Bruchgleichungen - Spalatin Gymnasium

Schwerpunkt 1: Bruchterme Grundlagen
Gib den Definitionsbereich aller Bruchterme an!
(r  5)²  (11  r)
( x  4)²
z(z  3)
c)
d)
(r  5)  (r  11)²
(3x  12)
z²  9
4 s²  16s  16
(x  2)²
25  10a  a²
f)
h)
i)
2s²( s  2)
6  3x
5a
5
121  x²
( a  7)
8z²  12z³
a²  6a  9
j)
k)
l)
m)
4
(x  11)²  x²
a²( a  7)
9z³  3z²
a 4  3a³
x  (x  8)²
x³  (36  12x  x²)
4x 4  40x³  100x²
n)
o)
p)
(x  8)(x  5)²
(x  5)  (x  6)²  x²
x  (100x²  2500)
x 1
(x  1)²
12x³
e)
3x²  9x
a)
b)
Kürze alle Bruchterme von oben so weit wie möglich!
Erweitere diese Bruchterme so, dass sie den Nenner 24x³(x+5)(x-5)² erhalten!
a)
1
12x  60
b)
3
x²  25
c)
x5
8x  40x³
4
d)
10 x
(x  5)²  6x²
e)
5x
16x²  160x  400
Schwerpunkt 2: Bruchterme verrechnen
Verrechne die Bruchterme und fasse so weit wie möglich zusammen!
a)
5
1
12x
3x²
b)
1
z5
3
+
7z
4z³
14z²
c)
2x
2
x3
(x  3)²
d)
4p
1
6p
1p
e)
7x  3
4x  3
4(x²  1)
x(x²  1)
f)
9a  2
3  5a
+
3a  12
2a  8
g)
6x  14
7
+
x²  4
x2
h)
7x  1
1
3x²
8x²  5x
i)
j)
5a
2
4a  7
3a  1
k)
7x  3
4
+
x²  10x  25
x²  5x
6  2x
4x  1
9 x  15 24x  40
8x  2
4x³  5x
l)
6x  18 3x³  9x²
Verrechne die Bruchterme und fasse so weit wie möglich zusammen!
a)
5
35
:
12x 3x²
b)
10z²
z5

(z  5)²
4z³
c)
2x
5
:
12(x  3) 8(x  3)²
d)
5n  10n² 18n²  6n

12n³
15n²
e)
22c  77 4c²  14c
:
12c  8c²
9  6c
f)
8t  6
11t  (2t  3)²

t²(2t  3)³ 28t²  21t
6x  9x³ 10x²  15x 4
g)
:
4x  16 10(x  4)²
h)
8x³  2x² 12x²(1  x²)
19(3s²  6s) 38s  76

i)
:
3x( x  1)²
6(4x  1)³
33s³  55s² 9s²  25
j)
6x  18x²
(x  5)³(5x  1)² (x  5)³
 3x  9 12  8x² 6x³  9x
16x²  9
:


k) 
l)

