Blatt 7 - Universität Düsseldorf: Mathematik

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine Universität
Düsseldorf
PD. Dr. Axel Grünrock
SoSe 2014
30.05.2014
Blatt 7
ÜBUNGEN ZUR ANALYSIS I
25. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte und begründen Sie Ihre Ergebnisse:
1
(a) lim √
,
p ∈ N,
n→∞ p n
√
(b) lim n a,
a ∈ R+ ,
n→∞
√
p ∈ N,
(c) lim n np ,
n→∞
√
(d) lim ( n n − 1)n ,
n→∞
√
n
(e) lim an + bn ,
n→∞
a, b ∈ R+ .
Hinweis: Durch Bearbeitung aller fünf Aufgabenteile kann ein Zusatzpunkt erworben
werden.
26. Für Teilmengen A und B von R definiert man A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
Beweisen Sie für nichtleere, beschränkte Mengen A und B die Identitäten
(a) sup(A + B) = sup A + sup B,
(b) inf(A + B) = inf A + inf B.
27. Es seien (an ) und (bn ) beschränkte Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie:
(a) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn ,
n→∞
n→∞
n→∞
(b) lim sup(an + bn ) ≥ lim sup an + lim inf bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Geben Sie ein Folgenpaar an, für das in (a) < und in (b) > gilt. Leiten Sie ferner
entsprechende Ungleichungen für lim inf (an + bn ) her.
n→∞
Hinweis: Bereits für Teil (b) beachte man lim inf (−cn ) = − lim sup cn .
n→∞
n→∞
Bitte wenden!
1
28. (a) Die Folge (fn )n der Fibonacci-Zahlen ist durch
f0 = 0, f1 = 1
rekursiv definiert. Berechnen Sie
∞
X
n=1
indem Sie die Partialsummen
n
X
k=1
fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 1)
und
1
,
fn fn+2
n
X
1
als Teleskopsummen
(ak − ak+1 ) mit geeigneten
fk fk+2
k=1
ak darstellen.
(b) In ähnlicher Weise berechne man
∞
X
n=1
1
.
−1
4n2
Abgabe: Fr., 06.06.2014, 10.25 Uhr
Besprechung: Do., 12.06.2014 und Mi., 18.06.2014