8. Bewegungsrepräsentation - Technische Universität Chemnitz

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8.
8.1.
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Bewegungsrepräsentation
Qualitative Bewegungsrepräsentation
8.1.1. Qualitative Beschreibung von Bewegungsrichtungen
Die Angabe der Richtung ist eine qualitative Beschreibung des Winkels, in dem ein Zielpunkt vom
aktuellen Ausgangspunkt der aktuellen Orientierung des Beobachters aus liegt. Das heißt, dass als
Grundlage der Beschreibung ein Punkt und eine Gerade durch den Punkt, die die Richtung angibt,
verwendet werden. Relativ zu dem Punkt und der Geraden wird der umgebende Raum, der im Sinne
einer Landkarte als zweidimensional zu denken ist, in Sektoren unterteilt. Jeder Sektor definiert
eine qualitative Richtung. Liegt der Zielpunkt in einem bestimmten Sektor, dann hat er die durch
diesen Sektor definierte Richtung. Die Punkte innerhalb eines Sektors werden für die Richtungsangabe nicht unterschieden. Wie viele Sektoren verwendet werden, hängt von der Granularitätsstufe
der Repräsentation ab.
Man kann zwischen zwei Arten der Angabe einer qualitativen Bewegungsrichtung unterscheiden:
egozentrisch und allozentrisch. Bei der egozentrischen Form wird der umgebende Raum aus der
Sicht des Beobachters, der am aktuellen Ausgangspunkt steht, unterteilt, bei der allozentrischen
Form wird er aus einer globalen Sicht unterteilt, aber trotzdem bezogen auf den Ausgangspunkt und
die aktuellen Orientierung. Abbildung 8.1 zeigt zwei Formen der egozentrischen Richtungsangabe,
Abbildung 8.2 zwei Formen der allozentrischen Richtungsangabe.
vorwärts
links
vorn links
rechts
vorwärts
links
vorn rechts
rechts
hinten rechts
hinten links
rückwärts
rückwärts
(a)
(b)
Abbildung 8.1
Nord
Nord
Nordwest
West
Ost
Nordost
West
Ost
Südwest
Südost
Süd
Süd
(a)
(b)
Abbildung 8.2
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8.1.2. Qualitative Beschreibung von Entfernungen
Qualitative Entfernungsangaben repräsentieren die Distanz zwischen dem Ausgangspunkt und
einem möglichen Zielpunkt. Der Raum zwischen diesen beiden Punkten wird in bestimmte
Abschnitte unterteilt. Jeder Abschnitt definiert eine Entfernungsangabe. Ein Punkt, der in einem
dieser Abschnitte liegt, hat die durch den Abschnitt definierte Entfernung. Zwischen den Punkten
eines Abschnitts wird für die Entfernungsangabe nicht unterschieden. Die Einteilung in Abschnitte
kann unterschiedlich fein vorgenommen werden. Üblicherweise orientiert sie sich an den durch die
natürliche Sprache vorgegebenen Entfernungsangaben wie „nah“, „fern“ usw. Die Breite der
Abschnitte kann variieren, typischerweise wächst sie mit zunehmender Entfernung. Abbildung 8.3
illustriert dies mit vier Abschnitten.
sehr nah
nah
mittel
fern
Abbildung 8.3
8.1.3. Qualitative Bewegungsvektoren
Qualitative Bewegungsvektoren kombinieren qualitative Richtungs- und Entfernungsangaben zu
einer Bewegungsbeschreibung. Will man weitere Attribute zur Beschreibung von Bewegungen
verwenden, z.B. Geschwindigkeit, dann kann man die Vektoren um diese Angaben erweitern. Auch
sie sind dann als qualitative Werte zu betrachten, z.B. Zeitdauern für Geschwindigkeiten. Beispiele
für Qualitative Bewegungsvektoren mit Richtungs- und Entfernungsangaben sind die folgenden:
 Nord   West   Südost   Nordwest 

, 
, 
, 

nah
mittel
fern
fern

 
 
 

