ET_KL02_1 mit Loesungshinweisen

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Dr. Susanne Eickemeier
ENTSCHEIDUNGSTHEORIE
Klausur vom 01.03.2002 mit Lösungshinweisen
Als Hilfsmittel zugelassen sind Schreibmaterial, ein Taschenrechner (mit einzeiligem Display) und das
Buch Rommelfanger, H./Eickemeier S.: Entscheidungstheorie, Berlin 2002.
Das Schreiben mit Bleistift ist nicht gestattet!
Die Lösungen sind so ausführlich darzustellen, dass der Lösungsweg nachvollzogen werden kann!
1.
Folgende Ergebnismatrix sei gegeben:
a1
a2
a3
a4
s1
12.000
19.000
-6.000
18.000
s2
9.000
5.000
6.000
5.000
s3
12.000
13.000
14.000
12.000
s4
9.000
13.000
30.000
13.000
Es liegt Unsicherheit im engeren Sinne vor.
a. Zeigen Sie, dass durch geeignete Wahl der Entscheidungsregel jede Alternative gewählt werden
könnte. Sollte eine Alternative (bei Unsicherheit im engeren Sinne!) niemals gewählt werden
können, so begründen Sie dies!
b. Der Entscheider habe sich nun für s1 und s2 subjektive Wahrscheinlichkeiten gebildet:
w1 = 0,2; w2 = 0,5.
Bei welchen Wahrscheinlichkeiten w3 und w4 ist der Entscheider bei risikoneutralem Verhalten
indifferent zwischen den Alternativen a1 und a2?
c. Gegeben sei folgende neue Risikosituation:
a1
a2
s1
s2
s3
s4
0,2
0,2
0,5
0,1
35
160
89
25
93
10
60
150
Entschieden werden soll nach dem (-)-Prinzip unter Anwendung der Präferenzfunktion:
(,) = - 0,022
Geben Sie für jede Alternative die -, - und -Werte an! (Runden Sie dabei auf die zweite
Nachkommastelle!) Welche Alternative führt zum maximalen Präferenzwert (,)?
(17)
2
Lösungshinweise: a. a 4 ist ineffizient, Maximax: a 3 , Maximin: a1 , Laplace: a 2 ; b. w 3  0,2
und w 4  0,1; c. (a1)  77,3  0,02  538,41  66,53 , (a 2 )  57  0,02  4296  28,92 , a1
führt zum optimalen Präferenzwert.
2.
Der Unternehmer Benno Bäuchlein steht vor dem Problem, dass er sich entscheiden muss, welche
Sessel sein Unternehmen in Zukunft produzieren soll. Er hat vier Sessel-Varianten zur Auswahl.
Harry will sich dabei auf einen Sesseltyp beschränken und möchte bei der Auswahl vier Kriterien
berücksichtigen: Die Umrüstkosten, den Personalbestand, die Durchlaufzeit und die Zufriedenheit
seiner Mitarbeiter.
a. Der Berater Guido Geistreich empfiehlt, den optimalen Sessel mit Hilfe der Zielgewichtung
Zi 
1 4
 x ik  Max
4 k 1
auszuwählen. Nehmen Sie kritisch Stellung zu diesem Vorschlag.
Welche Probleme tauchen auf?
b. Benno Bäuchlein hat sich selber seine Gedanken gemacht und folgende Nutzenmatrix für die
vier Alternativen und vier Zielkriterien aufgestellt:
Z1
Z2
g = 0,1 g = 0,3
Z3
g= 0,2
Z4
g = 0,4
A1
6
9
-7
-1
A2
-4
0
8
4
A3
1
1
2
3
A4
0
6
1
0
Er möchte nun mit Hilfe des Goal-Programming-Ansatzes und der Regret-Funktion die optimale
Lösung finden. Für welche Alternative entscheidet er sich?
c. Stellen Sie sich vor, Benno hätte die Zielvorgaben geringer als im Goal-Programming-Ansatz
vorgegeben. Welche Auswirkungen hätte das auf die Berechnung und Auswahl? (Begründung!)
(12)
Lösungshinweise: b. Benno Bäuchlein entscheidet sich für Alternative A2.
3.
Gegeben ist eine Entscheidungssituation mit drei Alternativen ai, drei möglichen Zuständen sj und
der nachstehenden Ergebnismatrix Z  (z ij ) i 1,,3 .
j1,,3
a1
a2
a3
S1
-150
0
-30
S2
0
60
0
S3
300
90
150
Die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Umweltzustands können dabei nur unscharf durch
die folgende Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden:
~
~
P(s1 )  (0,18; 0,19; 0,2; 0,2; 0,21; 0,22)
P(s 2 )  (0,42; 0,44; 0,46; 0,52; 0,53; 0,54)
~
P(s3 )  (0,25; 0,27; 0,29; 0,31; 0,33; 0,35)
3
~
a. Berechnen Sie näherungsweise die Fuzzy-Erwartungswerte E iA . Ist eine Entscheidung auf Basis
der -Präferenz möglich?
b. Berechnen Sie für Aktion a2 die Hilfsgrößen, die zur exakten Berechnung des Fuzzy-Erwar~
tungswertes E iP nötig sind.
(16)
~
~
Lösungshinweise: a. E1A  (48;52,5;57;63;67,5;72) , EA
2  (47,7;50,7;53,7;59,1;61,5;63,9) ,
~A
E3  (32,1;34,8;37,5;40,5;43,2;45,9) , a1  a 2  a 3 ;
b.
4.