(5x  1)(5  x)² x²  25
7x²  21x³ 5( x  9)²
 8x  2 20x  5  15x  5x²
Schwerpunkt 3: Bruchgleichungen
Eine Fülle von Übungsaufgaben findest Du auf Seite 44 im Lehrbuch. Auch die
Aufgaben 11 und 12 lassen sich nach unserer gelernten Lösungsstrategie lösen.
Löse diese Zahlenrätsel mit Hilfe von Bruchgleichungen:
a) Zum Zähler und zum Nenner von
auf
3
wird die gleiche Zahl addiert, so dass man
5
5
kommt. Wie lautet diese Zahl?
6
b) Rechnet man Zähler und Nenner von
15
plus oder Minus die gleiche Zahl,
22
13
. Welche Zahl wird addiert?
14
5
5
c) Addiert man zu Zähler und Nenner von
die gleiche Zahl, erhält man .
17
7
erhält man
Welche Zahl wird addiert?
d) Ein Bruch ergibt gekürzt
5
. Addiert man zu Zähler und Nenner jeweils 8, so
9
4
. Wie lautet dieser Bruch?
7
1
e) Ein Bruch ergibt gekürzt . Addiert man zu Zähler und Nenner die Zahl 11,
3
8
erhält man den Bruch
. Wie lautet der Ausgangsbruch?
25
erhält man
f) In einem Bruch ist der Zähler um 36 kleiner als der Nenner. Der Bruch lässt
5
kürzen. Wie lautet der Bruch?
8
4
g) Der Zähler eines Bruchs, der sich auf
kürzen lässt, ist um 27 größer als
3
sich auf
der Nenner. Wie lautet der Bruch?
Schwerpunkt 4: Formeln umstellen
Übungsaufgaben sind die Nummern 3-7 von Seite 47 im Lehrbuch.
Lösung Schwerpunkt 1: Bruchterme Grundlagen
a)
x 1
(x  1)²
DB: IR\{-1}
b)
(r  5)²  (11  r)
(r  5)  (x  11)²
c)
z(z  3)
z²  9
DB: IR\{–3; 3}
d)
( x  4)²
(3x  12)
e)
12x³
3x²  9x
DB: IR\{0; 3}
f)
( x  2)²
(6  3x)
DB: IR\{2}
h)
25  10a  a²
5a
I)
4s²  8s  16
2s²( s  2)
DB: IR\{–2; 0}
8z²  12z³
j)
9z³  3z²
DB: IR\{5}
DB: IR\{–⅓ ; 0}
121  x²
(x  11)²  x²
n)
x³  (36  12x  x²)
(x  5)  (x  6)²  x²
o)
x  (x  8)²
(x  8)(x  5)²
p)
4x 4  40x³  100x²
x  (100x²  2500)
a)
x 1
(x  1)²
b)
(r  5)²  (11  r)
(r  5)  (r  11)²
c)
z(z  3)
z²  9
e)
12x³
3x²  9x
h)
25  10a  a²
(5  a)²
=
= 5-a
5a
5a
i)
4 s²  16s  16
4(s²  4s  4)
4(s  2)²
=
=
2s²( s  2)
2s²( s  2)
2s²( s  2)
DB: IR\{–11;0}
=
m)
a²  6a  9
a 4  3a³
DB: IR\{0; 7}
DB: IR\{0; 3}
DB: IR\{–6; 0; 5}
DB: IR\{–5; 8}
bedeutet
=
DB: IR\{–4}
( a  7) 5
k)
a²( a  7) 4
l)
DB: IR\{–11;5}
DB: IR\{–5; 0; 5}
(x  1)
1
=
(x  1)  (x  1)
x1
bedeutet
(r  5)  (r  5)  (r  11)
(r  5)  (r  11)  (r  11)
z(z  3)
z
=
(z  3)(z  3)
z3
12x³
3x(x  3)
= x4x²3
=
r5
r  11
d)
( x  4)²
(3x  12)
f)
(x  2)²
6  3x
=
2(s  2)
s²
= 3(x(x44)²) =
=
( x  2)²
 3( 2  x)
x4
3
=
x2
3
8z²  12z³
j)
9z³  3z²
=
4z²(2  3z) 4(2  3z)
=
3z²(3z  1) 3(3z  1)
l)
121  x²
(11  x)(11  x)
11  x
=
=
(x  11)²  x²
(x  11)²  x²
(x  11)  x²
n)
x³  (36  12x  x²)
(x  5)  (x  6)²  x²
o)
x  (x  8)²
x  (x  8)²
x  ( x  8)
=
=
(x  8)(x  5)²
(x  8)(x  5)²
( x  5)²
=
( a  7) 5
k)
a²( a  7) 4
m)
=
a7
a²
a3
a²  6a  9 ( a  3)²
=
=
4
a³( a  3)
a³
a  3a³
x³  (6  x)²
x
=
(x  5)  (x  6)²  x² x  5
4x²  (x²  10x  25)
4x²  (x  5)²
4x 4  40x³  100x²
p)
=
=
100x  (x²  25)
100x  (x  5)(x  5)
x  (100x²  2500)
=
4 x  (x  5)
100  (x  5)
Erweitere diese Bruchterme so, dass sie den Nenner 24x³(x+5)(x-5)² erhalten!
a)
1
1
=
12x  60
12(x  5)
b)
3
x²  25
=
2 x³( x  5)²

2x³( x  5)²
24x³(x  5)(x - 5)²
24 x³( x  5)
3
(x  5)(x  5)

3( x  5)( x  5)
x5
x5
c)
=
4
8x  40x³ 8x³( x  5)