In der geometrischen Interpretation der Bewegungsvektoren stellen sie eine Art von Kacheln dar,
die sich radial um den Ausgangspunkt gruppieren und durch die Grenzlinien zwischen den Richtungssektoren und Entfernungsabschnitten definiert sind. Der durch die Richtung und Entfernung
aufgespannte und aus den Kacheln zusammengesetzte Raum wird als Referenzsystem bezeichnet.
Abbildung 8.4 illustriert ein Referenzsystem mit vier allozentrischen Richtungen und drei Entfernungsabschnitten.
Nord
fern
Nord
mittel
Nord
nah
West West West Ost Ost Ost
fern mittel nah
nah mittel fern
Süd
nah
Süd
mittel
Süd
fern
Abbildung 8.4
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Zur Darstellung von Bewegungen, die sich normalerweise als ein größerer Prozess darstellen,
werden Folgen von Qualitativen Bewegungsvektoren verwendet, d.h. die gesamte Bewegung wird
als Folge elementarer Teilbewegungen dargestellt, und jede dieser Teilbewegungen wird durch
einen Qualitativen Bewegungsvektor repräsentiert. Ein Beispiel für eine Bewegung ist etwa die
Folge von Bewegungsvektoren
 Nord   West   Südost   Nordwest 
, 
, 
, 
 
 
 nah   mittel   fern   fern 
8.1.4. Arithmetik für Qualitative Bewegungsvektoren
Um Vektorarithmetik verwenden zu können müssen zwei Schritte gemacht werden, danach kann
die übliche Vektorarithmetik verwendet werden:
1. Umsetzung egozentrischer in allozentrische Referenzsysteme
2. Umwandlung Qualitativer in Quantitative Bewegungsvektoren
Für die Anwendung der Vektorarithmetik muss das Referenzsystem für Qualitative und Quantitative Bewegungsvektoren allozentrisch sein. Ein egozentrisches Referenzsystem wird nämlich bei
jeder Bewegung, in der eine Richtungsänderung vorkommt, mit rotiert, deshalb ist es nicht dafür
geeignet Vektoroperationen innerhalb einer Folge von Vektoren durchzuführen. Ein allozentrisches
Referenzsystem ist fest, es wird während der Ausführung einer Bewegung nicht transformiert.
Sind schon Quantitative Bewegungsvektoren als Äquivalente von Qualitativen Bewegungsvektoren
bekannt, dann können diese direkt verwendet werden. Sind nur Qualitative Bewegungsvektoren
bekannt, dann müssen diese in Quantitative Bewegungsvektoren umgewandelt werden. Ein Qualitativer Bewegungsvektor ist durch eine Kachel in dem durch Richtung und Entfernung aufgespannten Polarkoordinatensystem repräsentiert. Der entsprechende Quantitative Bewegungsvektor verläuft vom Koordinatenursprung bis zum Mittelpunkt der Kachel. Um diesen zu bestimmen, werden
die Grenzen zwischen den Richtungssektoren und den Entfernungsabschnitten auf numerische
Werte abgebildet. Man erhält so eine Definition einer Kachel durch das Richtungsintervall
I R  1 ,  2  und das Distanzintervall I D  a1 ,a2  . Der zugehörige Quantitative Bewegungsvektor
ist dann
 1  1 

 
A 2 
 a1  a2 
 2 
Eine andere Möglichkeit zur Erzeugung quantitativer Repräsentationen Qualitativer Bewegungsvektoren besteht darin einen Vektorraum aus zwei kleinstmöglichen linear unabhängigen Qualitativen Bewegungsvektoren zu konstruieren. Zu diesen werden quantitative Repräsentationen festgelegt. Beliebige Qualitativer Bewegungsvektoren können als Linearkombinationen der beiden linear
unabhängigen Qualitativen Bewegungsvektoren dargestellt, und diese Linearkombinationen können
aufgrund der Festlegungen direkt in Quantitative Bewegungsvektoren umgerechnet werden. Das
folgende Beispiel illustriert diese Konstruktion:
 1   Ost 

i     
 0   sehr nah 
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 0   Nord 

j     
 1   sehr nah 
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seien die beiden Basisvektoren. Aus ihnen lassen sich z.B. die folgenden Linearkombinationen
berechnen:
 West    3
 Südost   2 

