/Stk., dann beträgt der Absatz 35.000 Stk. Verwenden Sie: Abzisse: 1 cm = 10.000 Stk. Ordinate 1 cm = 100 €/Stk. (12.500/375) 206 k174 a) Ermitteln Sie grafisch den Cournotpunkt. Bei einem Preis von € 200,-- können 1.000 Stk. abgesetzt werden. Die Sättigungsmenge beträgt 3.000 Stk.. Die lineare Kostenfunktion weist folgende Werte auf: © Mag. Wolfgang Streit Seite 3 von 8 4 ck - menschik ÜB Theorie der Kosten und Preise K(1000) = 103.000 und K(1.100) = 113.000 Verwenden Sie: Abzisse: 1 cm = 500 Stk. Ordinate 1 cm = 50 €/Stk. Teil 3: März 07 (100/290) Advanced 301 k66 a. Ein Betrieb mit einer Kapazität von 300.000 Stk. pro Jahr ermittelt folgende Werte: * Die Fixkosten betragen € 2,5 Mio. pro Jahr * Die minimalen Grenzkosten betragen 180 €/Stk. und treten bei einer Auslastung von 70 % ein! * Die Grenzkosten bei Vollauslastung betragen 420 €/Stk.! Berechnen Sie die Gleichung der S-förmigen Kostenfunktion mit 1 GE = € 1.000.000,- und 1 ME = 10.000 Stk.! Koeffizienten auf 2 Dezimalen genau! K=0,01x3-0,62x2+14,9x+2,5 b. Auf einem vollkommenen Markt gelten für Angebots- und Nachfragefunktion: * a(x) ist linear: bei einem Preis von € 5.000,- pro Stk. wird nichts mehr angeboten. Steigt der Preis um € 100,pro Stk., dann wird das Angebot um 400 Stk. erhöht! * p(x) ist hyperbolisch: p(x)=56.000.000/x ! ) Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? ß) Wie hoch ist der Angebotsüberhang bei einem Preis von € 9.000,- pro Stk.? 0,25x+5000, € 7.000,-p.Stk., 9.778 Stk. c. Berechnen Sie für K(x)=3x2+x+49 und p=32 GE/ME: i. die langfristige Preisuntergrenze <25,2 GE/ME> ii. die Gewinngrenzen <1,9 und 8,4 ME> iii. den maximalen Gewinn <31,1 GE> d. Berechnen Sie für K(x)=3x2+x+49 und p(x)=100-10x den Cournotpunkt! Zeichnen Sie Kd, K',p und E'in ein Koordinatensystem (x: 1:1 y: 1:10) < (3,8 ME/ 61,9 GE/ME) > 302 k113 Ein Betrieb mit einer Vollauslastung von 10.000 Stück pro Monat hat die Kostenkehre bei einem BG von 50 %. Die Fixkosten betragen € 400.000,- pro Monat. Die minimalen Grenzkosten betragen € 100,- pro Stk.. Die Durchschnittskosten bei Vollauslastung sind € 640,- pro Stk.. Das erzeugte Produkt hat eine lineare Nachfragefunktion mit einer abgesetzten Menge von 2.000 Stk. bei einem Preis von € 1.200,- pro Stk. und einer Elastizität von 4 bei dieser Absatzmenge. a. Rechnen Sie auf 1 GE = € 100.000,- und 1 ME = 1.000 Stk. um! ACHTUNG: Vorsicht bei GE/ME ! e bleibt als dimensionslose Größe natürlich gleich! Berechnen Sie die Kostenfunktion 3. Grades! b. Berechnen Sie die Nachfragefunktion! c. Berechnen Sie mit K(x)=0,2x3-3x2+16x+4 und p(x)=16-1,6x die Gewinngrenzen, das Betriebsoptimum und den Cournotpunkt! d. Graphische Darstellung L: K(x)=0,2x3-3x2+16x+4 und p(x)=15-1,5x 2 6,5 7,7 (4,7/8,5) 303 k126 Berechnen Sie die Preisfunktion aus: a) e(x) = Error! p(3) = 196,1 b) e(x) = Error! c) e = 20 – 4x © Mag. Wolfgang Streit p(20)=0,00227 p(4)=0,2 200 – 1,3 x 50.e-0,5x 0,2 Error! Seite 4 von 8 4 ck - menschik d) e(x) = Error! ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 100 – 4x – x2 p(0) = 100 304 k138 Berechnen Sie die Gleichung des progressiven Teils einer linear-progressiven Kostenkurve aus: Fixkosten: EUR 300.000,Grenzkosten im linearen Teil: EUR 100,- pro Stk. Grenzkosten bei Vollauslastung: EUR 300,- pro Stk. Kapazität: 50.000 Stk. Übergang zum progressiven Teil beim BG 80 %. Die Grenzkosten verlaufen stetig. Rechnen Sie mit 1 GE = 1 Mio. EUR und 1 ME = 10.000 Stück. K1= x + 0,3 K2 = x2-7x+16,3 305 k141 a. Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Rechnen Sie mit 1 GE = EUR 1.000.000,- und 1 ME = 10.000 Stk.. Die Kapazität des Betriebes sei 200.000 Stk.! Die minimalen Grenzkosten treten bei einer Auslastung von 40 % auf und betragen EUR 1.500,- pro Stk.! Die Fixkosten betragen 25 Mio. EUR ! Die Kosten bei Vollauslastung sind EUR 500 Mio.! 0,078x3-1,875x2+30x+25 b. Berechnen Sie die lineare Nachfragefunktion aus: Bei einem Preis von 20 GE/ME ist die Nachfrage 10 ME. Die Elastizität bei diesem Preis ist 1,3! (35,38-1,538x) Rechnen Sie die folgenden Punkte mit K(x)=0,2x3-4,8x2+39x+25 p(x)=100-2x auf 1 Dezimale genau weiter: c. Berechnen Sie die Koordinaten des Cournotpunktes! (15,8/68,4) d. Zwischen welchen Preisen tritt ein Gewinn auf? [99,2/ 48,6] e. Wie groß ist die langfristige Preisuntergrenze? 12,2 f. Wie groß ist die Elastizität der Nachfrage bei einem Preis von 70 GE/ME? 306 2,333 k142 Linear - progressiver Kostenverlauf Vollständige Konkurrenz a. Ein Betrieb ermittelt folgende Werte für den Verlauf seiner Kosten: BG in Prozentpunkten 30 80 Kosten in Tausend EUR 969,6 2037,6 Rechnen Sie in 1 GE = EUR 1.000,- und 1 ME = 1 Prozentpunkt um und ermitteln Sie K1(x) als lineare Funktion. (21,36x+328,8 ) b. Ermitteln Sie die Gleichung des progressiven Teil eines linear-progressiven Kostenverlaufes aus: Linearer Teil: Fixkosten EUR 2.000.000,Grenzkosten: 250.000,- EUR/ME. Progressiver Teil: Stetiger Übergang der Kosten und Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 30 ME und Kosten von 16 Mio. EUR beim Beschäftigungsgrad 50 ME. Rechnen Sie mit 1 GE = EUR 1.000,- ! 3,75x2+25x+5375 Rechnen Sie die folgende Punkte mit: K1(x)=0,4x+1 in [0/ 6] K2(x)=0,45x2-5x+17,2 in [6/ 8] K3(x)=0,25x+5 in [8/14] und p= 0,7 GE/ME © Mag. Wolfgang Streit weiter: Seite 5 von 8 4 ck - menschik ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 c. Zeichnen Sie die Kostenfunktion und die Erlösgerade in ein Koordinatensystem im Maßstab: x ... 1:1 y ... 1:1 d. Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze! (0,564) e. Berechnen Sie den maximalen Gewinn! (0,85) f. Berechnen Sie die Gewinngrenzen und geben Sie die Bereiche an, in denen ein Gewinn erzielt wird! [3,3/7,7] [11,1/13] 307 k143 Berechnen Sie aus den folgenden Elastizitätsfunktionen die Nachfragefunktion und die Stelle des maximalen Erlöses: a) e (x) = Error!– 1 p(10) = 160 b) e(x) = Error! c) e = 6 – 0,2 x d) e(x) = Error! p(0) = 100 p(3) = 100 p(5) = 15 200 – 4 x 100.e –0,2 x 25 5 25 9,1 90,668 Error! Error! 308 k144 a) Ermitteln Sie eine S-förmige Kostenfunktion aus: die minimalen Grenzkosten treten beim Beschäfigungsgrad 7 ME auf und betragen 5,3 GE/ME, die Kosten beim Beschäftigungsgrad 10 ME betragen 95 GE und die Grenzkosten an dieser Stelle sind 8 GE/ME. 0,1x3-2,1x2+20x+5 b) Die Elastizität der Nachfrage ist e(x) = Error! Prohibitivpreis von 90 GE/ME. Berechnen Sie die Nachfrage-funktion! Error! Rechnen Sie die folgenden Punkte mit K(x)=x3-21x2+200x+50 und p (x) = Error! in [0/20] Alle Resultate auf eine Dezimale genau! c) Berechnen Sie das Betriebsoptimum! 10,7 d) Berechnen Sie die Gewinnzone mit den zugehörigen Preisen! 383/94 e) Berechnen Sie die Koordinaten des Cournotpunktes! (5,1/197,4) f) Wie verläuft die Erlösfunktion? Berechnen Sie die Stelle des maximalen Erlöses und die lineare Asymptote. 