72x³( x  5)
24x³(x  5)(x - 5)²
3(x  5)(x  5)²
24x³(x  5)(x - 5)²
4 x ( x  5 )
40x²( x  5)
10 x

d)
= 
24x³(x  5)(x - 5)²
(x  5)²  6x²
1, 5 x³( x  5)
1,5x³( x  5)²
5x
5x
5x

e)
=
=
24x³(x  5)(x - 5)²
16x²  160x  400
16(x  5)²
16(x²  10x  25)
Lösung Schwerpunkt 1: Bruchterme verrechnen
Verrechne die Bruchterme und fasse so weit wie möglich zusammen!
a)
5
1
12x
3x²
1
z5
3
+
7z
4z³
14z²
b)
=
5x
4
12x² 12x²
=
=
5x  4
12x²
=
4z² 7(z  5) 6z
+
28z³
28z³
4z³
=
4z²  7z  35  6z
28z³
4z²  z  35
28z³
c)
2x
2
x3
(x  3)²
=
2( x  3)
2x
( x  3)² (x  3)²
=
=
2x  6  2x
(x  3)²
6
(x  3)²
4p
1
6p
1p
d)
e)
7x  3
4x  3
4(x²  1)
x(x²  1)
f)
9a  2
3  5a
+
3( a  4)
2( a  4)
=
24p²
1p
6p(1  p)
6p(1  p)
=
7 x²  3x
16x  12
4 x( x²  1)
4x(x²  1)
=
18a  4
9  15a
+
6( a  4)
6( a  4)
=
 24p²  p  1
6p(1  p)
=
7 x²  19x  12
4 x(x²  1)
=
3a  13
6( a  4)
6x  14
7
+
x2
(x  2)(x  2)
g)
h)
7x  1
1
x(8x  5) 3x²
=
6x  14
7 x  14
+
(x  2)(x  2)
(x  2)(x  2)
=
21x²  3x
8x  5
3x²(8x  5) 3x²(8x  5)
=
13x
(x  2)(x  2)
=
21x²  5x  5
3x²(8x  5)
6  2x
4x  1
3(3x  5)
8(3x  5)
i)
j)
5a
4a  7
-
2
3a  1
=
48  16x
12x  3
24(3x  5) 8(3x  5)
=
15a²  5a
8a  14
(4 a  7)(3a  1)
(4 a  7)(3a  1)
=
 4x  45
24(3x  5)
=
15a²  3a  14
(4 a  7)(3a  1)
8x  2
4x³  5x
6x  18 3x³  9x²
4x³  5x
8x  2
=
6(x  3) 3x²( x  3)
7x  3
4
+
x²  10x  25
x²  5x
k)
=
7x  3
4
+
(x  5)² x(x  5)
=
7 x²  3x
4x  20
+
x(x  5)²
x(x  5)²
=
7 x²  7 x  20
x(x  5)²
l)
=
=
8x³  2x²
8x³  10x
6x²( x  3)
6x²( x  3)
 2x²  10 x
6x²( x  3)
Verrechne die Bruchterme und fasse so weit wie möglich zusammen!
a)
5
35
:
12x 3x²
b)
10z²
z5

(z  5)²
4z³
=
5
3x²

12x
35
=
1
5

2z z  5
=
8(x  3)²
5

2x
12(x  3)
=
x
1
x

=
28
4
7
=
5
2z(z  5)
=
5 2(x  3)
5(x  3)

=
3
2x
3x
c)
2x
5
:
12(x  3) 8(x  3)²
d)
5n  10n² 18n²  6n

12n³
15n²
e)
22c  77 4c²  14c
:
12c  8c²
9  6c
=
5n(1  2n) 6n(3n  1)

12n³
15n²
=
=
1(1  2n) 1(3n  1)

2n²
5n
=
11
4c
=
(1  2n)(3n  1)
10n³
=
33
8c²
11(2c  7)
3(3  2c)

4c(3  2c) 2c(2c  7)
6x  9x³ 10x²  15x 4
g)
:
4x  16 10(x  4)²
=
3
2
=
15(x  4)
3(x  4)
=
10x
2x
5(x  4)
5x

i)
19(3s²  6s) 38s  76
:
33s³  55s² 9s²  25
=
19  3s(s  2) (3s  5)(3s  5)

11s²(3s  5)
19  2(s  2)
3s
11 s²
=
3s(3s  5)
22s²
=
 3x  9 12  8x² 6x³  9x
:

 8x  2 20x  5  15x  5x²
 3(x  3) 5(4x  1)  3x(2x²  3)

 
2
(
4
x

1
)
4
(
3

2
x
²)