     3  i  0  j 
     2  i  2  j
 mittel   0 
 mittel    2 
Die Bestimmung dieser beiden Linearkombinationen ist in Abbildung 8.5 illustriert.
5
 Nord 


 sehr nah 
 Ost 


 sehr nah 
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-11
2
3
4
5
-2
 Südost 


 mittel 
-3
 West 


 mittel 
-4
-5
Abbildung 8.5
8.1.5. Probleme mit Qualitativen Bewegungsvektoren
Grundsätzlich sind qualitative Beschreibungen jeder Art im Vergleich mit entsprechenden numerischen Beschreibungen mit einem Verlust an Genauigkeit verbunden. Das hat mehrere Konsequenzen. Eine davon ist die Schwierigkeit eine qualitative Arithmetik zu definieren. Eine andere
Schwierigkeit ist, dass durch die Rasterung des Raums die Vektoren sehr grob klassifiziert werden
und dadurch von den tatsächlichen Entfernungen stark abstrahiert wird. So kann es z.B. sein, dass
dicht beieinander liegende numerische Vektoren auf verschiedene qualitative Vektoren abgebildet
werden. Das ist in Abbildung 8.6 veranschaulicht.
N
W
N
O
W
O
S
S
numerische Vektoren
qualitative repräsentierte
Vektoren
Abbildung 8.6
Um diesen Effekt zu vermindern kann man die Zahl der Kacheln vergrößern, also die Rasterung
verfeinern. Das ist aber nur begrenzt möglich, weil jede Kachel sprachlich durch einen Begriff
repräsentierbar sein sollte.
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Ein weiteres Problem ergibt sich bei Folgen Qualitativer Bewegungsvektoren in egozentrischen
Referenzsystemen. Ändert sich beim Übergang von einem Vektor zum nächsten die Richtung nur
geringfügig, wie in Abbildung 8.7 dargestellt, dann ist die qualitative Repräsentation der Richtung
immer die gleiche. Wiederholt sich die Richtungsänderung mehrfach in der gleichen Richtung, z.B.
nach vorn und leicht nach links, dann kann diese Veränderung im egozentrischen Referenzsystem
nicht festgestellt werden. Im Extremfall kann sich z.B. ein Roboter im Kreis bewegen, dies aber in
der egozentrischen Repräsentation nicht feststellen.
Abbildung 8.7
8.2.
Fuzzy-Bewegungsrepräsentation
8.2.1. Zugehörigkeitsfunktionen
Sei U eine universelle Menge. Auf U wird eine Funktion  folgendermaßen definiert:
 : U  0, 1
 wird als Zugehörigkeitsfunktion bezeichnet. Sie gibt für jedes Element von U an, zu welchem
Grad es zu einer Fuzzy-Menge F gehört. Die Elemente von F sind Paare:
F  (u,  (u) | u  U

Häufig wird F mit den Elementen identifiziert, für die gilt:  (u) > 0, und bei vielen Zugehörigkeitsfunktionen ist diese Menge klein im Verhältnis zu U.
Als Zugehörigkeitsfunktion für die Kacheln als geometrische Repräsentation der Qualitativen
Bewegungsvektoren werden LR-Funktionen verwendet. Eine LR-Funktion wird durch drei Größen
bestimmt: Die Mitte m, die linke Spannweite  und die rechte Spannweite . Abbildung 8.8 veranschaulicht die drei Werte.
1
 m 
Abbildung 8.8
Die LR-Funktion wird auf folgende Weise definiert:
1. L, R :  0  0,1
2. L(0)  R(0)  1
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3. L( x)  R( x)  max( 0,1  x)
4. L, R sind monoton fallend.
 m x
 L   x  m
 

5.  ( x)  


x

m
 R
 xm

   
8.2.2. Fuzzy-Bewegungsvektoren
Nach dem Muster der LR-Funktionen werden nun Fuzzy-Bewegungsvektoren als Fuzzy-Mengen
über Ringsegmenten im zweidimensionalen Basisraum definiert. Als Basisraum wird der in Abbildung 8.4 dargestellte Raum mit 43 Kacheln verwendet. Die entsprechende Zugehörigkeitsfunktion
ist also eine Funktion der Form
 :     0, 1
Ein Ringsegment in dem Basisraum muss nicht mit einer der Kacheln übereinstimmen, seine
Grenzen sollten jedoch konzentrisch zu den Entfernungskreisen bzw. auf Strahlen vom Ursprung
aus liegen. In Abbildung 8.9 sind zwei Ringsegmente dargestellt.
(r1, 1)
(r2, 2)
Abbildung 8.9
Geometrisch betrachtet spannt die Zugehörigkeitsfunktion über einem Ringsegment eine pyramidenähnliche Figur auf.
8.2.3. Numerische Fuzzyvektoren
Ein Numerischer Fuzzyvektor besteht aus zwei Komponenten, einer Distanz R und einer Richtung
, und wird geschrieben
  R
A   