7,3 6000-200x g) Zeichnen Sie Kosten-,Erlös- und Nachfrage-, Durchschnittskosten-, Grenzkosten- und Grenzerlösfunktion in zwei gekoppelte Koordinatensysteme. Maßstab: Abszisse: 1: 1 Ordinate (GE) 1 : 100 Ordinate (GE/ME) 1 : 50 309 k145 Berechnen Sie aus den folgenden Elastizitätsfunktionen die Nachfragefunktion und die Stelle des maximalen Erlöses: a) e (x) = Error!– 1 p(10) = 450 b) e(x) = Error! c) e(x) = Error! d) e(x) = Error! p(1) = 13,534 p(5) = 25 p(1) = 25 500 – 5 x 100.e – 2 x (x – 10)2 Error! 50 0,5 3,33 0 310 k152 Ermitteln Sie die Gleichung der Nachfragefunktion aus e(x) = Error! mit p(2)=16! L: p=(80-8x)/(x+2) 311 © Mag. Wolfgang Streit k154 L Seite 6 von 8 4 ck - menschik Beispiel 4: ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 Monopolist mit linear-progressivem Kostenverlauf a) Ein Monopolist hat Fixkosten von 4 GE und bis zu einer Auslastung von 10 ME konstante Grenzkosten von 0,4 GE/ME. Danach steigen die Grenzkosten linear an und erreichen bei 15 ME den Wert 2 GE/ME. Im Übergangspunkt verlaufen die Grenzkosten stetig. Berechnen Sie die Gleichungen der Kostenfunktion in den beiden Bereichen! (0,16x 2 – 2,8x + 20) b) Berechnen Sie eine lineare Nachfragefunktion aus folgenden Informationen: Die Nachfrage bei einem Preis von 10 GE/ME beträgt 4 ME und die Elastizität an der Stelle 2 ME beträgt 3,5. (18 – 2x) Rechnen Sie die folgenden Punkte mit: K1(x) = 3 + 0,5 x in [ 0 / 10] und K2(x) = 0,3 x2 - 5,5 x + 33 p(x) = 6 - 0,4 x c) Berechnen Sie die Gewinngrenzen! d) Wo liegt das Betriebsoptimum? e) Wie lauten die Koordinaten des Cournotpunktes? in [10 / 15] und 0,57 12,7 10,48 (6,875 / 3,25) 312 k157 a) Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenkurve aus folgenden Angaben: Die Kosten bei 70 %-iger Auslastung betragen 199 GE. Die Grenzkosten bei 80 %-iger Auslastung betragen 116 GE / ME. Der progressive Teil der Kostenfunktion beginnt bei 20 % Beschäftigungsgrad und die Fixkosten sind 10 GE. Rechnen Sie mit 1 ME = 10 % Beschäftigungsgrad. a = 1 b = -6 c = 20 d = 10 Berechnen Sie für K(x) = x2 + 100 x + 100 und p(x) = 300 - 20 x : die Gewinngrenzen den Cournotpunkt das Betriebsoptimum die Sättigungsmenge x1 = 0,53 und x2 = 8,99 ME C (4,76 / 204,76) x = 10 b) 15 313 k168 a) Berechnen Sie den maximalen Gewinn für K(x) = x3 – 9x2 + 15x + 250 bei einem festen Preis von 75 GE/ME. 296,34 b) Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion aus: bei einem Preis von 1.320,-GE/ME pro Stück werden 20 ME abgesetzt. Erhöht man den Preis 175,2 GE/ME, dann sinkt der Absatz um 10 %. Der Prohipitivpreis beträgt 3.000 GE/ME. –0,2x2–80x+3000 314 k163 Ermitteln Sie den Cournotpunkt für K(x) = 3x + 5.000 und p(x) = 10.000 – 2x. Ermitteln Sie den maximalen Gewinn! ( 2.499,25 5.001,5 12.487.501) 315 k169 a) Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit p(4) = 26,96. Wie hoch ist der maximale Erlös? 60 · e–0,2x b) Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion (x) = Error! mit dem Prohibitivpreis 3.000 GE/ME! p = 3.000 – 50x 316 © Mag. Wolfgang Streit k175 Seite 7 von 8 4 ck - menschik ÜB Theorie der Kosten und Preise März 07 Die Nachfragefunktion eines Produktes ist linear mit der Elasitizität von 1,5 an der Stelle 20 ME. Bei einem Preis von 200 GE/ME können 40 ME verkauft werden. Berechnen Sie diese Funktion. –20 1000 © Mag. Wolfgang Streit Seite 8 von 8
