Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II
Prof. Dr. Holger Dette
SS 2012
Blatt 7
Abgabe: Montag, 21. Mai 2012, 10:00 Uhr in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
Es sei f : [−π, π] → R Riemann-integrierbar mit zugehöriger Fourierreihe
(4 Punkte)
∞
a0 X
f (x) ∼
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
2
k=1
a) Man zeige: Ist f gerade, so ist bk = 0 für alle k ∈ N.
b) Man zeige: Ist f ungerade, so ist ak = 0 für alle k ∈ N0 .
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Es seien Bn für n ∈ N die Bernoulli-Zahlen (vgl. Afg. 5 von Blatt 1). Das BernoulliPolynom vom Grad n ist definiert als
n X
n
Pn (x) =
Bk xn−k .
k
k=0
Man zeige:
a) Pn (1) = Bn für alle n ≥ 2.
Rx
b) (n + 1) 0 Pn (t) dt = Pn+1 (x) − Bn+1 für alle n ≥ 1.
R1
c) 0 Pn (t) dt = 0 für alle n ≥ 1.
Aufgabe 3.
Pn sei wie in Aufgabe 2 definiert. Man zeige:
(4 Punkte)
a) Für alle n ≥ 2 und alle x ∈ [0, 1] gilt:
∞
X
cos(k2πx)
n!
1+n/2
(−1)
Pn (x) = 2
n
(2π)
kn
k=1
Pn (x) = 2
∞
X
n!
sin(k2πx)
(1+n)/2
(−1)
(2π)n
kn
k=1
(falls n gerade),
(falls n ungerade).
P
1
b) Bekanntlich konvergiert f (s) = ∞
k=1 ks für alle s > 1 (f heißt Riemannsche ZetaFunktion). Man drücke den Wert der Reihe für gerade natürliche Zahlen s = 2n
durch die Bernoulli-Zahlen aus und berechne mit Hilfe von Aufgabe 5, Blatt 1,
explizit f (2) und f (4).
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Man berechne die Fourierreihe der Funktion f : R → R, x 7→ f (x) = | sin x| und zeige,
dass sie gleichmäßig gegen f konvergiert.
Aufgabe 5.
(4 Punkte)
a) Sei f : [a, b] → R Lipschitz-stetig. Man zeige, dass f von beschränkter Variation ist.
b) Man betrachte die Funktion f : [0, 1] → R, die definiert ist durch
(
x2 sin x1 , x > 0
f (x) =
0,
x = 0.
Ist f von beschränkter Variation?
Hinweis: die Zettel sind aufgabenweise in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie auf Ihren Lösungen auch Ihre Übungsgruppe (Leiter und Nummer),
dort erfolgt dann die Rückgabe der korrigierten Aufgaben.