R = (r, r, r) und  = (, , ) sind LR-Funktionen, deren Mittelpunkte den quantitativen
Bewegungsvektor
r
 
 

repräsentieren. Die Zugehörigkeitsfunktion für A lässt sich folgendermaßen formulieren:
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 A ( x, )   R ( x)    ( )
Numerische Fuzzyvektoren lassen sich komponentenweise addieren. Die Grundlage dafür liefert die
Addition zweier Fuzzyzahlen vom gleichen Typ in kartesischen Koordinaten. Für Fuzzyzahlen A
und B, die durch LR-Funktionen repräsentiert sind, ist sie wie folgt definiert:
A  B  (a, a, a) LR  (b, b, b) LR  (a  b, a  b, a  b)
Für zwei Numerische Fuzzyvektoren gilt dann
   X   X   X  X2 

A  B   1    2    1
Y
Y
Y

Y
2 
 1  2  1
Numerische Fuzzyvektoren haben aber die Form von Polarkoordinaten, deshalb müssen sie vor der
Addition in kartesische Koordinaten umgeformt werden. Danach werden sie addiert und anschlie

ßend wieder rücktransformiert. Für zwei Vektoren A und B ergibt sich bei der Addition folgende
Summe:
  (r , r , r )    (r , r , r ) 
A   1 1 1  B   2 2 2 
 (1 , 1 , 1 ) 
 ( 2 ,  2 ,  2 ) 

2
2

   (r1  cos 1  r2  cos  2 )  (r1  sin 1  r2  sin  2 ) , r1  r2 , r1  r2
A B  


r  sin 1  r2  sin  2
 arctan 1
, 1   2 , 1   2 

r1  cos 1  r2  cos  2







8.2.4. Fuzzy-Bewegungsvektoren als Bindeglied zwischen Numerischen Fuzzyvektoren und Qualitativen Bewegungsvektoren
Ein Numerischer Fuzzyvektor bildet eine Pyramide über einem Ringsegment im Referenzsystem
für Qualitative Bewegungsvektoren. Das Ringsegment und damit die Pyramide kann sich über
mehrere Kacheln des Referenzsystems erstrecken, es kann Kacheln ganz überdecken, teilweise

überschneiden oder nicht überdecken, vgl.Abbildung 8.9. Ein Fuzzy-Bewegungsvektor F gibt an,
welcher Anteil eines Numerischen Fuzzyvektors in welche Kachel fällt. Sind n Distanzbereiche und
m verschiedene Richtungen gegeben, dann besteht das Referenzsystem für Qualitative Bewegungsvektoren aus nm Kacheln. Der Anteil  i, j einer Kachel i,j an der durch einen Numerischen Fuzzyvektor aufgespannten Pyramide ergibt sich durch das Verhältnis des Pyramidenvolumens Vi , j über
der Kachel zum Gesamtvolumen V der Pyramide:
 i, j 
Vi , j
V
Ein kompletter Fuzzy-Bewegungsvektor hat also nm Komponenten, für jede Kachel das betreffende  i, j . Er hat also die Form
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  1,1 


  
 
  1,m 
F   
 
 n,1 
  


 n , m 
8.2.5. Volumenberechnung für Fuzzy-Bewegungsvektoren
Ausgangspunkt der Berechnung ist ein allgemeiner Numerischer Fuzzyvektor
  (r , r , r ) 

A   m
 ( m ,  ,  ) 
Ein Ringsegment ist durch ein Richtungsintervall I R  1 , 2  und ein Distanzintervall
I D  a1 ,a2  gegeben. Die Fuzzywerte für Distanz und Richtung werden durch LR-Funktionen
repräsentiert. Die den Numerischen Fuzzyvektor repräsentierende Pyramide ergibt sich durch
Multiplikation der beiden LR-Funktionen. Da die LR-Funktionen aus den beiden Teilfunktionen L
und R bestehen, ist die Pyramide in vier Bereiche zu unterteilen, die sich aus den vier möglichen
Kombinationen der L- und R-Anteile ergeben, wie in Abbildung 8.10 dargestellt.
m
R*R
L*R
(rm, m)
R*L
L*L
m + 
Bereich 1
m - 
Bereich 2
Bereich 3
Bereich 4
rm + r
rm
rm - r
Abbildung 8.10
Für jeden Bereich i  {1, 2, 3, 4} wird nun eine Zugehörigkeitsfunktion i definiert, die über dem
Bereich stetig ist:
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
 1 (r ,  )  1 


