¨Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie SS 2009

Übungsaufgaben Axiomatische Geometrie
SS 2009 - 6. Serie
6.1 Eine Strecke AB der Länge a in der euklidischen Ebene wird durch einen inneren
Punkt C im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt, wenn sich die kleinere Strecke
zur größeren wie die größere zur ganzen Strecke verhält. Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal für den Teilungspunkt
C an.
6.2 In der euklidischen Ebene sei Γ ein Kreis vom Radius r > 0
mit dem Mittelpunkt M , A ein Punkt im Innern und A0
−→
ein Punkt auf dem Strahl M A. Sei h die Gerade durch A
−→
und orthogonal zu M A, r1 = l(M A), r2 = l(M A0 ).
Beweisen Sie: r2 = r1 · r2 ⇐⇒ h ist Polare zum Pol A0 bezüglich Γ.
6.3 Mit denselben Bezeichnungen wie in 6.2 seien A und A0
derart gewählt, dass l(M A) · l(M A0 ) = r2 . Zeigen Sie, dass
für alle Punkte A ∈ k auch der Punkt A0 auf dem Kreis k
liegt genau dann, wenn sich Γ und k orthogonal schneiden.
6.4 Beweisen Sie: Sei
Ebene,
∠
)A
und
4(ABC)
∠
)B
ein Dreieck in einer Hilbert-
jeweils kleiner als ein rechter Win-
kel und D der Fußpunkt des Lotes von C auf die Gerade
g(A, B). Dann gilt Zw(ADB).
6.5 Einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck
4(ABC)
in der euklidischen Ebene
mit gegebener Länge a der beiden Katheten AB und AC sind Rechtecke so einzubeschreiben, dass jeweils ein Eckpunkt eines solchen Rechtecks auf der Hypothenuse
und zwei Rechteckseiten auf den Katheten des Dreiecks 4(ABC) liegen. Beweisen
Sie:
a) Alle diese Rechtecke besitzen den gleichen Umfang u = 2a.
b) Von allen diesen Rechtecken besitzt das unter ihnen befindliche Quadrat den
größten Flächeninhalt.
(Abgabe am 28.5.2009)