 5x(3  x)
= 
2(4t  3) 11t  (2t  3)²

t²(2t  3)³ 7 t(4t  3)
=
2
t(2t  3)
=
22
7t²(2t  3)

2x²( 4x  1) 12x²(1  x)(1  x)

6(4 x  1)³
3x(x  1)²
=
1x²
4 x(1  x)

1( x  1) 3( 4 x  1)²
=
4 x³(1  x)
3(x  1)(4 x  1)²
16x²  9
7x²  21x³
11
7t

6x  18x²
5( x  9)²
=
(4x  3)(4x  3)
6x(1  3x)

7 x²(1  3x)
5(x  3)(x  3)
=
6
(4x  3)(4x  3)

5(x  3)(x  3)
7x
=
k) 
=
=
j)
(3s  5)
2

8t  6
11t  (2t  3)²

t²(2t  3)³ 28t²  21t
8x³  2x² 12x²(1  x²)

3x( x  1)²
6(4x  1)³
h)
3x(2  3x²) 10(x  4)²

4(x  4) 5x²(2  3x²)
=
3
2c

f)
l)
6(4 x  3)(4 x  3)
7 x5(x  3)(x  3)
(x  5)³(5x  1)² (x  5)³

(5x  1)(5  x)² x²  25
=
(x  5)³(5x  1)²
(x  5)³

(5x  1)(5  x)² (x  5)(x  5)
=
3
2

5
4

3x
5x
=
(x  5)²(5x  1)² x  5

(5x  1)
(x  5)
=
3
2

1
4

3
9
=
1
8
=
(x  5)²(5x  1)²( x  5) (x  5)²(5x  1)
=
(5x  1)(x  5)
1
Lösung Schwerpunkt 3: Bruchgleichungen
Lösungen zu LB Seite 44
Lösungen zu LB Seite 44
Löse diese Zahlenrätsel mit Hilfe von Bruchgleichungen:
a)
Zum Zähler und zum Nenner von
3
wird die gleiche Zahl addiert, so
5
5
dass man auf kommt. Wie lautet
6
diese Zahl?
b)
6(3+x) = 5(5+x)
18 + 6x = 25 + 5x | -5x | -18
x=7
13
Rechnet man Zähler und Nenner von 15  x
=
|  14(22 + x)
15
plus oder Minus die gleiche Zahl, 22  x 14
22
14(15+x) = 13(22+x)
13
erhält man
addiert?
c)
3x 5
=
|  6(5 + x)
5x 6
14
. Welche Zahl wird
Addiert man zu Zähler und Nenner
von
5
die gleiche Zahl, erhält man
17
5
. Welche Zahl wird addiert?
7
210 + 14x = 286 + 13x |...
x = 76
5x
5
=
|  7(17 + x)
17  x 7
7(5+x) = 5(17 + x)
35 + 7x = 85 + 5x |-5x |-35
2x = 50  x = 25
d)
Ein Bruch ergibt gekürzt
5
. Addiert
9
man zu Zähler und Nenner jeweils 8,
so erhält man
e)
4
. Wie lautet dieser
7
5x  8 4
=
|  7(9x + 8)
9x  8 7
7(5x+8) = 4(9x+8)
35x + 56 = 36x + 32 |-35x ...
Bruch?
120
x = 24  Startbruch war
.
216
1
8
Ein Bruch ergibt gekürzt . Addiert 1x  11
=
|  25(3x + 11)
3
3x  11 25
man zu Zähler und Nenner die Zahl
8
11, erhält man den Bruch
. Wie
25
25(x+11) = 8 (3x + 11)
25x + 275 = 24x + 88
187
187
x = 187 Start war
=
3  187 561
5
In einem Bruch ist der Zähler um 36
x
=
|  8(x + 36)
kleiner als der Nenner. Der Bruch
x  36 8
lautet der Ausgangsbruch?
f)
lässt sich auf
der Bruch?
g)
5
kürzen. Wie lautet
8
8x = 5x + 536 | -5x
3x = 180
|:3
60
x = 60  Bruch ist
96
x  27 4
Der Zähler eines Bruchs, der sich
=
|  3x
4
x
3
auf
kürzen lässt, ist um 27 größer
3
3x + 81 = 4x | -x
als der Nenner. Wie lautet der
Bruch?
x = 81 Der Bruch lautet
108
81
Lösung Schwerpunkt 4: Formeln umstellen