 2 (r ,  )  1 

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   m  r  rm 
     rm  r 
1 
1 
  3 (r ,  )  1  m

 
r 
 
r 

 m    r  rm 
    m  rm  r 
1 
1 
  4 (r ,  )  1 

 
r 
 
r 

Das Gesamtvolumen V der Pyramide über dem Ringsegment ist
V  V1  V2  V3  V4
Das Volumen über einem einzelnen Bereich des Ringsegments ist
ri ,o i ,o
Vi 
   (r,  )d dr
i
ri ,u
i ,u
8.2.6. Bestimmung der Integrationsgrenzen für die Volumenberechnung
Überschneidet ein Ringsegment eine Kachel des Referenzsystems für Qualitative Bewegungsvektoren wie in Abbildung 8.9 dargestellt, dann muss für jeden der vier Bereiche der Kachel das
Volumen der Pyramide über diesem Bereich berechnet werden. Für die Lage des Segments gibt es
verschiedene Fälle, nach denen die Integrationsgrenzen bestimmt werden.
Fall 1: Keine Überdeckung. Dann sind die obere und die untere Grenze bei mindestens einem der
beiden Integrale gleich, also ri,u = ri,o oder i,u = i,o. Damit wird das Volumen über diesem Bereich
0. In Abbildung 8.11 sind zwei Fälle dieser Art dargestellt.
Bereich
o
Bereich
r0 = ru
0 = u
r0 = ru
u
Ringsegment
Ringsegment
(b)
(a)
Abbildung 8.11
Fall 2: Vollständige Überdeckung. (a) Das Ringsegment überdeckt einen Bereich vollständig. Dann
sind die Grenzen des Bereichs die Integrationsgrenzen. (b) Das Ringsegment wird von einem
Bereich vollständig überdeckt. Dann sind die Grenzen des Ringsegments die Integrationsgrenzen.
Abbildung 8.12 stellt die beiden Fälle dar.
Fall 3: Partielle Überdeckung. Dann ergeben sich die Integrationsgrenzen aus den Grenzen des
Ringsegments und den Grenzen des überdeckten Bereichs. Dabei ist zwischen den vier in Abbildung 8.10 dargestellten Bereichen zu unterscheiden. Die Integrationsgrenzen sind die folgenden:
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r0
Ringsegment
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Bereich
u
o ru
r0
u
o ru
Ringsegment
Bereich
Integrationsbereich
Integrationsbereich
(a)
(b)
Abbildung 8.12
Bereich 1:
Bereich 2:
Bereich 3:
r1,u  min(max( a1 , rm ), rm  r )
r1,o  max(min( a2 , rm  r ), rm )
1,u  min(max( 1 ,  m ),  m   )
1,o  max(min(  2 , m   ),  m )
r2,u  r1,u  min(max( a1 , rm ), rm  r )
r2,o  r1,o  max(min( a2 , rm  r ), rm )
 2,u  min(max( 1 ,  m   ),  m )
 2,o  max(min(  2 ,  m ),  m   )
r3,u  min(max( a1 , rm  r ), rm )
r3,o  max(min( a2 , rm ), rm  r )
3,u  1,u  min(max( 1 , m ),  m   ) 3,o  1,o  max(min(  2 , m   ),  m )
Bereich 4:
r4,u  r3,u  min(max( a1 , rm  r ), rm )
r4,o  r3,o  max(min( a2 , rm ), rm  r )
 4,u   2,u  min(max( 1 ,  m   ),  m )
 4,o   2,o  max(min(  2 ,  m ),  m   )
Abbildung 8.13 illustriert die vier möglichen Fälle für Bereich 1.
r0
o
Bereich 1
u
Ringsegment
r0
Ringsegment
o
ru
u
ru
Bereich 1
Integrationsbereich
Integrationsbereich
Bereich 1
r0
Ringsegment
ru
u
Ringsegment
o
Bereich 1
r0
o
ru
u
Integrationsbereich
Integrationsbereich
Abbildung 8.13
Die Volumina der einzelnen Bereiche werden wie folgt berechnet:
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r1,o 1,o
V1 
   (r ,  )d dr
1
r1,u 1,u
 (1,o  1,u )( r1,o  r1,u )(   m )( r  rm )



