Monotone binäre Systeme I

Monotone binäre Systeme I
Bearbeiter
Betreuer
: Petra Cyganski
: Herr Dr. Döge
Termin
: 10.05.01, 09:15 Uhr Raum 237 (Rammlerbau)
- Verwendete Literatur:
Frank Beichelt, „Zuverlässigkeits- und Instandhaltungstheorie“
I. Gertsbakh „Reliability Theory“
Die folgenden Stichpunkte stellen lediglich eine Zusammenfassung des Themas dar. Zur
näheren Information soll der Vortrag bzw. die oben genannte Literatur dienen.
- Systemzustand:
es existieren zwei Systemzustände, das System ist funktionstüchtig (arbeitsfähig) oder
das System ist funktionsuntüchtig (defekt)
Einführung einer binären/ booleschen Variablen z(t)
z(t)=
{
1, wenn System funktionstüchtig
0, sonst
d.h. Systemzustandsänderung nur durch Sprung- bzw. Totalausfall
- Strukturfunktion
die boolesche Funktion  gibt Systemzustand z S in Abhängigkeit von den Zuständen
der Elemente z i an
Definitionsbereich ist die Menge Vn mit den Elementen z  ( z1 , z2 ,, zn )
Vektoren z heißen Zustandsvektoren der Elemente
zu jedem Schaltbild existiert eine Strukturfunktion  , aber nicht zu jedem  ein
Schaltbild
- Seriensystem:
KA
e1
...
e2
en
KE
Ausfall einer Komponente führt zum Systemausfall
n
n
Strukturfunktion:  ( z )   zi  min zi  min( z1 , z2 ,, zn )   zi
i 1
1 i  n
zi  {0,1}
Arithmetische Form:  ( z )  z1 z2  zn
i 1
- Parallelsystem:
e1
e2
...
KA
KE
en
System ist bei mindestens einem funktionierendem Element funktionstüchtig
n
n
Strukturfunktion:  ( z )  1   (1  zi )  max zi  max( z1 , z2 , , zn )   zi
1i n
i 1
i 1
zi  {0,1}
Arithmetische Form:  ( z)  1  z1 z2  zn
- k-aus-n-Systeme
System ist funktionsfähig, wenn mindestens k seiner n Elemente funktionieren
n-aus-n-System entspricht Seriensystem
1-aus-n-System entspricht Parallelsystem
Strukturfunktion:
 (z ) 
{
1, wenn
n
z
i 1
i
k
0, sonst
- Kombinationen der Systeme:
Serienschaltung von Parallelsystemen
Parallelschaltung von Seriensystemen
Brückenschaltungen
Problem: Schema zur Blockbildung finden, mit dem die Formel erstellt wird.
Lösung: minimale Pfade (Vortrag 2.1. Monotone binäre Systeme II)
- Monotones binäres System
1. die Zustände der Elemente e1 , e2 ,, en sowie der Zustand des Systems sind
boolesche Indikatorvariablen
zi 
zS 
{
{
1, wenn ei funktionstüchtig
0, sonst
1, wenn S funktionstüchtig
0, sonst
2. die Zustände der Elemente bestimmen eindeutig den Zustand des Systems
z S   ( z1 , z 2 ,, z n )
3.  (0,0,  ,0)  0 und  (1,1,  ,1)  1
4. x  y   ( x)   ( y ) Monotonie
d.h. wechselt ein Element seinen Zustand von 0 zu 1, kann sich der Zustand des
Systems nicht verschlechtern
Bemerkung: eine mögliche Zeitabhängigkeit der zi wird hier nicht berücksichtigt
Betrachtung des Systems zu einem festen Zeitpunkt
- Vereinbarung
um die Strukturfunktion eines Systems nicht unnötig zu verkomplizieren, nur
Betrachtung der relevanten Elemente
irrelevante Elemente haben keinen Einfluß auf den Systemzustand (und damit auch
nicht auf die Systemzuverlässigkeit)
Bezeichnung für beliebige z  ( z1 , z2 ,, zn ) Vn :
(0i , z )  ( z1, z2 ,, zi 1 ,0, zi 1 ,, zn )
(1i , z )  ( z1 , z2 ,, zi 1 ,1, zi 1 ,, zn )
d.h. i-te Komponente ist fixiert und Element ei von vornherein funktionstüchtig bzw.
funktionsuntüchtig
ein Element ei ist irrelevant, wenn  ((1i , z ))   ((0i , z )) für alle z Vn , andernfalls ist
es relevant
- die duale Strukturfunktion  d
 d ist Strukturfunktion des zu S dualen System S d
duales System zu Parallelsystem
= Seriensystem
Seriensystem
= Parallelsystem
k-aus-n-System = (n-k+1)-aus-n-System
d ( z)  1   ( z) mit z  ( z1 , z2 ,, zn ) und z  ( z1, z2 ,, zn )