ε
λ
1
1
λ
ε
p 1α
0,22
0,21
0,2
p 1α
0,2
0,19
0,18
p α2
0,53
0,52
0,51
p α2
0,49
0,48
0,47
p α3
0,25
0,27
0,29
p α3
0,31
0,33
0,35
Gegeben sei folgende Ergebnismatrix:
s1
300
600
a1
a2
s2
-100
300
s2
850
600
a. Transformieren Sie die gegebene Matrix in eine plausible Nutzenmatrix eines risikofreudigen
Entscheiders. Orientieren Sie sich an der Vorgehensweise mittels hypothetischer Indifferenzsituationen. Machen Sie Ihre Rechenschritte deutlich.
b. Welchen Vorteil hat die Normierung der Risikonutzenfunktion auf das Intervall 0 bis 1?
(9)
Lösungshinweise: a. Eine mögliche Nutzenmatrix:
s1
s2
a1
0,15
0
a2
0,65
0,15
5.
s2
1
0,65
Bestimmt werden sollen die Gewichte der folgenden drei Auswahlkriterien auf der Basis der
gegebenen Paarvergleichsmatrix mit Fuzzy-Größen:
Design
Materialverarbeitung
Funktionalität
Design
1
(2 ; 9 ; 2,5 ; 2,5 ; 11 ; 3)
(3 ; 3,5 ; 4 ; 5 ; 5,5 ; 6)
Materialverarbeitung
(1 ; 4 ; 2 ; 2 ; 4 ; 1 )
3 11 5 5 9 2
1
(1,5 ; 1,5 ; 1,5 ; 2 ; 2 ; 2)
Funktionalität
( 1 ; 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1)
(1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2)
1
6 11 5 4 7 3
4
4
2 2 2 3 3 3
4
~ durch Verwendung der
a. Berechnen Sie für die dritte Spalte den normierten Spaltenvektor 
3
erweiterten Division.
b. Beurteilen Sie diese Normierung kritisch.
c. Wie lässt sich auf der Basis der normierten Spaltenvektoren der gesuchte Gewichtevektor
bestimmen?
(12)
Lösungshinweise: a.
Funktionalität
3 7 1 10 11 12
( , , , , , )
9 16 2 13 12 11
3 3 3 4 1 4
( , , , , , )
18 16 16 13 3 11
1 1 1 2 1 2
( , , , , , )
9 8 8 13 6 11
Design
Materialverarbeitung
Funktionalität
6.
Gegeben sei folgende Abstimmungsmatrix (5 Gremiumsmitglieder, 5 Alternativen):
M1
A
B
C
D
E
M2
A
B
D
E
C
M3
A
B
E
D
C
M4
B
C
D
A
E
M5
B
E
D
C
A
a. Welche Alternative würde gewählt nach
i. dem Double Vote-Verfahren
ii. dem Double Election-Verfahren
iii. dem Verfahren von Borda ?
b. Was ist eine Condorcet-Alternative und ist eine solche in obigem Beispiel gegeben? Wenn ja,
Angabe der Alternative!
c. Kann die Alternativenauswahl bei der Methode des paarweisen Vergleichs beeinflusst werden?
(13)
Lösungshinweise: a. i. B; ii. A; iii. B; b. Condorcet-Alternative: A.
7.
Gegeben sei folgendes hierarchisches Zielsystem zur Beurteilung der Rentabilität eines
Unternehmens:
Rentabilität
Gesamtkapitalrentabilität
Umsatzrentabilität
5
Zur Klassifizierung der Eingangsgrößen werden trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
verwendet, wobei im Folgenden nur die Eckpunkte der Zugehörigkeitsfunktionen auf 0- und 1Niveau angegeben werden. (GKR = Gesamtkapitalrentabilität, UR = Umsatzrentabilität)
GKR (niedrig) [%] = (-, -, 0, 5)
UR (niedrig) [%] = (-, -, 0, 4)
GKR (mittel) [%] = (0, 5, 9, 13)
UR (mittel) [%] = (0, 4, 7, 10)
GKR (hoch) [%] = (9, 13, +, +)
UR (hoch) [%] = (7, 10, +, +)
Die Unterziele werden mittels folgendem Regelsatz aggregiert.
Regel-Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gesamtkapitalrentabilität
n
n
n
m
m
m
h
h
h
Umsatzrentabilität
n
m
h
n
m
h
n
m
h
Rentabilität
n
n
m
n
m
m
m
h
h
Es werden zwei Unternehmen betrachtet:
Gesamtkapitalrentabilität
Unternehmen A
2%
Unternehmen B
10%
Umsatzrentabilität
5%
8,5%
a. Bestimmen Sie für jedes Unternehmen die Zugehörigkeitsgrade zu den Bewertungen!
b. Wie wird die Gesamtkapitalrentabilität des Unternehmens A im Rahmen der Fuzzy Logik
interpretiert?
c. Geben Sie für beide Unternehmen die (unscharfe) Beurteilung des Oberziels „Rentabilität“ an.
(16)
Lösungshinweise:
GKR
GKR
a. Unternehmen A: (GKR
niedrig (2%), mittel (2%), hoch (2%) ) = (0,6; 0,4; 0) und
UR
UR (5%), UR (5%) ) = (0; 1; 0);
(niedrig
(5%), mittel
hoch
GKR
GKR
Unternehmen B: (GKR
niedrig (10%), mittel (10%), hoch (10%) ) = (0; 0,75; 0,25) und
UR
UR (8,5%),  UR (8,5%) ) = (0; 0,5; 0,5);
(niedrig
(8,5%), mittel
hoch
R
R
c. Rentabilität von Unternehmen A: (R
niedrig (A), mittel (A), hoch (A) = (0,6; 0,4; 0); Rentabilität
R
R
von Unternehmen B: (R
niedrig (B), mittel (B), hoch (B) = (0; 0,75; 0,4375)