1  1 2
2
2
2
1

 2 (1,o  1,u )( r1,o  r1,u )( r  rm )  2 (1,o  1,u )( r1,o  r1,u )(   m ) 
r 

  1 ( 2   2 )( r 2  r 2 )

 4 1,o 1,u 1,o 1,u

r2 ,o2 ,o
V2 
   (r ,  )d dr
1
r2 ,u
2 ,u
 ( 2,o   2,u )( r2,o  r2,u )(    m )( r  rm )



1  1 2
2
2
2
1

 2 ( 2,o   2,u )( r2,o  r2,u )( r  rm )  2 ( 2,o   2,u )( r2,o  r2,u )(    m ) 
r 

  1 ( 2   2 )( r 2  r 2 )

2 ,u
2 ,o
2 ,u
 4 2 ,o

r3 ,o3 ,o
V3 
   (r ,  )d dr
1
r3 ,u
3 ,u
 (3,o  3,u )( r3,o  r3,u )(    m )( r  rm )



1  1 2
2
2
2
1

 2 (3,o  3,u )( r3,o  r3,u )( r  rm )  2 (3,o  3,u )( r3,o  r3,u )(    m ) 
r 

  1 ( 2   2 )( r 2  r 2 )

3,u
3 ,o
3,u
 4 3 ,o

r4 ,o 4 ,o
V4 
   (r ,  )d dr
1
r4 ,u
4 ,u
 (4,o  4,u )( r4,o  r4,u )(   m )( r  rm )



1  1 2
2
2
2
1

 2 (4,o  4,u )( r4,o  r4,u )( r  rm )  2 (4,o  4,u )( r4,o  r4,u )(   m ) 
r 

  1 ( 2   2 )( r 2  r 2 )

4 ,u
4 ,o
4 ,u
 4 4 ,o

8.3.
Konvertierung einer Bewegungsrepräsentation in eine andere
8.3.1. Fuzzy-Bewegungsvektor  Qualitativer Bewegungsvektor
Geht man vom Fuzzy-Bewegungsvektor aus, dann bestimmt man, welche Anteile jede Kachel des
qualitativen Referenzsystems an dem Fuzzyvektor hat. Diejenige Kachel mit dem größten Anteil
wird als qualitatives Gegenstück zum Fuzzyvektor genommen.
Geht man vom Qualitativen Bewegungsvektor aus, dann ist die Umwandlung nicht direkt möglich.
Man muss den Qualitativen Bewegungsvektor zunächst in einen Numerischen Fuzzyvektor umwandeln und dann diesen in einen Fuzzy-Bewegungsvektor.
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8.3.2. Numerischer Fuzzyvektor  Qualitativer Bewegungsvektor
Geht man vom Numerischen Fuzzyvektor aus, so bestimmt man dessen Mittelpunkt. Der Qualitative Bewegungsvektor, in dem der Mittelpunkt liegt, ist die Entsprechung zu dem Numerischen
Fuzzyvektor.
Bei der Umwandlung eines Qualitativen Bewegungsvektors in einen Numerischen Fuzzyvektor
muss bestimmt werden, über welcher Fläche die Zugehörigkeitsfunktion zu definieren ist. Wählt
man genau die Fläche der Kachel, die einen bestimmten Qualitativen Bewegungsvektor repräsentiert, dann überlappen sich die Zugehörigkeitsfunktionen benachbarter Fuzzy-Bewegungsvektoren
nicht, d.h. man gewinnt nichts gegenüber den Qualitativen Bewegungsvektoren. Es ist deshalb
ratsam, diese Fläche weiter auszudehnen, z.B. bis zur Mitte aller benachbarten Kacheln oder unter
vollständiger Einbeziehung aller benachbarten Kacheln. Benachbarte Numerische Fuzzyvektoren
überlappen sich dann und die Zugehörigkeitsfunktionen haben an den Rändern der jeweiligen
Kachel nicht den Wert 0. Damit lassen sich die Numerischen Fuzzyvektoren vergleichen. Das ist in
Abbildung 8.14 illustriert.
Abbildung 8.14
Technische Universität Chemnitz
Sommersemester 2001
Prof. Dr. Werner Dilger
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